Отдел образования, молодёжной политики, физкультуры и спорта администрации Моргаушского района Чувашской Республики

Муниципальное образовательное учреждение «Сятракасинская средняя общеобразовательная школа» Моргаушского района Чувашской Республики

Методика решения

текстовых задач на движение в школе.

Методическая разработка

Разработала:

Савельева Любовь Римовна

учитель математики

МОУ «Сятракасинская СОШ»

Моргаушского района

Чувашской Республики

Моргауши 2010

Содержание:

Введение.

    «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решать одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путём сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт решения задач.» (У.У.Сойер)

Математика проникает почти все области деятельности человека, что положительно сказалось на темпе роста научно-технического прогресса. В связи с этим стало жизненно необходимым усовершенствовать математическую подготовку подрастающего поколения.

С начала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснить различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, даёт возможность применять изучаемые теоретические положения.

В «Федеральном компоненте образовательного стандарта основного общего образования по математике» представлен «обязательный минимум содержания основных общеобразовательных программ», среди которых есть и умение решать текстовые задачи.

Арифметика: «…Проценты. Нахождение процента от величины, величины по её проценту. Текстовые задачи (на движение, работу, стоимость, смеси и др.) Решение текстовых задач арифметическим способом»

Алгебра: «… Составление уравнений, неравенств и их систем по условиям задач. Решение задач алгебраическим способом».

В «Требованиях к уровню подготовки выпускников основной школы» сказано, что ученик должен уметь:

Арифметика: «,,, Решать текстовые задачи, включая задачи на движение и работу; задачи, связанные с отношением и с пропорциональностью величин; основные задачи на дроби и проценты; задачи с целочисленными неизвестными».

Алгебра: «,,, Решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, учитывать ограничение целочисленности, диапазона изменения величин.»

В «Примерной программе основного общего образования по математике» дана «Общая характеристика учебного предмета», в которой отмечено, что «… одной из основных задач изучения алгебры является развитие алгоритмического мышления». А изучение основных типов текстовых задач и является одной из составляющих в развитии алгоритмизации мышления.

Состояние математического развития учащихся наиболее ярко характеризуется их умением решать задачи. Задачи – это основное средство оттачивания мысли каждого школьника. В процессе обучения решению задач ученики должны в известной мере овладевать основными идеями школьной математики, а именно:

·         функциональной зависимости

·         равенства, неравенства;

·         тождественных преобразований;

·         соответствия, порядка, расположения;

·         непрерывности;

·         доказуемости заключений относительно свойств пространственных форм и количественных соотношений в них;

·         применимости числа и меры к явлениям окружающего мира.

Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо ответить, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче.

Следует учесть, что научиться решать задачи школьники смогут, лишь решая их.

Решение задач занимает в математическом образовании огромное место.  Поэтому обучению решения задач уделяется много внимания (уже в первом классе учащиеся начинают решать текстовые задачи). Связи с ведением ЕГЭ в 11 классе и экзаменом в новой форме в 9 классе умение решать текстовые задачи стало ещё более актуальным. Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако, прежде всего необходимо научиться различать основные типы задач и уметь решать простейшие из них.

Без конкретной программы деятельности для учащихся, без алгоритмов или общих  указаний по поиску решения задач, трудно организовать процесс учения детей, т.к. этот процесс имеет своими составными частями подражание и последующее творчество. Неосознанные навыки быстро утрачиваются. Лишь те навыки, которые доведены до автоматизма, или сохранили теоретическую основу, надолго остаются действенными. Я придерживаюсь в своей деятельности такого метода работы над задачами, когда ученик твёрдо усвоил основные приёмы решения задач и знает основные типы задач. Эти приёмы и способы задач вырабатываются в процессе изучения  той или иной темы и только в  последствии используются как алгоритм решения. Как показала практика, этот метод хорош при работе со слабыми и средними по успеваемости учениками. Они запоминают  по различным признакам схему решения образца, решают определённый класс задач. Для более подготовленных учеников этот этап работы проходит быстро, без затруднений, они уже  на начальной стадии изучения способны «ухватить» метод и применить его в более сложных задачах. Им даются уже более сложные задания, требующие не только автоматического применения основных приёмов, но и нетрадиционного подхода, смекалки.

     Целесообразность и необходимость моей работы: В связи с переходом к новым формам аттестации учеников девятых и одиннадцатых классов формирование умений решать текстовые задачи стало ещё актуальным.

В своей работе я попыталась решить следующие задачи:

      1)  Изучить методические пособия, литературу  по решению текстовых задач.

2)      Рассмотреть основные типы задач на движение по суше и по водоёму, которые наиболее часто встречаются в ГИА 9-ых классов и ЕГЭ в 11-ых классов.

3)      Подобрать как можно более разнообразные задачи по мере увеличения их сложности  с решениями и ответами, необходимые при подготовке к экзаменам в девятых и в одиннадцатых классах.

4)      Рассмотреть в своей работе основные моменты  в работе с текстовыми задачами: методику решения текстовых задач в школьном курсе математики, некоторые приёмы и методы, принимаемые на уроках.

5)      Выявить роль задач на движение в процессе обучения математики.

Задачи в начальной школе.

 Действующая программа в начальной школы требует развития самостоятельности детей. Самостоятельность тем более необходима при решении текстовых задач. В ряду текстовых задач по математике  задачи на движения по суше  занимают особое место. Ученик начальной школы должен уметь кратко записать условие задачи, проиллюстрировать его с помощью рисунка, схемы или чертежа, обосновать каждый шаг в анализе задачи и её решении, проверить правильность решении.

Задачи, связанные движением или задачи с величинами: скорость, время, расстояние, рассматриваются в 4 классе. Подготовительная работа к решению простых задач на движение в одном направлении предусматривает обобщение представлений детей о движении, знакомство с новой величиной «скорость», раскрытие связей между величинами: скоростью, временем, расстоянием. С целью обобщения о движении полезно провести специальную экскурсию по наблюдению за движением транспорта, после чего провести наблюдения в условиях класса, где движения будут демонстрировать сами дети. На экскурсии и во время работы в классе пронаблюдать за движением одного тела и двух тел относительно друг друга. Так, одно тело может двигаться быстрее, медленнее, может остановиться, может двигаться по прямой или кривой. Два тела могут двигаться в одном направлении, а могут в противоположных, либо приближаясь одно к другому.  Наблюдая  указанные ситуации в условиях класса, надо показать детям, как выполняются чертежи: расстояние принято обозначать отрезком, место (пункт отправления, встречи, прибытия) обозначают либо точкой на отрезке и соответствующей буквой, либо чёрточкой, либо флажком; направление движения указывают стрелками.

На рассмотрение связи между скоростью, временем и расстоянием выделяется 4-5 уроков в начале изучения умножения и деления многозначных чисел. Полученные сведения систематически пользуются в дальнейшем при решении задач «на движение» в течение всего учебного года. В результате рассмотрения этих вопросов ученик должен получить представление о новой величине – скорости, которая характеризуется расстоянием, проходимым в единицу времени. Раскрывается связь между скоростью, расстоянием и временем (при равномерном движении) в виде формулы  V=S|t, где S- пройденное расстояние, V – скорость движения, t- затраченное время. Школьники учатся решать задачи, в которых по времени и скорости находится путь; по времени и пути находится скорость; по скорости и пути находится время. На первом из уроков необходимо, опираясь на жизненный опыт и наблюдения учащихся обратить внимание детей на то, что некоторые предметы могут двигаться быстрее и медленнее. На последующих уроках с помощью соответствующих простых задач устанавливается, что расстояние равно скорости, умноженной на время: S=V*t  В ходе решения задачи (пассажир проехал в автобусе 90 км, скорость автобуса 45 км/ч.Сколько времени ехал пассажир?)  можно получить формулу для вычисления времени:t=S|V. В ходе решения задач устанавливается, что при равномерном движении за одно и тоже время тело пройдёт тем большее расстояние, чем больше будет скорость.

Методика обучения решению задач «на встречное движение» основывается на чётких представлениях учащихся о скорости равномерного движения. На основе жизненных наблюдений выясняется и иллюстрируется смысл слов «двигаться навстречу друг другу», «в противоположных направлениях»,  «выехали одновременно из двух пунктов и встретились через…» и т. п. После наглядной инсценировки каждого из случаев с помощью учащихся целесообразно с постепенным усложнением научить детей изображать схему таких задач «в отрезках». Причём стараться соблюдать отношения их длины в зависимости от скоростей и пройденных (в частности «до встречи»)расстояний. Если, например, скорость одного поезда была 60 км в час, а другого – 45 км/ч, то первая стрелка должна быть длиннее второй.

Решим задачу: Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух сёл и встретились через 3 часа. Первый пешеход шёл со скоростью 4 км/ч, второй – 5км/ч. Найди расстояние между сёлами. При анализе задачи выясняется: откуда начал движение каждый пешеход?  С какой скоростью двигался каждый?  Почему их место встречи на схеме обозначено ближе к месту выхода одного из пешеходов? Можно спросить при этом: «В каком случае флажок окажется точно на полпути?  Что означает деление слева от флажка, справа от флажка? Почему они различны по длине? Что означают числа под стрелками?» Такое подробное рассмотрение учит детей «читать» схему. Возможно, один из учеников приведёт примерно такое рассуждение: «один пешеход до встречи прошёл 4*3=12 (км), а другой – 5*3=15 (км). Расстояние между сёлами будет 12+15=27 (км). Если такого ученика не нашлось и предложения детей неполны или неверны, то учитель проводит, пользуясь  наводящими вопросами, эту работу с классом, постепенно подводя его к составлению по задаче выражения:

4*3+5*3=27 (км) Расстояние между сёлами равно 27 км. В связи с нашей задачей учитель должен провести специальную работу, на основе которой будет выявлен смысл понятия «скорость сближения». Для этого по схеме выясняется, что каждый час пешеходы сближаются на (4+5) км . «На сколько километров сблизятся пешеходы за 3 часа?» Это даёт нам второй способ решения задачи: (4+5)*3=27 км.

Решим задачу: Из двух посёлков одновременно навстречу друг другу выехали 2 велосипедиста и встретились через 2 часа. Один ехал со скоростью 15 км/ч, а второй – 18 км/ч. Найдите расстояние между посёлками. Что известно о движении велосипедистов? Что надо узнать? Пусть это будет посёлок, из которого вышел 1 велосипедист (учитель выставляет в наборное полотно карточку с римской цифрой «1»). А это посёлок из которого выехал 2 велосипедист (выставляет карточку «11»). Двое из вас будут велосипедистами. (Выходят два ученика). С какой скоростью ехал 1 велосипедист? (15 км/ч). Это твоя скорость. (Учитель даёт карточку, на которой написано число 15). Это твоя скорость. (Даёт второму ученику с числом 18). Сколько времени они будут двигаться до встречи? Начинайте двигаться. Прошёл час (дети вставляют одновременно свои карточки в наборное полотно). Прошёл второй час.(Дети вставляют карточки). Встретились ли велосипедисты? (Встретились). Почему? (Шли до встречи 2 часа. Обозначим место встречи. (Вставляет).Что надо узнать? (Все расстояние). После такого разбора учащиеся сами находят два способа решения. Решение надо записать с пояснением сначала определёнными действиями, а позднее можно записать выражением или уравнением.

1 способ: 15*2=30 (км) проехал первый велосипедист

                 18*2=36 (км) проехал второй велосипедист

                 30+36=66 (км) расстояние между посёлками

2 способ: 15+18=33 (км) сблизились велосипедисты в 1 час

                 33*2=66 (км) расстояние между посёлками.

Ответ: 66 км.

Здесь так же, как и при решении других задач, полезно предлагать различные упражнения творческого характера. В частности, ставится вопрос вида: «Могли ли велосипедисты (теплоходы, пешеходы и т. п.) встретиться на середине пути? При каких условиях? Если велосипедисты после встречи будут продолжать движение, то какой из них придёт раньше к месту выхода другого велосипедиста, если будет двигаться с той же скоростью и др?

Ознакомление с задачами на движение в противоположных направлениях может быть проведено аналогично введению задач на встречное движение. Проведя подготовительную работу, надо, чтобы ученики пронаблюдали движение двух тел (пешеходов, автомашин, катеров и т. д.) при одновременном выходе их одного пункта. Ученики должны заметить, что при таком движении расстояние между движущимися телами увеличивается.  При этом надо показать, как выполняется чертёж. Эффективны на этом этапе упражнения на составление различных задач на движение по данным в таблице значениям величин и соответствующим выражением.

Предлагается, используя данные таблицы, составить задачи, которые решаются так:60*4;  75*4;    (60+75):4;    (75-60)*4   По двум последним выражениям ученики могут составить задачи на встречное движение и на движение в противоположных направлениях.

Рассмотрим следующую задачу: Поезд, отправившись со станции А, прошёл до станции В за 3ч 210км, после чего он снизил скорость на 10 км/ч. Со сниженной скоростью поезд шёл от В до следующей станции С в 2 раза дольше, чем от А до В. Определите расстояние АС.

Задача решается в пять действий:                                                    

1)      210:3=70 (км/ч)

2)      70-10=60 (км/ч)

3)      3*2=6 (ч)

4)      60*6=360 (км)

5)      210+360=570 (км) Ответ: 570 км.

Полезно рассмотреть другие способы решения задачи.

1)      210*2=420 (км)

2)      210+420=630 (км)

3)      3*2=6 (ч)

4)      10*6=60 (км)

5)      630-60=570 км. Ответ: 570 км.

1)      10*3=30 (км)

2)      210-30=180 (км)

3)      180*2=360 (км)

4)      210+360=570 (км) ответ: 570 км

Для того чтобы организовать разноуровневую работу над задачей в одно и тоже время, мы используем индивидуальные карточки-задания, которых готовим заранее в трёх вариантах.    Карточки содержат системы заданий, связанные с анализом и решением одной и той же задачи, но на разных уровнях. В размноженном виде они предлагаются учащимся в виде печатной основы. Ученики выполняют задание письменно в специально отведённом для этого месте. Предлагая ученику вариант оптимального для ученика уровня сложности, мы осуществляем дифференциацию поисковой деятельности при решении задач.

Решаем задачи на встречное движение самостоятельно:

1.      Из двух городов одновременно отправились навстречу друг другу 2 путника. Расстояние между городами 63 версты. Один шёл со скоростью 3 версты 125 саженей в час, другой – 7 вёрст 125 саженей в час. Через какое время они встретятся? (В 1 версте 500 саженей) (Ответ: 6 ч.)

2.      Крейсер «Варяг» 27 января 1904 года вышел из порта Чемульпо навстречу японской эскадре. Его скорость была 500 м/мин, одновременно навстречу ему двинулись японцы со скоростью 200 м/мин. Через сколько минут корабли встретились, если расстояние между ними было 21 км? (Ответ: 30 мин.)

3.      От линии фронта в штаб по железной дороге был отправлен моторный броневагон со скоростью 81 км/ч. Одновременно навстречу ему на фронт отправили из штаба бронепоезд «Илья Муромец», который может проходить за сутки 1080 км. Через сколько часов поезда встретятся, если между фронтом и штабом 252 км?  (Ответ: 2 ч.)

4.      Между городами Саранск и Москва 650 км. Из них вышли одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 5 часов. Чему равна скорость  второго поезда, если скорость первого равна 62 км/ч? (Ответ:  86 км/ч.)

5.      Два гуся летят навстречу друг другу со скоростью 23 м/с. Через  сколько секунд они встретятся, если расстояние между ними 920 м? (Ответ: 20 с.)

Задачи на движение в одном направлении:

1.      Бабочка – капустница пролетела 47 с со скоростью 4 м/с, а когда подул попутный ветер, скорость бабочки увеличилась на 6 м/с, и она пролетела ещё некоторое количество метров. Какое расстояние бабочка пролетела при попутном ветре, если всего она пролетела 688 м? (Ответ: 50 м.)

2.      Грузовой автомобиль ГАЗ-63 проезжает расстояние 390 км от посёлка Солнечный до города Хабаровск за 6 ч. За какое время проедет этот же путь грузовик МАЗ-525, если его скорость на 35 км/ч меньше?  (Ответ: 13 ч.)

3.      От Нижнего Новгорода до Москвы поезд шёл 9 ч, а от Москвы до Минска 15 ч с той же скоростью. Расстояние от Москвы до Минска на 300 км длиннее, чем от Нижнего Новгорода до Москвы. Сколько всего километров от Нижнего Новгорода до  Минска через Москву?  (Ответ: 1200 км)

4.      Грузовик выехал из Москвы и 5 ч утра и приехал в Тамбов в 6 ч вечера того же дня. Останавливался он на пути 8 раз по 15 мин и проезжал по 40 км в час. Сколько км от Москвы до Тамбова?  (Ответ:  480 км.)

5.      Первый в мире паравоз, построенный англичанином Тривайтиком, за 2 часа прошёл 52 км. После того как к нему подцепили 5 вагонов, скорость его уменьшилось на 18 км/ч. Какое расстояние паразоз прошёл за 10ч? (Ответ: 116 км.)

Задачи на противоположное движение и движение в обратном направлении:

1.      От гнезда одновременно в противоположных направлениях полетели 2 ласточки. Скорость первой 18 м/с, второй – на 2 м/с меньше. Через какое время расстояние между ними будет 680 м? (Ответ: 20 с.)

2.      Два воробья одновременно полетели с одной крыши в противоположных направлениях. Скорость первого воробья 12 м/с, скорость второго – на 2 м/с меньше. Какое расстояние будет между ними через 20 с? (Ответ: 440 м.)

3.      От одной льдины одновременно в противоположных направлениях поплыли 2 пингвина со скоростью 6 м/с и 7 м/с. Через какое время расстояние между ними будет 39 м?   (Ответ: 3 с.)

4.      От одного улья одновременно в противоположных направлениях полетели 2 пчелы со скоростью 8 м/с и 6 м/с. Сколько пролетела каждая пчела, когда расстояние между ними стало 126 м?  (Ответ:  9 с.)

5.      Посыльный катер преодолел расстояние от Североморска до плавбазы подлодок за 8 ч со скоростью 30 км/ч. На обратном пути то же расстояние катер прошёл за 6 ч. Какова скорость катера на обратном пути?  (Ответ: 40 км/ч.)

Задачи на движение по суше.

« Решение математической задачи, как правило,

 предполагает изобретение специально ведущего

к поставленной цели рассуждения и тем самым

 становится – пусть весьма скромным – творческим

актом.»

А.Я.Хинчин.

     Процесс обучения решению задач начинается в начальной школе. Ученикам знакомы многие типы задач. В 5,6 классах круг задач расширяется, вводятся задачи на проценты, на составление уравнений, умение решать задачи совершенствуется. В процессе работы над  текстовыми задачами я стараюсь добиться у учащихся умения чётко представлять ситуацию, о которой говориться в задаче, анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимость между величинами, участвующими в данной задаче, например, между скоростью, временем и расстоянием; работой, продолжительностью и временем и т.п. Все задачи на составление уравнений можно решать по схеме:

1.      Анализ и краткая запись условия задачи. Построение чертежа, если он необходим.

2.      Выявление оснований для составления уравнения.

3.      Составление уравнения.

4.      Решение уравнения.

5.      Исследования корней уравнения.

6.      Запись ответа.

Умение решать задачу несколькими способами является одним из признаков хорошей подготовки школьников по математике. Обучение поискам нескольких способов решения задачи – это одна из форм учебной работы по развитию математического мышления школьников, их общего развития.

   Выше изложенные принципы работы над задачей рассмотрим подробнее на конкретных примерах далее.

В 5 классе закрепляем полученные знания начальной школы.

·         S=Vt 

·         V=S/t

·         t=S/V

·         если движение происходит из одной точки в разные стороны, то скорости и расстояния складываются;

·         если движение происходит навстречу друг другу, то скорости и пройденные расстояния складываются.

Перед решением задачу составляем таблицу. А при составлении таблицы обязательно обращаем внимание на следующее, если речь идёт о двух телах:

1.      При составлении столбика «время»

·         вышли они одновременно или нет?

·         какое тело находилось в пути дольше и на сколько часов?

·         какое тело находилось данное время в пути или это общее время?

2.      При заполнении столбика «расстояние»

·         какое тело прошло заданное расстояние или это общее расстояние. В зависимости от этого пройденное расстояние проставляем или напротив каждого тела, или объединяем два тела.

·         Какое тело прошло большее расстояние и на сколько, или они прошли одинаковое расстояние.

На эти же самые пункты обращаем внимание, если речь идёт не о двух телах, а об одном теле, движение которого разбито на части.

Решение задач на движение двух тел в противоположных направлениях.

Задача 1. Одновременно из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Один из них шёл со скоростью 6 км/ч, а другой 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

                                                                                   ? км                                                                                              

                                                                             4 км/ч               6 км/ч

                                                                                3 ч                      3 ч

Решение

1 способ: (6+4)*3=30 (км)

2 способ: 6*3+4*3=30 (км)

Ответ: 30 км.

Задача 2. Одновременно из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Один из них шёл со скоростью 6 км/ч, а другой 4 км/ч. Через сколько времени пешеходы удалятся друг от друга на 30 км?

                                                                                30 км

                                                                  4 км/ч                  6 км/ч

Решение

1 способ: 6х+4х=30

                 х=3  Пешеходы удалятся друг от друга на 30 км через 3 часа.

2 способ: (6+4)*х=30

                 х=3  Ответ: 3 часа.

Задача 3. Одновременно из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Один из них шёл со скоростью 6 км/ч. Через 3 часа пешеходы удалились друг от друга на 30 км. Определите скорость другого пешехода.

                                                                                     30 км

                                                         х км/ч              6 км/ч

                                                            3 ч                    3 ч

Решение

(До заполнения таблицы выясняем, что обозначаем через х: то, о чём спрашивается в вопросе задачи). Заполнив 2 столбика, опять проговариваем фразу: «Третий столбик заполняем, глядя на первые два. Третий столбик нам даёт уравнение.»

1 способ: 6*3+3х=30

                  х=4 

2 способ: (без помощи уравнения)

                 (30-18):3=4

Ответ:  4 км/ч.

Решить самостоятельно задачу 4.  По данным таблицы составьте задачи на движение двух тел в противоположных направлениях при одновременном начале движения из одного пункта. Найдите неизвестные величины.

В следующих заданиях составить уравнение и решать задачу.

Задача 5. Из одного и того же пункта одновременно в противоположных направлениях вышли два пешехода. Через 2 часа расстояние между ними стало 16 км. Найдите скорость второго пешехода, если скорость первого была 5 км/ч. (ответ: 10+2х=16;  3 км/ч)

Задача 6. Из одного и того же пункта одновременно в противоположных направлениях вышли два пешехода. Через 3 часа  расстояние между ними стало 27 км. Найдите скорость второго пешехода, если скорость первого была 4 км/ч.  (ответ: 12+3х=27;     5км/ч)

Задача 7. Из одного и того же пункта в противоположных направлениях выехали одновременно две автомашины. Скорость одной из них 55 км/ч, скорость другой – 65км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 600 км?  (ответ: 55х+65х=600;  5ч.)

Решение задач на встречное движение двух тел.

Задача 1. Одновременно из двух пунктов навстречу друг другу вышли два пешехода. Через 3 часа они встретились. Какое расстояние до встречи прошёл каждый пешеход и какое расстояние было между пунктами, если один пешеход шёл со скоростью 6 км/ч, а другой – со скоростью 4 км/ч?

                                                                             ? км

                                                      4 км/ч              6 км/ч

                                                      3 ч                     3ч

Решение

a.       4*3=12 (км) – прошёл 1 пешеход

b.      6*3-18 (км) – прошёл 2 пешеход

c.       12+18=30 (км) – расстоянии е между пунктами

Ответ: 12 км; 18 км; 30 км.

Задача 2. Из двух пунктов, находящихся на расстоянии 30 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Один из них проходит в час 6 км, а  другой 4 км. Через сколько часов пешеходы встретятся и какое расстояние пройдёт каждый из них до встречи.

                                                                                 30 км

                                                          ? км                         7 км

                                                       4 км/ч               6 км/ч

                                                          х ч                     х ч

Решение:

1)      6х+4х=30   х=3 (3 ч.)

2)      4*3=12 (км)

3)      6*3 (км)

Ответ: 3 ч; 12 км;18 км

Задача3. Из двух пунктов, расстояние между которыми 30 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Через 3 ч  пешеходы встретились. Скорость одного пешехода 4 км/ч. Найдите скорость другого.

Решение.                                                                                30 км

                                                           4 км/ч                      х км/ч

                                                           3 ч                               3ч

4*3+3х=30

3х=30-12

х=6 (км/ч)  

Ответ: 6 км/ч

Решать самостоятельно задачу 4: по данным таблицы составьте задачи на встречное движение двух тел при одновременном начале движения из двух пунктов. Найдите неизвестные величины.

В следующих заданиях составить уравнения и решить задачу.

Задача 5. Из двух городов навстречу друг другу вышли одновременно два поезда. Скорость одного из них 70 км/ч, скорость другого – 80 км/ч. Через сколько часов они встретятся, если расстояние между городами 900 км?  (ответ: 70х+80х=900;    5ч.)

Задача 6. Из двух городов, расстояние между которыми 162 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Скорость одного на 3 км/ч больше скорости другого. Встреча произошла через 6ч после их выезда. С какой скоростью ехал каждый велосипедист?   (ответ: 6х+6(х+3)=162;  12 км/ч)

Задача 7. Из городов А и В, расстояние между которыми 240 км, одновременно навстречу друг другу выехали два поезда. Встретились они через 2,4 часа. Скорость одного поезда больше скорости другого на 10 км/ч. Найдите скорость каждого поезда. 

(ответ:  2,4(х+10)+2,4х=420;   82,5 км/ч; 92,5 км/ч)

Решение задач на движение двух тел в одном направлении.

Задача 1. Одновременно из одного пункта в одном направлении вышли два пешехода. Первый пешеход идёт со скоростью 6 км/ч, а другой – со скоростью 4 км/ч. Какое расстояние будет между пешеходами через 5 часов?

Решение:                                                           ? км

                                                         4 км/ч        5 ч.          6 км/ч

1)      6*5=30 (км) – прошёл первый пешеход

2)      4*5=20 (км) – прошёл второй пешеход

3)      30-20=10 (км)  - расстояние между пешеходами через 5 часов.   Ответ: 10 км.

Задача 2. Одновременно из одного пункта в одном направлении вышли два пешехода. Первый пешеход идёт со скоростью 6 км/ч, а второй – со скоростью 4км/ч.  Через сколько часов второй пешеход отстанет от первого на 10 км?

Решение:

                                                                                              х  ч    4 км/ч

                                                                                                       10 км

                                                                                              х  ч               6 км/ч          

Составив таблицу, выясняем, что это задача на сравнение и уравнение составляем, проговорим фразу: «из большего отнимаем меньшее, получаем разницу».

6х-4х=10

2х=10

х=5   Ответ: второй пешеход отстанет от первого на 10 км через 5 часов.

Задача 3. Одновременно из одного пункта в одном направлении вышли два пешехода. Скорость первого пешехода 6 км/ч. Через 5 ч второй пешеход отстал от первого на 10 км. С какой скоростью шёл второй пешеход?

Решение:

                                                               5 ч                            10 км

                                                                х км/ ч

                                                                 5 ч                                      6км/ч

Задача на сравнение: 5*6-5х=10

                                        ……………  

                                          х=4

Ответ: второй пешеход  шёл со скоростью 4 км/ч

Задача 4. Одновременно из двух пунктов вышли два пешехода. Первый пешеход, идущий со скоростью 6 км/ч, через 5 ч догнал второго, идущего со скоростью 4 км/ч. Какое расстояние между пешеходами было первоначально?

Решение:                                        5 ч.

                                       6 км/ч                                        4 км/ч

                                       х км

1)      6*5=30 (км) – прошёл первый пешеход

2)      4*5=20 (км) – прошёл второй пешеход

3)      30-20-=10 (км) – первоначальное расстояние между пешеходами.

Ответ: 10 км.

Задача 5. Первый пешеход, идущий со скоростью 6 км/ч, догоняет второго, идущего со скоростью 4 км/ч. Через сколько часов первый пешеход  догонит второго, если первоначально расстояние между ними было 10 км и они вышли одновременно?

Решение:

                               6 км/ч                          4 км/ч

                                10 км                               х   ч

6х-4х=10

2х=10

х=5  Ответ: первый пешеход догонит второго через 5ч.

В следующих заданиях составить уравнение и решить задачу.

Задача 6. Из  двух пунктов в одном направлении выехали два велосипедиста. Скорость одного из них 11 км/ч, а скорость другого – 13 км/ч. Через сколько часов первый велосипедист догонит второго, если расстояние между пунктам  12 км?

(Ответ: 13х-11х=12;  6 км/ч)

Задача 7. Из Саратова в Москву вышел пассажирский поезд со скоростью 55 км/ч, а через 2 часа вслед за ним отправился скорый поезд со скоростью 66 км/ч. На каком расстоянии от Москвы второй поезд догонит первый, если расстояние от Саратова до Москвы 855 км?

(Ответ: 66х=55(х+2);   195км)

Задача 8. Со станции вышел поезд, скорость которого 48 км/ч, а через 1,25 ч за ним вышел второй поезд, скорость которого 56 км/ч. На каком расстоянии от станции отправления второй поезд догонит первый?

(Ответ: 48(х+1,25)=56х;   420 км)

Задача 9. Из одного пункта в одном направлении одновременно выехали автомобилист и мотоциклист. Скорость автомобиля 63 км/ч, скорость мотоцикла 48 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет равно 75 км?

(Ответ: 63х-48х=75:  5 ч)

Задачи на движение по водоёму.

Ученик с 5 класса должен знать:

·         Скорость по течению равна сумме собственной скорости и скорости течения реки.

·         Скорость против течения равна разности собственной скорости и скорости течения реки.

·         Скорость по озеру равна собственной скорости.

·         Собственная скорость равна половине суммы скорости по течению и скорости против течения.

Краткая запись всех задач оформляется, как, обычно, в таблицу. В начале изучения таких задач выясняем, что, когда плывём по течению, течение нам помогает плыть, поэтому мы к своей скорости прибавляем скорость течения, против когда плывём против течения, течение нам мешает плыть, поэтому мы из своей скорости вычитаем скорость течения. У основной массы класса такие задачи не вызывают затруднений, поэтому, подробное решение и оформление таких задач не будем. Как обычно, два столбика заполняем по условию задачи, третий по первым двум. И этот столбик нам даёт уравнение. Дальше смотрим, к какому типу относится задача: на сравнение или на сложение величин, если это необходимо.

Задача 1. Катер прошёл 20 км по течению реки и такой же путь обратно, затратив на весь путь 1 ч 45 мин. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите время катера в пути.

Пусть х км/ч – собственная скорость катера. Какое из уравнений соответствует условию задачи.

1)      20/(х+2)=1,45

2)      20/(х-2)-20/(х+2)=1,45

3)      20/(х-2)+20/(х+2)=7/4

4)      20/(2-х)+20(2+х)=7/4

Решение:

Эта задача на сложение величин. Переводим минуты в часы, 1 ч 45 мин.=7/4 ч., получаем уравнение:

20/(х+2)+20(х-2)=7/4.    Ответ: 3

Задача 2. Катер прошёл 3 км по течению реки на 30 минут быстрее, чем 8 км против течения реки. Собственная скорость катера 15 км/ч.

Пусть х км/ч – скорость течения реки. Какое из уравнений соответствует условию задачи?

1)      3/(15-х)-8(15+х)=0,5

2)      8/(15-х)-3(15+х)=0,5

3)      8/(х-15)-3(х+15)=0,5

4)      8/(15-х)+3(15+х)=30

Решение:

Эта задача на сравнение, из большего отнимаем меньшее, получаем разницу, так как 30 мин это 0,5 ч , то получаем:

8/(15-х)-3/(15+х)=0,5

Ответ: 2

В следующих заданиях составить уравнение.

Задача 3. Катер прошёл 30 км по течению реки и 13 км против течения, затратив на весь путь 1 ч 30 мин. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч?

(Ответ: 30/(х+2)+13/(х-2)=1,5)

Задача 4. Туристы проплыли на байдарке против течения реки 6 км и вернулись обратно.  На все путешествие они затратили 4 ч 30 мин. Какова собственная скорость байдарки, если скорость течения реки 1 км/ч?

(Ответ:6(х+1)+6(х-1)=4,5)

Задача 5. Моторная лодка шла 0,4 ч по озеру и 0,3 ч по течению реки, скорость течения  которой 2 км/ч. Всего моторная лодка прошла 9 км. Найдите её собственную скорость.

(Ответ: 0,4(х+2)+0,4(х-2)=9)

Задача 6. Катер прошёл 0,6 ч против течения реки, скорость течения которой 2,5 км/ч, и 0,4 ч по озеру. Всего катер прошёл 17 км. Найдите собственную скорость катера.

(Ответ: 0,6(х-2,5)+0,4х=17)

Заключение.

1.Мною внимательно изучена литература, методические пособия, положительный опыт  по использованию методов решения текстовых задач на движение на уроках математики в начальном и в среднем звене.

2.В разработке определена роль решения задачи в обучении и воспитании учащихся в средней общеобразовательной школе. Эта методика оказывает весьма положительное влияние на умственное развитие школьников, поскольку она требует выполнения умственных операций: анализа и синтеза, конкретизации и абстрагирования, сравнения, обобщения.

Решение задач  развивает мышление. Мало того, решение задач способствует воспитанию терпения, настойчивости, воли, способствует пробуждению интереса к самому процессу поиска решения, даёт возможность испытать глубокое удовлетворение, связанное с удачным решением.

3.Изучена методика работы над задачей на движение с помощью уравнений

·         Через х обозначаем меньшую величину или то, о чём спрашивается в вопросе задачи.

·         Краткую запись оформляем в виде таблицы, схемы.

·         По условию задачи заполняем 2 столбика задачи, третий столбик заполняем,  третий столбик нам даёт уравнение.

·         Смотрим, к какому типу относится задача (на сложение величин, на сравнение и т.п.) в зависимости от этого составляем уравнение.

·         Найдя х, смотрим, ответили мы на вопрос задачи, или нет, если нет, то решаем  и находим ответ.

   4.Разработаны зачётные карточки для проверки умений решать задачи на движение по классам.

    5.Разработаны тренировочные тестовые задания по решению задач на движение для 9 класса и текстовые задачи для 11 класса.

В результате изученной темы было выяснено, что существует множество различных задач. Естественно, все их виды рассмотреть невозможно. Также мы научились правильно анализировать условия задачи и решать их разными методами (путём составления уравнений и систем уравнений, путём составления таблиц и т. д.) и разными способами: алгебраическим и арифметическим (старинным). Арифметические способы решения текстовых задач имеют больший развивающий потенциал, чем универсальный  -алгебраический способ решения. В наше время предпочтение отдаётся алгебраическому способу.

Данная проблема до конца не решена, необходимо искать новые формы, подходы, направления, новые методические обоснования для более успешного формирования умения  решать текстовых задач.

Использованная литература.

1.      Программа общеобразовательных учреждений. «Алгебра 7 – 9 классы.» М. ; «Просвещение» -  2008.

2.      А.С.Чесноков «Дидактические материалы по математике. 5 класс» / А.С.Чесноков, К.И.Нешков -  М. ; «Классикс Стиль», 2008

1.      А.С. Чесноков «Дидактические материалы по математике для 6 класса» / А.С. Чесноков, К.И. Нешков. -  М. ; «Академкнига/учебник», 2010

2.      В.И.Жохов «Дидактические материалы по алгебре для 8 класса» /  В.И.Жохов, Ю.Н.Макарычев - М. ;«Просвещение», 2008

3.      Бантова М.А. «Методика обучения математике в 1-3 классах.»  /  Бантова М.А. -  М. ;«Просвещение», 2004

4.      Ф.Ф.Лысенко « Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2010» / Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова  -  Ростов – на – Дону. ; « Легион – М»,  2009

5.      И.Р.Высоцкий «Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010. Математика» /  И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин и др. – М. ; «АСТ Астрель»,2010

6.      И.В.Ященко «Математика ЕГЭ Тематическая рабочая тетрадь» /  Э И.В.Ященко, С.А.Шестаков, П.И.Захаров – М. ; «Экзамен», 2010

7.      Истомина Н.В. «Методика обучения математике в начальных классах» / Н.В.Истомина  - Ярославль ; «Линка – пресс»,2004

8.      Л.В.Кузнецова «Сборник задач для письменного экзамена к итоговой аттестации в 9 кл.» /  Л.В.Кузнецова и др. – М. ; «Дрофа»,2002

9.      Л.В.Кузнецова «Алгебра: сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации  в 9кл.»  /  Л.В.Кузнецова и др. -  М. ; «Просвещение»,2007

10.  Издательский дом «Первое сентября»  Учебно – методическая газета  «Математика»  №23 - 2005

11.  О.В.Узорова «Познавательный задачник по математике для начальной школы»  / О.В.Узорова, Н.Е.Нефедова – М. ; «АСТ Астрель»,2005 г.

12.  М.И.Моро «Учебник математики для 4 класса часть 2» /  М.И.Моро, М.А. Бантова -   М. ; «Просвещение»,2009

13.  Тесты по математике для 9 класса. 2008 – 2010 годы.

14.  Ф.А.Орехов «Тешение задач методом составления уравнений» / Ф.А.Орехов  - М. ; «Просвещение»,1971

15.  Л.И.Звавич «Контрольные и проверочные работы по алгебре  7-9 классы» /  Л.И.Звавич, Л.Я.Шляпочник -  М. ; «Дрофа»,1996

16.  М.Н.Кочагина «Математика 9 класс. Подготовка к итоговой аттестации» / М.Н.Кочагина, В.В.Кочагин  -  М. ; «Эскимо»,2008 г.

17.  М. Е. Козина «Нетрадиционные уроки. Математика 5-11 кл.» / М. Е. Козина, М.Е.Фадеева  - Волгоград,2008 г.