СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

                 При рассмотрении текстовых задач В12 из пробных вариантов, мы видим, что они простые.   Во-первых, все задачи В12 из банка заданий ФИПИ решаются по единому алгоритму, о котором я вам расскажу. Во-вторых, все В12 однотипны - это задачи на движение, на работу, на сплавы.  Главное - знать алгоритм их решения.

            Обращаясь к выпускникам, хочу сказать следующее, чтобы научиться решать текстовые задачи, вам понадобится всего три-четыре часа самостоятельной работы, то есть два-три занятия. Всё, что нужно, - это здравый смысл плюс немного знаний по пройденному материалу.

            1.1.  Перед началом разбора задач на движение, я предлагаю учащимся повторить некоторые вопросы, которые  нам пригодятся при решении задач. Это можно провести в виде фронтального опроса, самостоятельной работы по карточкам, тестам  и т.д. Но ответы в любом случае должны быть озвучены и проанализированы, так как по моим наблюдениям, они вызываю затруднения практически у половины выпускников.                                                                                         Вопросы:                                                                                                                                                                   Запишите в виде математического выражения:

1. X на 5 больше Y
2. X в пять раз больше Y
3. Z на 8 меньше, чем X
4. Z меньше X в 3,5 раза
5. t₁ на 1 меньше, чем t₂
6. частное от деления a на b в полтора раза больше b                                                                     7.      квадрат суммы x и y равен 7                                                                                                           8.      формулы вычисления дискриминанта и корней квадратного уравнения

Итак, правильные ответы:

1. X=Y+5 
   X больше, чем Y. Разница между ними равна пяти. Значит, чтобы получить бóльшую величину, надо к меньшей прибавить разницу.
2. X=5Y
   X больше, чем Y, в пять раз. Значит, если Y умножить на 5, получим X.
3. Z=X-8
   Z меньше, чем X. Разница между ними равна 8. Чтобы получить меньшую величину, надо из большей вычесть разницу.
4. Z=X/3,5
5. t₁=t₂-1
   t₁ меньше, чем t₂. Значит, если из большей величины вычтем разницу, получим меньшую.
6. a/b=1,5b
7. (X+Y)²=7
   На всякий случай повторяем терминологию:
   Сумма - результат сложения двух или нескольких слагаемых.
   Разность - результат вычитания.
   Произведение - результат умножения двух или нескольких множителей.
   Частное - результат деления чисел.
8. AX²+BX+C=0     D=B²-4AC, D<0 – действительных корней нет; D=0  X₁=X₂=-B/2A; D>0  X₁= (-B+√D) /2A,X₂=(-B-√D) /2A

2.  РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

                                                                                                                                                                                  Теперь - сами задания В12.

Начнем мы с задач на движение. Они часто встречаются в вариантах ЕГЭ. Здесь всего два правила:

1. Все эти задачи решаются по одной-единственной формуле: S=VT, то есть расстояние равно скорость умноженная на время. Из этой формулы можно выразить скорость V=S/T или время T=S/V.
2. В качестве переменной X удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится.

2.1. Для начала очень внимательно читаем условие. В нем все уже есть. Помним, что текстовые задачи на самом деле очень просты.

Вариант 3 (ЕГЭ 2011г.)Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 30 км, одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Известно, что за час мотоциклист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 1 час позже мотоциклиста. Ответ дайте в км/ч.

Что здесь лучше всего обозначить за X? Скорость велосипедиста. Тем более, что ее и надо найти в этой задаче. Мотоциклист проезжает на 40 километров больше, значит, его скорость равна X+40.

Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние - и велосипедист, и мотоциклист проехали по 30 км. Можно внести скорость - она равна X и X+40 для велосипедиста и мотоциклиста соответственно. Осталось заполнить графу «время».

Его мы найдем по формуле: T=S/V. Для велосипедиста получим T₁=30/X Для мотоциклиста T₂=30/(X+40). 
Эти данные тоже запишем в таблицу.
Вот что получится:

Остается записать, что велосипедист прибыл в конечный пункт на 1 час позже мотоциклиста. Позже - значит, времени он затратил больше. Это значит, что T₁ на один больше, чем T₂, то есть

T₂+1=T₁

30/(X+40)+1=30/X

Решаем уравнение.

30/X - 30/(X+40)=1  

Приведем дроби в левой части к одному знаменателю. Первую дробь домножим на X=X+40, вторую - на X. 

Получим:

(30(X+40)-30X ) /( X(X+40))=1

Упростим числитель и умножим обе части уравнения на X(X+40) . После преобразования, получаем квадратное уравнение  X²+40X-1200=0, решив квадратное уравнение получаем два корня X₁=-60 и X₂=20  Ясно, что X₁-не подходит по смыслу задачи – скорость велосипедиста не должна быть отрицательной.   Ответ: 20 км/ч. 

Следующая задача — тоже про велосипедиста.

Вариант 11 (ЕГЭ 2011г.)Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно108 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней. В пути он сделал остановку на 3 часа и в  результате  затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость велосипедиста на пути из А в В равна X. Тогда его скорость на обратном пути равна X+3. Расстояние в обеих строчках таблицы пишем одинаковое — 108 километров. Осталось записать время. Поскольку: T=S/V, на путь из А в В велосипедист затратит время T₁=108/X, а на обратный путь время T₂=108/(X+3).

На обратном пути велосипедист сделал остановку на 3 часа и в результате затратил столько же времени, сколько на пути из А в В. Это значит, что на обратном пути он крутил педали на 3 часа меньше.

Значит, T₂ на три меньше, чем T₁. Получается уравнение:

108/(X+3) + 3=108/X

Оно очень похоже на предыдущее. Сгруппируем слагаемые:

108/X- 108/(X+3)=3

Точно так же приводим дроби к одному знаменателю:

(108(X+3)-108X ) / (X(X+3))=3

Упростим числитель, разделим обе части уравнения на 3 и умножим обе части уравнения на X(X+3) . После преобразования, получаем квадратное уравнение  X²+3X-108=0, решив квадратное уравнение получаем два корня X₁=-12 и X₂=9.  Ясно, что X₁-не подходит по смыслу задачи – скорость велосипедиста не должна быть отрицательной.   Ответ: 9 км/ч. 

2.2.  Следующий тип задач - когда что-нибудь плавает по речке, в которой есть течение. Например, теплоход, катер или моторная лодка. Обычно в условии говорится о собственной скорости плавучей посудины и скорости течения. Собственной скоростью называется скорость в неподвижной воде.

При движении по течению эти скорости складываются. Течение помогает, по течению плыть - быстрее.

Скорость при движении по течению равна сумме собственной скорости судна и скорости течения.

А если двигаться против течения? Течение будет мешать, относить назад. Теперь скорость течения будет вычитаться из собственной скорости судна.

Вариант 14 (ЕГЭ 2011г.) Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна X.

Тогда скорость движения моторной лодки по течению равна X+1, а скорость, с которой она движется против течения X-1.

Расстояние и в ту, и в другую сторону одинаково и равно 255 км.

Занесем скорость и расстояние в таблицу.

Заполняем графу «время». Мы уже знаем, как это делать. При движении по течению T₁=255/(X+1), при движении против течения T₂=255/(X-1), причем T₂ на два часа больше, чем T₁.

 Условие «T₂  на два часа меньше, чем T₁» можно записать в виде

T2-2  = T₁

Составляем уравнение:

255/(X-1) -2 = 255/(X+1)

и решаем его.

255/(X-1) - 255/(X+1) =2

Приводим дроби в левой части к одному знаменателю

(255(X+1) - 255/(X-1)) / (X-1)(X+1)  =2

Раскрываем скобки

510 / (X²-1)=2       Делим обе части на 2, чтобы упростить уравнение

255 / (X²-1)=1

Умножаем обе части уравнения на X²-1

X²-1 = 255

X² = 256.

Вообще-то это уравнение имеет два корня: X₁=16   и   X₂=-16   (оба этих числа при возведении в квадрат дают 256). Но,  конечно же, отрицательный ответ не подходит - скорость лодки должна быть положительной. Ответ: 16 км/ч

Вариант 17 (ЕГЭ 2011г.)Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 315 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 18 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Снова обозначим за X скорость течения. Тогда скорость движения теплохода по течению равна 18+X, скорость его движения против течения равна 18-X. Расстояния — и туда, и обратно — равны 315 км.

Теперь графа «время».

Поскольку T=S/V, время T₁ движения теплохода по течению равно 315/(18+X), а время T₂, которое теплоход затратил на движение против течения, равно 315/(18-X).

Значит, T₁+T₂= 36В пункт отправления теплоход вернулся через 40 часов после отплытия из него. Стоянка длилась 4 часа, следовательно, 36 часов теплоход плыл - сначала по течению, затем против.

315/(18+X) + 315/(18-X)=36

Прежде всего разделим обе части уравнения на 9. Оно станет проще!

35/(18+X) + 35/(18-X) = 4

Не будем подробно останавливаться на технике решения уравнения. Всё уже понятно - приводим дроби в левой части к одному знаменателю, умножаем обе части уравнения на 324-X², получаем квадратное уравнение 4X²=36, X²=9. Поскольку скорость течения положительна, получаем: X=3.

Ответ: 3 км/ч.

Наверное, вы уже заметили, насколько похожи все эти задачи. Текстовые задачи хороши еще и тем, что ответ легко проверить с точки зрения здравого смысла. Ясно, что если вы получили скорость течения, равную 300 километров в час — задача решена неверно.

5. Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.

Пусть скорость течения равна X. Тогда по течению баржа плывет со скоростью 7+X, а против течения со скоростью 7-X.

Сколько времени баржа плыла? Ясно, что надо из 16 вычесть 10, а затем вычесть время стоянки. Обратите внимание, что 1 час 20 минут придется перевести в часы: 1 час 20 минут = 1⅓ часа. Получаем, что суммарное время движения баржи (по течению и против) равно 4⅔ часа.

T₁+T₂ = 4⅔

Возникает вопрос — какой из пунктов, А или В, расположен выше по течению? А этого мы никогда не узнаем!  Да и какая разница - ведь в уравнение входит сумма T₁+T₂, равная 15/(7+X) + 15/(7-X).

Итак,
15/(7+X) + 15/(7-X) = 4⅔

Решим это уравнение. Число 4⅔ в правой части представим в виде неправильной дроби: 4⅔=14/3.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю, раскроем скобки и упростим уравнение. Получим:

30*7 = 14/3*(49-X²)

Работать с дробными коэффициентами неудобно! Если мы разделим обе части уравнения на 14 и умножим на 3, оно станет значительно проще:

45 = 49 –X²

X²= 4

Поскольку скорость течения положительна, X=2.

Ответ: 2.