Подготовка к решению олимпиадных задач (С6) на ЕГЭ по математике.

Задачи вида С6 в новой форме сложились в 2010 году. Они приобрели достаточно явные черты. Во-первых, они имеют достаточно короткое и понятное решение. Во-вторых, это решение не шаблонно, то есть нельзя заранее спланировать ход решения, так как это делается в других видах задач (например, текстовые задачи на работу, движение). В-третьих, решение этих задач не требует знания формул старшей школы. С 2011 года условие задачи было разделено на 3 пункта, причём, ответ на первый пункт было легко найти перебором.

Каким же образом подготовить учащихся 11 класса к решению таких задач на 4 балла с помощью усиленной подготовки в последнее полугодие выпускного класса? Этот вопрос интересует многих учителей. Но скорее всего это не получится сделать, так как, несмотря на кажущуюся простоту решения, необходимо иметь хорошую математическую культуру, которая складывается не за один день, а за весь период обучения. Однако, получить 1-2 балла за эти задачи представляется вполне возможным. Рассмотрим статистику 2011 года

Таблица 1 – Средние результаты выполнения заданий С6.

Таким образом, к заданию приступало 12,3% учащихся, при этом 4,36% получили положительный результат. То есть 35% взявшихся за решение задачи С6 получили положительный результат. Конечно, процент успешности изменяется в зависимости от уровня подготовки учащихся.

Выполнение заданий С6 по уровням подготовки.

Рассмотрим на примере следующей задачи.

В ряд записаны 14 единиц. Между ними можно ставить знаки сложения, умножения и скобки.

а) Доказать, что таким образом можно получить число делящееся на 162.

б) Единицы, стоящие на чётных местах, заменили на четвёрки. Доказать, что таким образом можно получить число делящееся на 162.

в) Доказать, что для любых 14 натуральных чисел можно получить таким образом число делящееся на 162.

Пункт а) решается достаточно просто, причём, не только одиннадцатиклассниками, но даже шестиклассниками.

Главное, что учащийся должен понять, это разложение числа на множители 162=2•3•3•3•3 и выписать явное это разложение:

 (1+1)•(1+1+1)•(1+1+1)•(1+1+1)•(1+1+1)=162

Такая простота решения немного отвлекает от решения пункта б. Сначала необходимо исправит ряд чисел: 14141414141414. Далее часто присутствует заблуждение, что результат должен быть равен 162, однако, этого добиться не получится. После  нескольких попыток многие сдаются. Но здесь также не очень сложно найти ответ, главное, чтобы среди  делителей была одна двойка и четыре тройки, например:

 (1+4+1)•(4+1+4)•(1+4+1)•(4+1+4+1+4) делится на 162, так как уже произведение первых трёх множителей делится на 162 (делители 6, 9, 6, а их произведение 324 делится на 162). Ещё один способ:

 (1+4+1)•(4+1+4)•(1+4+1)•(4+1+4)•(1+4)

Для решения пункта в требуется уже более глубокое понимание. Например, выделить два числа и четыре группы по 3 числа и доказать, что для любых двух натуральных чисел (x + y) или (x • y)является чётным числом. Затем доказать, что из любых трёх натуральных чисел с помощью сложения и умножения можно получить число, делящееся на 3. Перемножив полученные выражения, мы получим число делящееся на 2•3•3•3•3, то есть на 162.

Эту задачу можно давать учащимся разного уровня подготовки, только ставить перед ними дифференцированные цели. При подготовке можно задавать наводящие вопросы. Это поможет лучше закрепить материал. Но важным моментом является и мотивация учащегося. Отсутствие интереса к задаче приводит к тому, что не найдя сразу решения, ученик быстро сдаётся и больше не пытается решить задачу.