Методы решения нестандартных уравнений

    1 .Метод разложения на множители

    Суть этого метода заключается в следующем: уравнение f(х)*g(х)*h(х)=0 можно заменить совокупностью уравнений f(х)=0; g(х)=0; h(х)=0. Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.

Пример 1.Решить уравнение:

Δ  Освободимся в уравнении от знаменателей дробей. При этом целесообразно суммы  х²+х  и 3х²+5х в левой и правой его частях считать за одно слагаемое : ((х²+х)+2)/((3х²+5х)-14)=((х²+х)+6)((3х²+5х)-10).

   Теперь получаем (х²+х)(3х²+5х)-10(х²+х)+2(3х²+5х)-20=(х²+х)(3х²+5х)-14(х²+х)+6(3х²+5х)-84,          4(х²+х)-4(3х²+5х)+64=0,        х²+х-3х²-5х+16=0,

         2х²+4х-16=0,         х²+2х-8=0.

    Корни последнего уравнения  х₁ = 2, х₂ = -4. Сделаем проверку по исходному уравнению: не обращается ли какой-либо из двух знаменателей дробей в этом уравнении в нуль? Оказывается, не обращается. Значит, это корни исходного уравнения.

Ответ:  2, -4.

Пример 2.Решите уравнение:              

Δ Представим уравнение в таком виде:      

      Приведем разности в левой и правой частях этого уравнения к общим знаменателям:           

 (х-6)(-)=0.

  Приравняем нулю каждый из множителей в левой части последнего уравнения. Получим     х – 6 =0 или  8х= 66, учитывая при этом, что  х, х

    Ответ: 6,-.

Пример 3.Решите уравнение:     +=1.

Δ Возведем обе части уравнения в куб.  Будем иметь:

х-1+2х-1+3*(+)=1,

*()=1-х.

       А теперь воспользуемся исходным уравнением, на основании которого сумма в скобках равна 1:      

 Последнее уравнение также возведем в куб:

(х-1)(2х-1)=(1-х)³, (х-1)(2х-1+(х-1)²)=0,     (х-1)х²=0.

  Отсюда      х₁=1, х₂=х₃=0.

       Проверка по первоначальному уравнению показывает, что значение х=1 ему удовлетворяет, а значение х=0 – не удовлетворяет.

      Ответ: 1.

2.Метод введения новой переменной.

Суть метода: если уравнение ƒ(х)=0 удалось преобразовать к виду р(q(х))=0,

то нужно ввести новую переменную u=q(х), решить уравнение p(u)=0, а затем

 решить совокупность уравнений q(х)=u₁; q(х)=u₂…; q(х)=u_n, где u₁, u₂ …u_n– корни уравнения p(u)=0.

      Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Новая переменная иногда очевидна, иногда завуалирована и «проявляется» лишь в процессе преобразований.

     Пример 4. Решите уравнение:    (х-1)(х-2)(х-4)(х-8)=4х².

   ΔВ левой части уравнения умножим первый множитель на четвёртый, второй на третий, получим: (х²-6х+8)(х²-6х+8)=4х².

    А дальше  разделим обе части уравнения на х², пользуясь тем, что значение х=0 не является корнем уравнения:    (х-9+)(х-6+ )=4.

  Введем подстановку: х-9+=у. Будем иметь:

  y(у+3)=4, у²+3у-4=0; у₁=1, у₂=-4.

   В обоих случаях найдем х, решая  совокупность уравнений

       х₁,₂=5.

Ответ:  5.

Пример 5.Решите уравнение:        (х+3)⁴+(х+5)⁴=16.

    Δ Положим     х+4=y ,т. к.       =х+4.

    Имеем:     (y-1)⁴+(y+1)⁴=16.

    Теперь нужно в левой части уравнения   (y-1)   и   ( y+1) возвести в квадрат, а затем то, что получилось, ещё раз возвести в квадрат. После упрощений образуется биквадратное уравнение:  y⁴+6y²-7=0.

     Его корни   y₁,₂ =. Отсюда  х₁=-3, х₂=-5.

     Ответ:  -3, -5. 

 Пример 6. Решите уравнение:        (х²+3х-4)³+(2х²-5х+3)³=(3х²-2х-1)³.

   ΔВведём две подстановки:        х²+3х-4=y;  2х²-5х+3=.

    Получим:       y³ +z³= (y + z)³ ,  3yz (y + z)=0,

                   (х²+3х-4)(2х²-5х+3)(3х²-2х-1)=0.

Решая  уравнения  х²+3х-4=0,   2х²-5х+3=0  и  3х²-2х-1=0  найдём все корни  

   1, 1, 1, -4, , - .

  Ответ: 1, 1,1, -4, , - .

Пример 7. Решите уравнение:     =5.

Δ Введем две новые переменные:     =у,   =z.

Получаем систему уравнений:

Вычтем третье из второго уравнения системы для того, чтобы исключить х:               z³-у³=19.

 Для решения системы двух уравнений    у+z=5,   z³-у³=19

выразим zиз первого уравнения и подставим это выражение во второе уравнение:

z=5-у, (5-у)³-у³=19,  125-75у+15у²-2у³=19,     2у³-15у²+75у-106=0.

    Из делителей свободного члена последнему уравнению удовлетворяет у=2. Тогда уравнение приводится к виду:

    (у-2)(2у²-11у+51)=0.

Так как дискриминант уравнения    2y² -11y+51=0 отрицателен, то других корней у уравнения нет.

Следовательно,     х=у³=2³=8.

Ответ: 8

                    3. Функционально-графический  метод

  Идея графического метода решения уравнения ƒ(х)=q(х) проста и понятна: нужно построить графики функций   y= ƒ(х),  y = q(х) и найти точки их пересечения - корнями уравнения служат абсциссы этих точек. Этот метод  позволяет определить число корней уравнения, угадать значение корня, найти приближённые , а иногда и точные значения корней. В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить опорой на какие – либо свойства функций.

    Иногда   знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение  не имеет решений, а  иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Пример 8.Решите уравнение:      + =х³-3х+2 .

   ΔНайдём область определения D уравнения. Она совпадает с множеством всех решений системы неравенств

      Решением первого неравенства является множество  ,

второго отрезок  . Следовательно, область D состоит всего из двух точек -0 и 1. Значение х=0 не удовлетворяет уравнению, значение х=1- удовлетворяет.

   Ответ: 1.

  Пример 9. Решите уравнение:        =

      Δ ОДЗ этого уравнения состоит из всех   х, одновременно удовлетворяющих условиям    3-х0 и х-30, т. е. ОДЗ есть пустое множество. Следовательно , уравнение не имеет корней.

    Ответ: решений нет.

  При решении уравнений свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определённую роль. Например, если для всех x из некоторого множества М справедливы  неравенства ƒ(х)А и q(х)А, где А  некоторое число, то  на множестве М уравнение ƒ(х)=q(х) решений не имеет.

   Пример 10. Решите уравнение:                =-х²+4х.

         ΔСправедливы неравенства :            х²-2х+17         -х²+4х4.

Тогда множество значений левой части уравнения есть промежуток), а правой – (.Следовательно, равенство этих частей возможно только тогда, когда каждая из частей уравнения равна 4. Но левая часть равна 4 прих=1, а правая – при х=2. Это значит, что уравнение не имеет решений.

    Ответ:  решений нет.

Пример 11.  Решите уравнение:     10х⁴+3х³+5х²+5х+8=0.

    ΔСделаем уравнение приведённым:

                                   х⁴+ х³+ х²+ х+=0.

Дополним сумму  х⁴ +  х³ до квадрата суммы:

 (х² + х)² +( х²+ х + )=0.

Дискриминант квадратного трёхчлена, стоящего во вторых скобках , отрицателен, поэтому трёхчлен при х сохраняет постоянный знак, а именно положительный. Но тогда вся левая часть уравнения положительна; следовательно, уравнение не имеет решений.

    Ответ: решений нет.

Пример 12.  Решите уравнение:           ++х=7.

Δ Очевидно один корень уравнения – х=2. Имеет ли оно другие корни?

   Левая часть уравнения есть возрастающая функция, как сумма трех возрастающих функций. Но монотонная функция каждое свое значение (в данном случае значение 7) принимает в единственной точке, поэтому других корней у уравнения нет

 Ответ: 2.

                    Методы решения нестандартных уравнений

    1 .Метод разложения на множители

    Суть этого метода заключается в следующем: уравнение f(х)*g(х)*h(х)=0 можно заменить совокупностью уравнений f(х)=0; g(х)=0; h(х)=0. Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.

Пример 1. Решить уравнение:     (( х²+х+2))/(3х²+5х-14)=  (х²+х+6)/(3х²+5х-10)

Δ  Освободимся в уравнении от знаменателей дробей. При этом целесообразно суммы  х²+х  и 3х²+5х в левой и правой его частях считать за одно слагаемое : ((х²+х)+2)/((3х²+5х)-14)=((х²+х)+6)((3х²+5х)-10).

   Теперь получаем (х²+х)(3х²+5х)-10(х²+х)+2(3х²+5х)-20=(х²+х)(3х²+5х)-14(х²+х)+6(3х²+5х)-84,          4(х²+х)-4(3х²+5х)+64=0,        х²+х-3х²-5х+16=0,

         2х²+4х-16=0,         х²+2х-8=0.

    Корни последнего уравнения  х₁ = 2, х₂ = -4. Сделаем проверку по исходному уравнению: не обращается ли какой-либо из двух знаменателей дробей в этом уравнении в нуль? Оказывается, не обращается. Значит, это корни исходного уравнения.

Ответ:  2, -4. 

Пример 2. Решите уравнение:    2/(х+8)+5/(х+9)=3/(х+15)+4/(х+6).          

Δ Представим уравнение в таком виде:       5/(х+9)-4/(х+6)=3/(х+15)-2/(х+8).

      Приведем разности в левой и правой частях этого уравнения к общим знаменателям:            (х-6)/(х+9)(х+6) =(х-6)/(х+15)(х+8) ,

 (х-6)(1/((х+9)(х+6))-1/((х+15)(х+8)))=0.

  Приравняем нулю каждый из множителей в левой части последнего уравнения. Получим     х – 6 =0 или  8х= 66, учитывая при этом, что  х≠-9, х≠-6,х≠15,х≠-8.Тогда  х=6 или х=-33/4

    Ответ: 6,-  33/4.

Пример 3.Решите уравнение:     ∛(х-1)+∛(2х-1)=1.

Δ Возведем обе части уравнения в куб.  Будем иметь:

х-1+2х-1+3∛((х-1)(2х-1))*(∛(х-1)+∛(2х-1))=1,

∛((х-1)(2х-1))*(∛(х-1)+∛(2х-1))=1-х.

       А теперь воспользуемся исходным уравнением, на основании которого сумма в скобках равна 1:       ∛((х-1)(2х-1) )=1-х.

 Последнее уравнение также возведем в куб:

(х-1)(2х-1)=(1-х)³, (х-1)(2х-1+(х-1)²)=0,     (х-1)х²=0.

  Отсюда      х₁=1, х₂=х₃=0.

       Проверка по первоначальному уравнению показывает, что значение х=1 ему удовлетворяет, а значение х=0 – не удовлетворяет.

      Ответ: 1.

2.Метод введения новой переменной.

Суть метода: если уравнение ƒ(х)=0 удалось преобразовать к виду р(q(х))=0,

то нужно ввести новую переменную u=q(х), решить уравнение p(u)=0, а затем

 решить совокупность уравнений q(х)=u₁; q(х)=u₂…; q(х)=un, где u1, u2 …un – корни уравнения p(u)=0.

      Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Новая переменная иногда очевидна, иногда завуалирована и «проявляется» лишь в процессе преобразований.

     Пример 4. Решите уравнение:    (х-1)(х-2)(х-4)(х-8)=4х2.

   ΔВ левой части уравнения умножим первый множитель на четвёртый, второй на третий, получим: (х²-6х+8)(х²-6х+8)=4х².

    А дальше  разделим обе части уравнения на х2, пользуясь тем, что значение х=0 не является корнем уравнения:    (х-9+  8/х)(х-6+ 8/х)=4.

  Введем подстановку: х-9+  8/( х)=у. Будем иметь:

  y(у+3)=4, у2+3у-4=0; у1=1, у2=-4.

   В обоих случаях найдем х, решая  совокупность уравнений [█(х-9+8/х=0,@х-9+8/х=-4;)┤

[█(х^2-10х+8=0,@х²-5х+8=0;)┤       х₁,₂=5±√17.

Ответ:  5±√17.

Пример 5.Решите уравнение:        (х+3)⁴+(х+5)⁴=16.

    Δ Положим     х+4=y ,т. к.       ((х+3)+(х+5))/2=х+4.

    Имеем:     (y-1)⁴+(y+1)⁴=16.

    Теперь нужно в левой части уравнения   (y-1)   и   ( y+1) возвести в квадрат, а затем то, что получилось, ещё раз возвести в квадрат. После упрощений образуется биквадратное уравнение:  y⁴+6y²-7=0.

     Его корни   y₁,₂ =±1. Отсюда  х₁=-3, х₂=-5.

     Ответ:  -3, -5.  

 Пример 6. Решите уравнение:        (х²+3х-4)³+(2х²-5х+3)³=(3х²-2х-1)³.

   ΔВведём две подстановки:        х²+3х-4=y;  2х²-5х+3=z.

    Получим:       y³ +z³= (y + z)³ ,  3yz (y + z)=0,

                   (х²+3х-4)(2х²-5х+3)(3х²-2х-1)=0.

Решая  уравнения  х²+3х-4=0,   2х²-5х+3=0  и  3х²-2х-1=0  найдём все корни   

   1, 1, 1, -4, 3/2, - 1/3.

  Ответ: 1, 1,1, -4, 3/2, - 1/3. 

Пример 7. Решите уравнение:     ∛х+∛(х+19)=5.

Δ Введем две новые переменные:     ∛х=у,   ∛(х+19)=z.

Получаем систему уравнений:

{█(y+z=5@y^3=х,@z^3=х+19.)┤

Вычтем третье из второго уравнения системы для того, чтобы исключить х:               z3-у3=19.

 Для решения системы двух уравнений    у+z=5,   z3-у3=19

выразим z из первого уравнения и подставим это выражение во второе уравнение:

z=5-у, (5-у)3-у3=19,  125-75у+15у2-2у3=19,     2у3-15у2+75у-106=0.

    Из делителей свободного члена последнему уравнению удовлетворяет у=2. Тогда уравнение приводится к виду:

    (у-2)(2у2-11у+51)=0.

Так как дискриминант уравнения    2y² -11y+51=0 отрицателен, то других корней у уравнения нет.

Следовательно,     х=у3=23=8.

Ответ: 8

                    3. Функционально-графический  метод

  Идея графического метода решения уравнения ƒ(х)=q(х) проста и понятна: нужно построить графики функций   y= ƒ(х),  y = q(х) и найти точки их пересечения - корнями уравнения служат абсциссы этих точек. Этот метод  позволяет определить число корней уравнения, угадать значение корня, найти приближённые , а иногда и точные значения корней. В некоторых случаях построение графиков функций можно заменить опорой на какие – либо свойства функций.

    Иногда   знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение  не имеет решений, а  иногда позволяет найти решения уравнения непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Пример 8. Решите уравнение:     √(х³-х) +∜(х-х²) =х³-3х+2 .

   ΔНайдём область определения D уравнения. Она совпадает с множеством всех решений системы неравенств

                                                           {█(х³-х≥0,@х-х²≥0.)┤

      Решением первого неравенства является множество  [-1;0]∪[1;∞)┤,

второго отрезок  [0;1]. Следовательно, область D состоит всего из двух точек -0 и 1. Значение х=0 не удовлетворяет уравнению, значение х=1- удовлетворяет.

   Ответ: 1.

  Пример 9. Решите уравнение:        √(3-х) =log_5⁡〖(х-3).〗

      Δ ОДЗ этого уравнения состоит из всех   х, одновременно удовлетворяющих условиям    3-х≥0 и х-3>0, т. е. ОДЗ есть пустое множество. Следовательно , уравнение не имеет корней.

    Ответ: решений нет.

  При решении уравнений свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определённую роль. Например, если для всех x из некоторого множества М справедливы  неравенства ƒ(х)>А и q(х)<А, где А  некоторое число, то  на множестве М уравнение ƒ(х)=q(х) решений не имеет.

   Пример 10. Решите уравнение:                √(х²-2х+17) =-х²+4х.

         ΔСправедливы неравенства :            х²-2х+17≥16,         -х²+4х≤4.

Тогда множество значений левой части уравнения есть промежуток [4;+∞┤), а правой – (├ -∞;4].Следовательно, равенство этих частей возможно только тогда, когда каждая из частей уравнения равна 4. Но левая часть равна 4 прих=1, а правая – при х=2. Это значит, что уравнение не имеет решений.

    Ответ:  решений нет.

Пример 11.  Решите уравнение:     10х⁴+3х³+5х²+5х+8=0.

    ΔСделаем уравнение приведённым:

                                   х⁴+3/10 х³+1/2 х²+1/2 х+4/5=0.

Дополним сумму  х⁴ + 3/10 х³ до квадрата суммы:

 (х² +3/20 х)² +(191/400 х²+1/2 х +4/(5 ) )=0.

Дискриминант квадратного трёхчлена, стоящего во вторых скобках , отрицателен, поэтому трёхчлен при х сохраняет постоянный знак, а именно положительный. Но тогда вся левая часть уравнения положительна; следовательно, уравнение не имеет решений.

    Ответ: решений нет. 

Пример 12.  Решите уравнение:           ∛(х+6)+∛(х+25)+х=7.

Δ Очевидно один корень уравнения – х=2. Имеет ли оно другие корни?

   Левая часть уравнения есть возрастающая функция, как сумма трех возрастающих функций. Но монотонная функция каждое свое значение (в данном случае значение 7) принимает в единственной точке, поэтому других корней у уравнения нет

 Ответ: 2.