Исследовательская работа "Путешествие в мир фракталов"
Submitted by Светлана Владимировна Чёрная on чт, 19/04/2012 - 21:40
Тема работы:
При изучении темы подобия геометрических фигур, учитель упомянул о существовании самоподобных фигур, именуемых фракталами. Мы заинтересовались этим понятием и решили подробнее его изучить. Воспользовавшись поиском в интернете, мы натолкнулись на огромное количество информации информации о фракталах. Посоветовавшись с учителем, мы решили провести исследование на тему фракталов, а затем создать проектную работу на немного отвлечённую тему о фракталах: «Путешествие в мир фракталов»
Цель работы:
- Знакомство и изучение мира фракталов, их применения;
- Классификация, знакомство с математическим обоснованием графической интерпретации фрактальных образов.
Задачи:
Сбор информации из различных источников;
Изучение фракталов различного вида;
Классификация фракталов.
Этапы создания проектной работы.
Сбор необходимой информации. Проходил посредством использования сети Интернет и библиотечных книг и занял около 2-х недель.
Разделение информации на тематические части представляло собой сортировку информации по темам, их систематизацию и определение порядка написания. Выполнение этапа заняло 3 дня.
Создание презентации включало в себя сжатие систематизированных сведений, определение структуры презентации, само её создание и оформление и проходило в течение 28 дней.
Оформление конечного продукта работы – оформление презентации и текстовой работы согласно правилам оформления работы.
Фильм
Фрактал(от лат. fractus — дробленый, сломанный, разбитый) — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобнавсей фигуре целиком. Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.
Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.
Бенуа Мандельброт (20 ноября1924, Варшава — 14 октября2010, Кембридж) — французский и американский математик, создатель фрактальной геометрии. Лауреат премии Вольфапо физике (1993). Исследуя экономику, Мандельброт обнаружил, что произвольные внешне колебания цены могут следовать скрытому математическому порядку во времени, который не описывается стандартными кривыми. Бенуа Мандельброт занялся изучением статистики цен на хлопокза большой период времени (более ста лет). Колебания цен в течение дня казались случайными, но Мандельброт смог выяснить тенденцию их изменения. Он проследил симметрию в длительных колебаниях цены и колебаниях кратковременных. Это открытие оказалось неожиданностью для экономистов.По сути, Бенуа Мандельброт применил для решения этой проблемы зачатки своего рекурсивного (фрактального) метода.Понятие «фрактал» придумал сам Бенуа Мандельброт.Фракталы разделяют на
геометрические: фракталы этого класса — самые наглядные, в них сразу видна самоподобность. История фракталов началась именно с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX веке.
алгебраические:эта группа фракталов получила такое название потому, что фракталы образуются при помощи простых алгебраических формул.
стохастические:образуются в случае случайной перемены в итерационном процессе параметров фрактала. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря,
Геометрические фракталы
(Слайд №4)
Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал. Классические примеры геометрических фракталов: Снежинка Коха, Лист, Треугольник Серпинского, Драконова ломаная.
Фильм
Алгебраические фракталы
(Слайд №6)
Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько.
К сожалению, многие термины уровня 10-11 класса, связанные с комплексными числами, необходимые для объяснения построения фрактала, мне неизвестны и пока трудны для понимания, поэтому подробно описать построение фракталов подобного вида для меня не представляется возможным.
Изначально фрактальная природа черно-белая, но если добавить немного фантазии и красок, то можно получить настоящее произведение искусств.
Стохастические фракталы
(Слайд №7)
Типичный представитель данного класса фракталов «Плазма». Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число – тем более «рваным» будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря – получим вместо плазмы – горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру и, пожалуйста, фотореалистичные горы готовы!
Применение фракталов
(Слайд №8)
-Информатика (фрактальное сжатие изображений)
-Компьютерная графика (построение природных объектов)
- Литература (Дом, который построил Джек)
- Естественные науки
Фракталы в природе
(Слайд №8)
Многие объекты в природе (например, человеческое тело) состоят из множества фракталов, смешанных друг с другом, причем каждый фрактал имеет свою размерность отличную от размерности остальных. Например, двумерная поверхность человеческой сосудистой системы изгибается, ветвится, скручивается и сжимается так, что ее фрактальная размерность равна 3.0. Но если бы она была разделена на отдельные части, фрактальная размерность артерий была бы только 2.7, тогда как бронхиальные пути в легких имели бы фрактальную размерность 1.07. Итак, фракталы могут быть везде, например: колония бактерий в питательной среде, перистые облака, разряд молнии, трещины в сухой глине, горные каньоны, разряд в магнитном поле, трещины на льду и т.п.
Вывод
Первый раз услышав о фракталах, задаёшься вопросом, что это такое?
С одной стороны – это сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.
Это понятие завораживает своей красотой и таинственностью, проявляясь в самых неожиданных областях: метеорологии, философии, географии, биологии, механике и даже истории. Если мы зададим слово «фрактал» в любой поисковой системе, то придем к мысли, что Рунет создавался для фракталов.
Практически невозможно не увидеть фрактал в природе, ведь почти каждый объект (облака, горы, береговая линия и т.д.) имеют фрактальное строение. У большинства веб-дизайнеров, программистов есть собственная галерея фракталов(необычайно красивы).
По сути, фракталы открывают нам глаза и позволяют посмотреть на математику с другой стороны. Казалось бы, производятся обычные расчёты с обычными «сухими» цифрами, но это даёт нам по-своему уникальные результаты, позволяющие почувствовать себя творцом природы. Фракталы дают понять, что математика — это тоже наука о прекрасном.
Своей проектной работой я хотел рассказать о довольном новом понятии в математике «фрактал». Что это такое, какие существуют виды, где распространяются. Я очень надеюсь, что фракталы заинтересовали вас. Ведь, как оказалось, фракталы довольно интересны и они есть почти на каждом шагу.
