Что такое система счисления?

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
 

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием  q  означает сокращенную запись выражения

где  a_i  — цифры системы счисления;   n и m — число целых и дробных разрядов, соответственно.
Например:

 Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.
 

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета [44]:
 

Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел

• в двоичной системе:         0,   1,   10,   11,   100,   101,   110,   111,   1000,   1001;
• в троичной системе:         0,   1,   2,   10,   11,   12,   20,   21,   22,   100;
• в пятеричной системе:     0,   1,   2,   3,   4,   10,   11,   12,   13,   14;
• в восьмеричной системе: 0,   1,   2,   3,   4,   5,   6,   7,   10,   11.

Упражнения для закрепления

1    Используя Правило Счета, запишите первые 20 целых чисел в десятичной, двоичной, троичной, пятеричной и восьмеричной системах счисления. 

Ответы

в) троичная: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122, 200, 201; г) пятеричная: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34. 

2 Какие целые числа следуют за числами:
 

Ответы

а) 10₂;   б) 110₂;   в) 1000₂;   г) 10000₂;    д) 101100₂;   е) 2₈;    ж) 10₈;   з) 40₈;   и) 200₈;   к) 10000₈;    л) 10₁₆;   м) 20₁₆;   н) 100₁₆;   о) 9AFA₁₆;   п) CDF0₁₆.

3    Какие целые числа предшествуют числам:
 

Ответы

а) 1₂;   б) 1001₂;   в) 111₂;   г) 1111₂;   д) 10011₂;   е) 7₈;   ж) 17₈;  з) 77₈;   и) 107₈;   к) 777₈;   л) F₁₆;   м) 1F₁₆;   н) FF₁₆;   о) A0F₁₆;   п) FFF₁₆.