Submitted by Ирина Николаевна Андреева on вс, 01/09/2013 - 15:25
Оглавление:
Введение. Цель проекта. Гипотеза
Глава 1.
Понятие треугольника Рёло (определение, построение)
Историческая справка.
Глава 2.
Свойства треугольника Рёло
Кривые постоянной ширины
Глава 3.
Примение в технике
Применение в архитектуре
Заключение.
” Весь смысл жизни заключается в
бесконечном завоевании неизвестного;
в вечном усилии познать больше”.
Эмиль Золя
Введение.
В 7 классе мы начали изучение нового предмета «Геометрия». Изучая на уроках геометричекие фигуры, мы заинтересовались практическим использованием треугольников, разнообразием треугольников в природе и окружающей нас жизни.
Цель нашего исследования:
Знакомство с треугольником Рёло, исследование практического
применения его свойств.
В нашей работе мы хотим доказать,что геометрия необходима в практической жизни, знание этой науки раскрывает возможности деятельности человека в различных сферах, овладения различными профессиями.
Для этого поставлены следующие задачи.
Познакомиться с историей изобретения;
Рассмотреть и изучить свойства фигур постоянной ширины;
Выяснить области применения треугольника Рело.
Для реализации цели и задач исследования мы использовали следующий метод: теоретический анализ литературы по исследуемой теме.
Треугольник Рело находит применение во многих механических устройствах, используется и в автомобильных двигателях, в грейферном механизме в кинопроекторах, применяется в кулачковых механизмах швейных машин зигзагообразной строчки.
В качестве кулачка треугольник Рёло использовали немецкие часовые мастера в механизме наручных часов A. Lange & Söhne «Lange 31»
Треугольник Рёло — распространённая форма плектра (медиатора): тонкой пластинки, предназначенной для приведения в состояние колебания струн щипковых музыкальных инструментов.
Форма треугольника Рёло используется и в архитектурных целях.
Глава 1.
Понятие треугольника Рёло.
Рассмотрим правильный треугольник (с равными сторонами). (Рис.1)На каждой стороне построим дугу окружности, радиусом, равным длине стороны. Треуго́льник Рёло́ представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло.
Треугольник Рёло является простейшей после круга фигурой постоянной ширины. То есть если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых, то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным. Это расстояние называется шириной треугольника Рёло.(Рис.2)
Треугольник Рело постоянно касается обеих прямых. Действительно, одна точка касания всегда расположена в одном из «углов» треугольника Рело, а другая — на противоположной дуге окружности. Значит, ширина всегда равна радиусу окружностей, т. е. длине стороны изначального правильного треугольника. В житейском смысле постоянная ширина кривой означает, что если сделать катки с таким профилем, то книжка будет катиться по ним, не шелохнувшись.(Рис.3)
2. Историческая справка.
Название фигуры происходит от фамилии немецкого механика Франца Рёло (1829 – 1905) (Рис.4). Он, вероятно, был первым, кто исследовал свойства этого треугольника; также он использовал его в своих механизмах. В 1852 он окончил политехникум в Карлсруэ, с 1856 профессор Политехнического института в Цюрихе, в 1864—1896 профессор Промышленного института (позже — Высшая техническая школа) в Берлине. В 1875 впервые четко сформулировал и изложил основные вопросы структуры и кинематики механизмов, которые ранее содержались в неявной форме в работах П. Л. Чебышева и др.. Рело дал определение кинематической пары, кинематической цепи и механизма как кинематической цепи принуждённого движения; предложил способ преобразования механизмов путём изменения стойки и путём изменения конструкций кинематических пар. Связал теорию механизмов и машин с проблемами конструирования, например, впервые поставил и пытался решить проблему эстетичности технических объектов. Имея в виду это направление его работ, современники Рело называли его поэтом в технике. Творчество Рело оказало значительное влияние на последующие исследования по теории механизмов.
Рёло не является первооткрывателем этой фигуры, хотя он и подробно исследовал её. В частности, он рассматривал вопрос о том, сколько контактов (в кинематических парах) необходимо, чтобы предотвратить движение плоской фигуры, и на примере искривлённого треугольника, вписанного в квадрат, показал, что даже трёх контактов может быть недостаточно для того, чтобы фигура не вращалась.
Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке.
Тем не менее, подобная фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи.(Рис.6)Треугольник Рёло есть в его манускриптах A и B, хранящихся в Институте Франции, а также в Мадридском кодексе.(Рис.7, 8)
Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами (угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов.
Глава 2.
Свойства треугольника Рёло
Свойство кривых постоянной ширины
Теорема Барбье. Все кривые постоянной ширины h имеют одинаковую длину, равную πh.
Симметрия
Треугольник Рёло обладает осевой симметрией. Он имеет три оси симметрии, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной .
Свойства, общие для всех фигур постоянной ширины
Поскольку треугольник Рёло является фигурой постоянной ширины, он обладает всеми общими свойствами фигур этого класса.
с каждой из своих опорных (параллельных) прямых треугольник Рёло имеет лишь по одной общей точке
расстояние между двумя любыми точками треугольника Рёло не может превышать его ширины
отрезок, соединяющий точки касания двух параллельных опорных прямых к треугольнику Рёло, перпендикулярен к этим опорным прямым;
через любую точку границы треугольника Рёло проходит по крайней мере одна опорная прямая
через каждую точку границы треугольника Рёло проходит объемлющая его окружность радиуса , причём опорная прямая, проведённая к треугольнику Рёло через точку , является касательной к этой окружности
треугольник Рёло, как и любую другую фигуру постоянной ширины, можно вписать в квадрат.
Экстремальные свойства
Наименьшая площадь
Среди всех фигур постоянной ширины у треугольника Рёло наименьшая площадь. Это утверждение носит название теоремы Бляшке — Лебега (по фамилиям немецкого геометра Вильгельма Бляшке, опубликовавшего теорему в 1915 году, и французского математика Анри Лебега, который сформулировал её в 1914 году). В разное время варианты её доказательства предлагали Мацусабуро Фудзивара (1927 и 1931 год), Антон Майер (1935 год), Гарольд Эгглстон (1952 год), Абрам Безикович (1963 год), Дональд Чакериан (1966 год), Эванс Харрелл (2002 год) и другие математики.
Чтобы найти площадь треугольника Рёло, можно сложить площадь внутреннего равностороннего треугольника и площадь трёх оставшихся одинаковых круговых сегментов, опирающихся на угол в 60°
Наименьший угол
Через каждую вершину треугольника Рёло, в отличие от остальных его граничных точек, проходит не одна опорная прямая, а бесконечное множество опорных прямых. Пересекаясь в вершине, они образуют «пучок». Угол между крайними прямыми этого «пучка» называется углом при вершине. Для фигур постоянной ширины угол при вершинах не может быть меньше 120°. Единственная фигура постоянной ширины, имеющая углы, равные в точности 120° — это треугольник Рёло.
Наименьшая центральная симметрия
Наиболее известное свойство треугольника Рело – очертание четырёхугольника сложенным вращением этого треугольник (рис.10). Если вращать треугольник А1В1С1 вокруг центра О1 описанной вокруг него окружности с радиусом О1А1, а центр треугольника О1 вращать в противоположную сторону в три раза быстрее по окружности с центром N, то треугольник очертит фигуру, которая незначительно отличается от четырёхугольника. А именно, за один оборот центра О1 направо по окружности с радиусом О1Nдва угла четырёхугольника будут оформлены вершиной А треугольника Рело и по одному – вершинами В и С, т.е. через каждую четверть оборота вокруг центра N треугольника Рело будет находиться в положении А2В2С2, А3В3С3 иА4В4С4.
Выполненные на рисунке построения показывают небольшую кривизну сторон четырёхугольника, о которой также указываю инженеры. По их данным, наибольшее отклонение стороны от идеальной прямой имеет место в середине стороны. Треугольник Рело при вращении контактирует с точкой Dсерединой своей стороны.
Вычисляя кривизну, получаем:
DE~ 0.025R+ 0.293r
Таким образом, отклонение DEстороны квадрата от сделанной прямой зависит, в первую очередь, от радиуса rи не может быть устранено, потому что Rи rне могут равняться нулю.
Треугольник Рело имеет минимальную среди кривых данной ширины площадь.
2. Кривые постоянной ширины
Бывают ли какие-то ещё кривые постоянной ширины? Оказывается, их бесконечно много.
На любом правильном n-угольнике с нечётным числом вершин можно построить кривую постоянной ширины по той же схеме, что был построен треугольник Рело. Из каждой вершины, как из центра, проводим дугу окружности на противоположной вершине стороне. В Англии монета в 20 пенсов (Рис.9)имеет форму кривой постоянной ширины, построенной на семиугольнике.
Все кривые данной постоянной ширины имеют одинаковый периметр. Окружность и треугольник Рело выделяются из всего набора кривых данной ширины своими экстремальными свойствами. Окружность ограничивает максимальную площадь, а треугольник Рело — минимальную в классе кривых данной ширины.
Глава 3.
Примение в технике
Сверло Уаттса.
Треугольник Рело находит применение во многих механических устройствах, но ни в одном из них не используется его свойство кривой постоянной ширины. Лишь в 1914 году английский инженер Гарри Джеймс Уаттс изобрёл инструмент для сверления квадратных отверстий (рис.11). С 1916 года одна из фирм приступила к производству свёрл Уаттса. Сверло Уаттса представляет собой просто-напросо треугольник Рело, в котором прорезаны углубления для отвода стружки и заточены ржущие кромки.
Двигатель Ванкеля.
Треугольник Рело используется и в автомобильных двигателях (рис.12, 13). Сконструировал этот роторно-поршневой двигатель в 1957 году немецкий инженер Ф. Ванкель, немецкий инженер и изобретатель(1902-1988). Внутри примерно цилиндрической камеры по сложной траектории движется трёхгранный ротор-поршень – треугольник Рело. Он вращается так, что три его вершины находятся в постоянном контакте с внутренней стенкой корпуса, образуя три замкнутых объёма, или камеры сгорания. Фактически каждая из трёх боковых поверхностей ротора действует как поршень.
При вращении ротор внутри корпуса объём трёх боковых создаваемых им рабочих камер постоянно изменяется, действуя как насос. Ротор–поршень установлен свободно на эксцентрике вала и соединён с зубчатым колесом с внутренними зубьями, обкатывающимися вокруг неподвижной шестерни с наружными зубьями, ось которой совпадает с осью эксцентрикового вала. Двигатель Ванкеля имеет множество преимуществ перед обычным ДВС: РПД значительно компактней и легче, поэтому, при установке его на автомашину, центр тяжести оказывается значительно ниже, а устойчивость автомобиля – выше. В традиционном четырёхтактном поршневом двигателе один и тот же цилиндр используется для разных процессов – впуска, сжатия, сгорания и впуска. Но роторный двигатель позволят осуществлять каждый из этих процессов в разных частях корпуса. Каждый процесс как бы происходит в отдельном цилиндре. В поршневом двигателе давление расширения, возникающее при сгорании топливовоздушной смеси, заставляет поршни двигаться вверх-вниз внутри цилиндров.
Шатуны и коленвал преобразуют это возвратно-поступательное движение во вращательное движение, необходимое для перемещения автомобиля. В роторном двигателе отсутствует преобразуемое возвратно-поступательное движение. Давление образуется в камерах, создаваемых различными частями корпуса и выпуклыми поверхностями треугольного ротора. Сгорание приводит непосредственно к вращению ротора, что снижает вибрации и увеличивает возможную скорость вращения. Роторный двигатель выдает мощность более равномерно и плавно. С каждым полным оборотом ротора выходной вал оборачивается трижды. Каждое отдельное сгорание происходит в течение 90-градусной фазы вращения ротора, т.е. в течение 270-градусной фазы вращения выходного вала. Это значит, что однороторный двигатель выдает мощность в течение трех четвертей каждого оборота выходного вала. Учтите, что одноцилиндровый поршневой двигатель выдает мощность только в течение одной четверти каждого оборота выходного вала. Роторный двигатель имеет меньшее количество движущихся частей по сравнению с аналогичным четырехтактным поршневым двигателем. Двухроторный двигатель имеет три основные движущиеся части: два ротора и выходной вал. Даже самый простой четырехцилиндровый поршневой двигатель имеет как минимум 40 движущихся частей, включая поршни, шатуны, распредвал, клапаны, пружины клапанов, качалки, ремень ГРМ, распределительные шестерни и коленвал.
В середине 60-го РПД был впервые смонтирован на серийную малолитражку NSU Prince. После доводки конструкции, осенью 1963 года, свет увидела первая серийная машина с двигателем Ванкеля - NSU Prince Spyder. Но выпускалась она не долго. Сначала фирму NSU поглотила более крупная компания, а затем и сам РПД не выдержал жесткой конкуренции с "поршневиками".
В СССР в 1974 году тогдашний генеральный директор ВАЗа В.Н. Поляков поставил задачу создать собственный РПД. Решение было поручено специальному конструкторскому бюро (СКБ РПД), которое возглавил Б.С. Поспелов.
При всех достоинствах РПД - компактности, приемистости, отсутствии кривошипно-шатунного и газораспределительного механизмов, а так же значительно меньших габаритов и массе при одинаковой с поршневыми двигателями внутреннего сгорания мощности, он имел и ряд серьезных недостатков.
Основными на тот период были часто выходящие из строя уплотнительные элементы, плохая приспосабливаемость к изменениям внешней нагрузки, повышенный расход топлива и неудовлетворительные показатели по выбросам в отработавших газах. С таким набором плюсов и минусов и предстояло работать коллективу СКБ РПД Тольятти. Заметим, что отечественным разработчикам, в отличие от зарубежных, не пришлось воспользоваться наработками господина Ванкеля: денег на покупку лицензии или патента не было. Сделали свой односекционный роторно-поршневой двигатель.
Его появление датировано 1976 годом. Тогда первенец СКБ - ВАЗ-311 мощностью 70 л.с. - худо-бедно завращался, принеся надежду на будущее. Последующие пять лет ушли на доработку конструкции и борьбу с недостатками. В 1982 году на выставке НТТМ-82 вазовцы впервые продемонстрировали ВАЗ-21018 - автомобиль с роторно-поршневым двигателем. Машина представляла собой ВАЗ-21011 с силовым агрегатом ВАЗ-311. (Было выпущено 50 автомобилей для опробования в реальных условиях эксплуатации). Но первый блин оказался комом. Не поддержав машины необходимым сервисом и не подготовив соответствующим образом рядового покупателя, разработчики чуть было не загубили начатое дело. За пол года на 49 автомобилях заменили РПД на поршневые двигатели внутреннего сгорания. Основными неисправностями были выход из строя уплотнителей и подшипниковых узлов, появились также недостаточная сбалансированность роторно-эксцентрикового механизма (РЭМ) и плохая топливная экономичность. Взвесив все "за" и "против", решили отказаться от односекционного варианта РПД и бросить силы на разработку двухсекционного. При этом конструкторская мысль сосредоточилась на искоренении дефектов, выявленных в результате опытной эксплуатации.
В итоге в 1982-1983 гг. появились новые двигатели ВАЗ-411 (мощность 110-120 л.с., ширина ротора 70 мм) и ВАЗ 413 (140 л.с., ширина ротора 80 мм). Одновременно подыскивается сфера приложения "ротора". Конструкторы получают добро на применение разработок на практике от руководства МВД, ГАИ и КГБ - динамические и мощностные показатели моторы выдавали довольно неплохие, располагая при этом необходимым ресурсом, а топливная экономичность была тогда не столь важна. Лишь в 1992 году автомобильная тематика приобретает второе дыхание: появляется РПД для переднеприводных моделей (ВАЗ-414). С опозданием на целых 8 лет! Но, как говориться, лучше поздно чем никогда. Три года на доводку, и вот в конце 97 года базовый двигатель автомобильного направления - ВАЗ-415 - получил сертификат на право установки его на автомобиль общего назначения. До этого РПД устанавливался только на спецтехнику. ВАЗ-415 отличается от своих предшественников универсальностью. Его установка возможна на любую ВАЗовскую машину - "классику", передне- и полноприводные. Кроме того, РПД можно ставить на "Москвич", а в трехсекционном варианте (ВАЗ-425) - и на "Волгу".
Грейферный механизм в кинопроекторах.
Также треугольник использовался в грейферном механизме в кинопроекторах. Двигатели дают равномерное вращение оси, а чтобы на экране было четкое изображение, пленку мимо объектива надо протянуть на один кадр, дать ей постоять, потом опять резко протянуть и так 18 раз в секунду. Именно эту задачу решает грейферный механизм. Он основан на треугольнике Рело, вписанном в квадрат и двойном параллелограмме, который не дает квадрату наклоняться в стороны. Действительно, т.к. длины противоположных сторон равны, то среднее звено при всех движениях остается параллельным основанию, а сторона квадрата всегда параллельной среднему звену. Чем ближе ось крепления к вершине треугольника Рело, тем более близкую к квадрату фигуру описывает зубчик грейфера.
Треугольник Рёло ранее широко применяется в кулачковых механизмах швейных машин зигзагообразной строчки.
В качестве кулачка треугольник Рёло использовали немецкие часовые мастера в механизме наручных часов A. Lange & Söhne «Lange 31»[66
Плектр
Треугольник Рёло — распространённая форма плектра (медиатора): тонкой пластинки, предназначенной для приведения в состояние колебания струн щипковых музыкальных инструментов.
2.Применение в архитектуре
Форма треугольника Рёло используется и в архитектурных целях. Конструкция из двух его дуг образует характерную для готического стиля стрельчатую арку, однако целиком он встречается в готических сооружениях довольно редко. Окна в форме треугольника Рёло можно обнаружить в церкви Богоматери в Брюгге(Рис.14), а также в шотландской церкви в Аделаиде(Рис.15). Как элемент орнамента он встречается на оконных решётках цистерцианского аббатства в швейцарской коммуне Отрив(Рис.16).
Треугольник Рёло используют и в архитектуре, не принадлежащей к готическому стилю. Например, (Рис.17) в сечении представляет собой именно эту фигуру.
Заключение
Колесо, изобретенное несколько тысяч лет назад, произвело переворот в жизни человека. Постоянство ширины явилось для колеса определяющим свойством, следствием которого явилось техническое завоевание мира. Мы рассмотрели это свойство в треугольнике Рело (самой известной после круга фигуры постоянной ширины). Изучили основные свойства фигур постоянной ширины, историю изобретений, рассмотрели области применения фигур постоянной ширины. Отличительные свойства треугольника Рело находят множество применений. Мы должны более тщательно изучить свойства фигур постоянной ширины и находить им ещё больше применений.
Это доказывает, что геометрия применяется на практике в работе конструкторов, архитекторов, строителей и во многих других профессиях.
