Тема данной работы «Мир флексагонов». Актуальность темы очевидна, если посмотреть на мир флексагонов со стороны занимательной математики. Анализ структуры флексагонов очень трудоемок, статьи о них можно встретить даже в специализированных журналах, например таких, как «Наука и жизнь», «Квант». Всегда интересно встретить что-то необычное, будь то предметы интерьера или даже стенды с рекламой. Такие вещи привлекают внимание, и если они сделаны качественно, то поднимают нам настроение и радуют глаз. К таким предметам и относятся флексагоны. В начале, может показаться, что это всего лишь игрушки, но они таят в себе много загадок и головоломок.
Флексагоны привлекли внимание во многих отраслях:
· связь с наукой химией – некоторые молекулы закручены в форме флексагонов (журнал «Химия и жизнь»);
· PRи реклама – из-за своего необычного цикла изгибания флексагоны привлекают внимание;
· связь с математическими понятиями: лента Мебиуса, Тор (тороид). При этом эти «игрушки» подчинены строгим правилам математики;
· подарочные товары, такие как открытки и игрушки.
· предметы интерьера – лампы, подушки.
Целью данной работы является проведение анализа имеющейся информации о флексагонах и освоение методик складывания простейших флексагонов, таких как тригексафлексагон, гексагексафлексагон и др.
Для достижения поставленных целей решаются следующие задачи:
- раскрыть содержание понятия «флексагон»;
- проанализировать схемы построения флексагонов;
- выявить применения флексагонов в жизни человека;
- создать модели простейших флексагонов.
Теоретическая база работы основана на публикациях известного американского математика и писателя Мартина Гарднера, И.Д. Кана в журнале «Наука и жизнь», а также на публикациях А.А. Панова в журнале «Квант».
Практическая значимость данной работы исходит из возможности построения различного рода моделей флексагонов из любых материалов и для любых предметов, с которыми сталкивается человек в повседневной жизни.
Структура работы:
· сбор и анализ информации – изучение материала по теме;
· составление реферата – объединение данных, оформление сведений;
· создание презентации – представление имеющейся информации, используя информационные технологии, в привлекательном виде;
· практическая часть на основе теоретической – создание материальной составляющей работы.
1. История создания флексагонов.
Благодаря разнице в системах измерения стран мира и различным дизайнерским решениям обычных для нас вещей, а именно, разница размера «официального» американского листа, который короче привычного для нас листа формата А4 на 18 мм, была открыта необычная математическая модель, занимательная игрушка под названием флексагон.
Как известно из истории, «самый первый флексагон склеил еще в 1939 году аспирант Артур Стоун, впоследствии профессор математики Манчестерского университета» [8]. В далеком 1939 году он изучал математику в Принстонском университете, штат Нью-Ждерси, обрезая листы А4 под новый формат, из обрезков машинально начал складывать различные фигуры. Одна из них оказалась наиболее интересной. Перегнув полоску в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник. Взяв его за смежные треугольники и подогнув противоположный треугольник вниз, так, что его вершина совпала с центром фигуры (рис. 1), Стоун раскрыл шестиугольник и при этом заметил, что открылась совершенно другая, невидимая, поверхность фигуры. Видимая поверхность фигуры изменила бы свою окраску, если бы обе поверхности исходного шестиугольника были окрашены в разные цвета [2]. Так был создан тригексафлексагон. После аспирант-математик создал более сложную фигуру с шестью поверхностями вместо трех.
Рисунок 1 – Схема открытия флексагона
Постоянные модели были названы гескафлексагонами: «гекса» - из-за шестиугольной формы, «флексагонами» - из-за их способности складываться. От греческого «гекс», что означает шесть и английского toflex– складываться, сгибаться, гнуться [2].
Вместе с друзьями Стоун организовал «Флексагонный комитет», в него вошли аспирант-математик Бриан Таккерман, аспирант-физик Ричард Фрейман и перподаватель математики Джон У. Тьюки.
Таким образом, флексагоны - это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые неожиданно выходят наружу [11].
В Советском союзе, а в последствии и в России также занимались изучением флексологии, в периодическом издании «Наука и жизнь» публиковались серии статей про эти занимательные головоломки. Были представлены развертки простейшего флексагона – с тремя сторонами [8], развертка гексагексафлексагона [9], крестообразная развертка тетрагексафлексагона [10], статья о «туннельном переходе» [7], ряд исследований И.Д. Кана по гемитетра- и гемигексафлексагонам [4, 5], 1993 году в [6], была опубликована статья И.Д. Кана «Треугольные флексагоны». В [1] приведена статья А.А. Панова о флексагонах, флексорах и флексманах, там же упоминается про двойное шарнирное соеднинение.
2. Путь Таккермана
Одна из самых изящных моделей Стоуна – гексагексафлексагон. Перегибая флексагон наугад можно без труда обнаружить его поверхности. При этом поверхности с цифрами 4, 5 ,6 найти труднее, чем поверхности с цифрами 1, 2 и 3.
Таккерман достаточно быстро отыскал способ, с помощью которого можно найти все поверхности любого флексагона. Для этого, необходимо держать флексагон за какой-нибудь угол и открывать фигуру до тех пор, пока она открывается, а после переходить к другому углу. Такой метод, который известен под названием «путь Таккермана» (рис. 2), позволяет увидеть все шесть разворотов гексагексафлексагонов за один цикл из 12 перегибания.
Рисунок 2 – Схема «путь Таккермана»
Стрелки на рис. 2 указывают порядок, в котором становятся видимыми поверхности флексагона.
Полная математическая теория флексагонов была разработана в 1940 году Тьюки и Фейнманом. Теория указывает точный способ построения флексагона с любым числом сторон, причем именно той разновидности, которая требуется. В своем полном виде эта теория так никогда и не была опубликована, хотя отдельные ее части впоследствии были открыты заново другими математиками. Среди энтузиастов «флексологии» следует назвать отца Таккермана, известного физика Луи Таккермана.
Таккерман-старший внес существенный вклад в теорию флексагонов, разработав простой, но эффективный способ изображать «путь Таккермана» в виде дерева.
3. Флексагоны низших порядков
Унагексафлексагон
Полоска из трех треугольников, с соединенными концами, в виде листа Мёбиуса с треугольным краем. Это лист Мёбиуса имеет только одну сторону и состоин из шести треугольников, поэтому его можно назвать унагексафлексагоном, но при этом, у него нет шести сторон и он не может складываться. Следовательно, как представитель класса флексагонов, унагексафлексагон мало интересен.
Дуогексафлексагон
Шестиугольник, вырезанный из бумаги (или другого материала) (рис. 3). По сравнению с унагексафлексагоном он имеет две стороны, но также не складывается.
Есть три типа этих флексагонов, два из них собираются из полосок бумаг, представленных на рис. 6 (а и б) Схема построения третьего типа, а также ее описание, будет представлена ниже.
Число форм таких флексагонов четыре, так как складывают его из трех полосок бумаги (рис. 7), при этом первую можно сложить двумя различными способами. Одну из форм складывают из полоски бумаги с перекрывающимися частями, имеющей вид восьмёрки. Это первая из фигур, которые Луи Таккерман назвал "флексагонными улицами": их поверхности можно пронумеровать так, чтобы на "пути Таккермана" они встречались по порядку номеров, как дома на улице [2].
Рисунок 7 - Полоски бумаги для складывания гептагексафлексагона
4. Схемы сложения флексагонов
Тригексафлексагон
Полоску бумаги, предварительно размеченную на 10 равносторонних треугольников (Приложение А, рис.1), перегибают по линии abи переворачивают.
Затем ещё раз перегибают по линии cd(Приложение А, рис. 2):
После этого, располагают концы полоски так, чтобы предпоследний треугольник оказался наложенным на первый (Приложение А, рис. 3а) и если перевернуть фигуру, то на треугольниках будет нумерация, представленная на рис. 3б приложение А.
В заключительном этапе, нужно последний треугольник подогнуть вниз и приклеить к оборотной стороне первого треугольника (Приложение А, рис. 4). Готовая модель тригексафлексагона привидена в приложении Е.
Гексагексафлексагон
Для того чтобы сложить данный флексагон, необходима полоска бумаги, разделенная на 19 равносторонних треугольников. Треугольники на каждой стороне бумаги должны быть пронумерованы или раскрашены (также можно нарисовать какие либо рисунки или фигуры), но так, чтобы каждой цифре соответствовал только один цвет (соответственно, рисунок или фигура). При этом нумерация или цвет, должны быть расположены в определенном порядке, представленном на рис. 1 приложения Б. Последний девятнадцатый треугольник остается незаполненным.
Для удобства будем считать, что наши треугольники пронумерованы в определенном порядке. Полоску бумаги складывают так, чтобы треугольники на ее обратной стороне, имеющие одинаковые цифры, оказались наложенными друг на друга – 4 на 4, 5 на 5, 6 на 6. После такой операции получается заготовка для гексагексафлексагона, показанная на рис. 2 приложения Б. Т.е. можно сказать, что получили рис. 1 приложения А – исходная полоска бумаги для трифлексагона.
Следовательно, дальнейшее сложение напоминает схему сложения для трифлексагона. Также перегибаем полоску по линиям abи cd(рис. 3 приложения Б).
Получаем шестиугольник. Подворачиваем вниз пустой треугольник, торчащий вправо (рис. 4 приложения Б), и приклеиваем его к пустому треугольнику на нижней стороне полоски.
В случае верно сложенного флексагона, во всех треугольниках видимой стороны должна быть цифра 1, а на обратной стороне – цифра 2 (рис. 5 приложения Б). Можно начинать перегибать флексагон. Схема перегибания была описана выше и показана на рис. 1, также можно использовать «путь Таккермана» (рис. 2).
5. Применение флексагонов в повседневной жизни
Модели флексагонов настолько различны по своей форме (гекса-, тетра-, треугольные и др.) и материалам изготовления, что в нашей жизни занимают достаточно большое место. В форме флексагона изготавливаются календари, открытки, предметы интерьера или просто развивающие игрушки, механизмы двойного шарнирного соединения используются в телефонах, планшетах, креплениях для настенных предметов, в деталях мебели. Флексагоны используют в качестве рекламных стендов, которые своим необычным эффектом привлекают к себе внимание.
В США была запатентована подушка US3,968,529 [Приложение В], выполненная в форме флексагона, ее поверхности сделаны из разного материала и тем самым создается «забавный декоративный эффект». Там же запатентован способ транспортировки и отображения предметов US3,866,748 (Приложение Г), в основу которого заложено сгибающееся устройство. Конечно, не обошлось и без складной головоломки US5,299,804 (Приложение Д), которая выполнена в виде флексагона.
В России так же есть запатентованная полезная модель RU2196 «Книжка-игрушка», которая образовывает флексагон в форме правильного шестиугольника.
Заключение
Подводя итог по данной работе, отметим, что поставленные цели и задачи были выполнены. Проведен анализ имеющейся информации о флексагонах. Освоены методики сложения тригексафлексагона и гексагексафлексагона. Найдены примеры практического применения флексагонов.
Хочется отметить, что большого распространения данные фигуры не имеют, тем не менее, широко распространены в определенных научных областях: химия, математика, биология, техника.
В жизни, на наш взгляд, флексагоны найдут свое применение в рекламных проектах, прикрепляя к фигуре уже объемные фигуры (возможно, даже и не кубической формы). Многогранник можно использовать в качестве открытки – трансформера. Можно сделать из многогранника необычную форму для фотографий. Большое применение многогранник найдет в дизайнерском деле, так как цикл перегибаний интересен при создании диванов, кресел, стульев и других предметов.
В мире существует много неоткрытых поразительных вещей, которым ещё предстоит удивить нас своими замечательными свойствами. Флексагоны, хотя и были открыты в первой половине XXвека, но до сих пор остаются загадкой, познание которой доставляет много радости и при этом развивает мышление.
В дальнейшем планируется дальнейшее изучение данной области и, возможно, создание новых моделей флексагонов.
Список использованной литературы
1. А.А. Панов. Флексагоны. Флексоры. Флексманы. Ж. «Квант». – М.: «Бюро Квантум», 1988. № 7, C. 10 - 14
2. Гарднер М. Математические головоломки и развлеченя: 2-е изд., испр. И дополн./ Пер. с анг. – М.: «Мир», 1999, 447с.
3. И. Кан. Аномальные флексагоны. Ж. «Квант». – М.: «Наука», 1992. Вып. 10. С. 57 – 59.
4. И. Кан. Гемитетрафлексагоны. Ж. «Наука и жизнь». – М.: «Пресса», 1992. №4, С. 126 – 127
5. И. Кан. Гемитетра- и гемигексафлексагоны. Ж. «Наука и жизнь». – М.: «Пресса», 1993. №11, С. 150 – 152
6. И. Кан. Треугольные флексагоны. Ж. «Наука и жизнь». – М.: «Пресса», 1993. №12, С. 42 – 43
7. И. Константинов. Флексагонными тропами. Ж. «Наука и жизнь». – М.: «Правда», 1977. № 9, С. 92 – 96
8. Психологический практикум. Ж. «Наука и жизнь». – М.: «Правда», 1970. № 1, С. 124 – 125
9. Психологический практикум. Ж. «Наука и жизнь». – М.: «Правда», 1970. № 2, С. 68 – 69
10. Флексагоны. Ж. «Наука и жизнь». – М.: «Правда», 1975. № 9, С. 121 – 123
11. Википедия. Свободная энциклопедия [Электронный ресурс]. - Режим доступа - http://ru.wikipedia.org/wiki/Флексагон. 19.03.2013
