Содержание

Введение. Приборы, с которыми мы познаем мир. Маятник, колебания и Галилео Галилей. 3

Что не так в законах Галилея и надо бы проверить?. 3

Какие бывают маятники и как характеризуется их движение?. 4

Экспериментальная установка. 4

Измерения длины, веса и времени. 5

Экспериментальное исследование колебаний маятника. 8

Результаты экспериментов. 8

Выводы.. 9

Список литературы.. 9

Введение

Приборы, с которыми мы познаем мир. Маятник, колебания и Галилео Галилей

Сегодня человек может заглянуть во Вселенную на расстояния, которые даже свет может пролететь только за миллиарды лет. Свет показывает нам, какими были дальние звезды или галактики, когда он их покинул годы или миллиарды лет назад. Человек может также заглянуть внутрь вещества и увидеть, из каких атомов оно состоит, и даже – из чего состоят сами атомы. Он может видеть, какие события происходят с атомами, даже если они длятся одну миллионную от миллиардной доли секунды. Все это возможно, благодаря изобретенным человеком приборам и знаниям, накопленным с их помощью.

Трудно сказать, какой прибор дал больше всего для развития науки. Астрономы скажут – телескоп, биологи ‑ микроскоп, материаловеды – рентгеновская трубка. Все они, конечно, правы (по-своему). Я хочу рассказать о приборе, который никто не изобретал, или, наоборот, изобретал каждый, кто качался на качелях, на канате или даже на лиане. Этот прибор называется маятником. Маятник интересен тем, что находясь постоянно в движении, он в итоге никуда не движется, повторяя одно и то же движение много раз и всякий раз стремясь вернуться в ту точку, из которой стартовал. Такие движения называются колебаниями. Колебания окружают нас со всех сторон: колеблются высотные здания, ветки деревьев, все предметы в автомобиле или самолете с включенным двигателем. Колеблются также напряжение и ток в электрической сети, в приборах, которыми начинен компьютер или телевизор.

Удивительно, что колебания этих очень разных систем происходят по одним и тем же законам. Удивительно также, что эти законы были открыты только в 1583 году и сделал это 19-летний студент Пизанского университета Галилео Галилей (Рисунок А.1), когда во время богослужения в соборе обратил внимание, как качается люстра после налетевшего порыва ветра. Сделав опыты с подвешенными на нити свинцовыми шариками, Галилей установил следующие три закона:

1. Время, за которое совершается одно качание, не зависит от размаха качания, если этот размах не слишком велик. Этот закон известен как изохронность колебаний.
2.  Время одного качания маятника не зависит от веса груза и от материала, из которого сделан груз ‑ дерева, камня или металла.
3. Квадрат времени качаний маятников разной длины пропорционален их длине.

Что не так в законах Галилея и надо бы проверить?

Первые два закона показались мне подозрительными. Во-первых, кажется естественным, что при увеличении размаха колебаний будет увеличиваться путь, который пройдет маятник за одно колебание, а значит должно увеличиться и время качания. Во-вторых, каждый знает, что тяжелое тело труднее заставить двигаться, чем легкое, поэтому время одного качания легкого маятника должно быть меньше, чем тяжелого. Физики постоянно перепроверяют открытые ими законы, используя все более совершенные и точные приборы. Они надеются обнаружить, когда перестает работать известный закон, и его пора заменить новым. Поэтому я тоже решил, спустя 431 год, проверить, нет ли какой ошибки в опытах и заключениях Галилея. Ведь иначе физику придется переделывать заново, как это уже было не раз.

Итак, целью моей работы является проверка первых двух законов Галилея для движений маятника. Для ее достижения необходимо решить следующие задачи:

1. Изготовить экспериментальную установку, включающую маятник и все необходимое для определения размаха и времени одного колебания, а также веса грузов.
2. Научиться пользоваться приборами для измерения длины, времени и веса.
3. Выполнить эксперименты, которые могут показать зависимость времени колебания от веса груза и размаха.
4. Научиться обрабатывать результаты экспериментов и делать из них обоснованные выводы.

Какие бывают маятники и как характеризуется их движение?

Различных маятников существует множество, в Интернете можно найти несколько десятков,

если не сотню. Большинство из них сводится к трем основным видам, показанным на чертеже. Галилей работал с маятником, больше всего похожим на математический. Такой маятник получается, если тяжелое тело малых размеров подвесить на легкой, прочной и длинной нити. Это значит, что должны выполняться условия:

,                                        (1)

где – длина нити, –размер груза, – вес нити и груза,   – удлинение (растяжение) нити под весом груза. При выполнении первого из условий (1) размером и формой груза можно пренебречь и считать, что весь груз сосредоточен в одной точке. Второе условие позволяет пренебречь весом нити и считать ее невесомой. Третье условие означает, что нить прочная и груз не может заметно растянуть ее во время опытов.

Если подвешенный груз предоставить самому себе, то спустя некоторое время он замрет в положении, когда нить будет располагаться вертикально, а точнее, будет направлена к центру Земли. Это положение называется положением равновесия. Если отклонить груз из положения равновесия, а потом отпустить, то он начнет двигаться к этому положению, постепенно увеличивая свою скорость. Пройдя положение равновесия, груз начнет замедляться, пока не остановится на мгновение в точке, похожей на ту, из которой стартовал, но расположенную с другой стороны от положения равновесия. С этого момента его движение будет таким же, как и движение из стартовой точки, только в обратную сторону. Такие движения, колебания, могут повторяться много раз. Максимальное отклонение груза от положения равновесия называется амплитудой колебаний, а время, за которое груз возвращается в исходную точку – периодом колебаний.

Экспериментальная установка

На рис. 2 показано фото экспериментальной установки и ее схема. Установка состоит из двух основных частей: нити и груза, прикрепленного к одному из ее концов. В качестве нити я использовал рыболовную леску. Груз вместе с системой его крепления на нити называется подвесом (или подвесной системой). В зависимости от целей эксперимента подвес может быть устроен очень сложно. В моем эксперименте нужно часто менять груз, поэтому я изготовил подвес, как показано на схеме (Рисунок Б.1).

Для измерения амплитуды колебаний маятника я изготовил шкалу, то есть большую линейку (длиной 1 м 50 см) с нанесенными на нее сантиметровыми делениями. Ее можно было бы нарисовать на стене, но моя идея не была одобрена. Поэтому я взял доску подходящих размеров и обклеил ее белой клетчатой бумагой из тетрадки. В ней размер клетки, оказывается, равен 5мм, а двух клеток – 1 см. Поэтому я легко разметил шкалу, проведя линии «через раз». На краях доски мы просверлили два маленьких отверстия и пропустили через них бечевку из прочного искусственного волокна. Концы бечевки завязали на краях доски узлами «на бантик», чтобы можно было легко изменять длину бечевки между узлами. После этого бечевку накинули на кронштейн моего гимнастического тренажера, обернув ее один раз вокруг имеющегося на нем вертикального болта. Это мы сделали, чтобы бечевка из-за трения не могла скользить свободно по кронштейну и перекашивать мою шкалу. Перед опытами я устанавливал шкалу строго горизонтально, используя для этого прибор, который называется уровнем. Его действие основано на том, что пузырек воздуха в изогнутой ампуле, заполненной жидкостью, всегда помещается в самой верхней ее части. Поэтому он тут же перемещается, если ампулу даже немного наклонить. В пробных экспериментах быстро выяснилось, что леску плохо видно на белой шкале, и поэтому трудно увидеть момент, когда нижняя часть лески проходит через положение равновесия. Поэтому на нижний конец лески я надел тонкую пластиковую трубочку – кусочек изоляции синего цвета от электрического провода.

Измерения длины, веса и времени

Измерения длины. Длину нити и начальную амплитуду колебаний измерял с помощью рулетки, используемой в быту и при строительстве. Самое маленькое деление ее шкалы равно 1 мм. Эта величина называется ценой деления. Половина цены деления, то есть 0,5 мм, называется систематической погрешностью прибора. Эта погрешность показывает, насколько точно можно производить измерения этим прибором, в нашем случае – рулеткой. Чем меньше погрешность, тем больше точность измерений. Однако в нашей установке измерения с помощью рулетки делать неудобно. Поэтому я пользовался более крупной шкалой, 0,5 см = 5 мм. Значит, систематическая ошибка измерений реально составляет 2-3 мм. Будем считать ее равной 3 мм.

         Толщину лески рулеткой измерить нельзя, потому что она меньше цены деления этого прибора. Здесь я воспользовался более точным инструментом – микрометром, имеющим цену деления в одну тысячную от миллиметра или одну миллионную от метра. Такая длина называется микроном (обозначается мк). Толщина лески оказалась 0,46 мм или 460 мк. Поскольку цена деления здесь 1 мк, тогда систематическая ошибка прибора составляет 0,5 мк. При записи результата принято указывать погрешность измерения. Если обозначить толщину лески буквой d, тогда надо писать:

                                                        (2)

Знак ± («плюс-минус») указывает нам на то, что за ним следует величина погрешности, и что «истинное» значение d больше, чем 460-0,5=459,5 мк, но меньше, чем 460+0,5 = 460,5 мк». Вместо того, чтобы писать предложение, заключенное в кавычки, результат измерений выражают короткой формулой (2).

Измерение промежутков времени. Для измерения промежутков времени используются приборы, называемые часами. В физике они также называются таймерами, от английского слова «time» - время. Видов часов существует очень много. В зависимости от назначения и требуемой точности часы могут представлять собой как очень простые и дешевые приборы, так и очень сложные и дорогие приборы. Например, самые точные, атомные часы, ошибаются на 1 секунду за 30 миллионов лет. (Рисунок Б.2) У нас не нашлось других часов, кроме обыкновенных - ручных, настольных или тех, что есть в компьютере или в мобильных телефонах. Они не очень удобны для измерений и не очень точны. Выход я нашел в Интернете, там предлагается много хороших таймеров. Я выбрал тот, что находится на сайте «Секундомер онлайн» по адресу http://big-clock.com/ru/ (Рисунок Б.3). Он позволяет измерять отрезки времени с точностью 0,01 секунды, или, по-другому – ошибается на 1 секунду за каждые 100 секунд.

Измерение веса. Вес тела – это сила, с которой данное тело давит на опору или растягивает подвес. Для измерения веса тел используются специальные приборы, называемые весами. Весы, используемые в быту, обычно пружинные или рычажные (Рисунок Б.4), не очень точные. Мне удалось воспользоваться портативными цифровыми весами, предназначенными для ювелиров. Самый большой вес, который они могут взвесить – 300 г. Точность взвешивания - 0.1 г. Эти сведения можно найти на корпусе часов, а больше про них ничего неизвестно. Поэтому, прежде чем их использовать, я решил проделать проверочный эксперимент, или поверку весов.

Для поверки обычно используют набор специально изготовленных грузов, вес которых известен с очень высокой точностью. Они называются разновесками. Поверка заключается в сравнении показания прибора P с заранее известным весом P₀ разновески. Разновески должны быть в любой лаборатории, но дома у меня их нет. Поэтому для поверки я взял монеты. Их вес зависит от достоинства, например монеты по 10 коп государство выпускает весом 1,85 г. У меня нашлось 13таких

монет, результаты их последовательного взвешивания показаны на чертеже. Видно, что при переходе от одной монеты к другой вес изменяется непредсказуемым образом: то резко убывает, то растет, то остается постоянным, потом снова растет и т.д. Такое поведение измеряемой величины называется случайным, а сама зависимость такого вида – случайной функцией.

Когда результат измерения случаен, непонятно, какое значение надо  брать в качестве результатата экспериментов. Обычно в этом качестве берут среднее значение измеряемой величины, как наилучшим образом характеризующее всю совокупность опытных данных. Оно часто обозначается угловыми скобками, <…> внутрь которых подставляется символ измеряемой величины. Пусть мы измеряем вес P каких-нибудь предметов и сделали для этого N опытов, получив в них результаты P₁, P₂, P₃,…P_N соотвественно. Тогда среднее значение совокупности полученных данных будет обозначаться как  <P> и будет равно (по определению).

Значит, чтобы найти среднее значение, надо просто все результаты сложить и разделить полученную сумму на число измерений. Тогда для 10-копеечных монет получим  Это значение показано на чертеже красной линией. Кроме среднего значения, опытные данные, как мы видим, должны характеризоваться какой-либо величиной, показывающей, насколько сильно результаты измерений разбросаны относительно среднего значения. Дедушка помог мне, рассчитав, так называемое «стандартное отклонение результатов измерений от их среднего значения», ΔS. Оно оказалось равным 0,04 г. Смысл ΔS состоит в следующем: если от среднего значения сначала отнять величину ΔS, а потом прибавить, то получим два числа, P_min и P_max, такие что в интервал значений P от P_min до P_max попадает примерно 70 % от всех результатов измерений. Иначе, результаты 7 измерений из каждых 10 окажутся в этом интервале. В нашем случае:

Величины P_min и P_max показаны на чертеже синими пунктирными линиями. Утверждается, что в полосе между этими двумя синими линиями располагается 70 % точек, изображающих экспериментальные данные.

         Величина ΔS показывает случайную погрешность измерений. С ее учетом результат взавешивания 10-копеечных монет надо записать как

Видно, что полученное значение хорошо согласуются с официальным (1,85 г). Случайную ошибку здесь можно объяснить тем, что после изготовления монеты находились в очень разных условиях. Одни покрывались липкими веществами (маслом, жиром) и немного увеличивали свой вес, приклеивая частицы пыли или грязи. Другие, наоборот, немного истирались руками, кассовыми аппаратами и немного теряли свой вес.

         Проведенные испытания убедили меня в том, что в моем распоряжении находится хороший прибор, и с его помощью я могу рассчитывать на определение веса нужных мне тел с точностью до нескольких сотых долей от грамма. В таблице 1 (Приложение Г) приведены результаты взвешивания дополнительных грузов, показанных на рисунке Б.1 (Приложение Б). Каждый груз взвешивался 10 раз, после чего я определял его среднее значение <P>, а дедушка рассчитывал величину стандартного отклонения ΔS. Видно, что во всех случаях случайная ошибка, как и раньше, не превышает несколько сотых долей грамма.

Определение предела прочности нити. Пределом прочности нити называется максимальный вес, P_max, который может удержать нить, прежде чем порвется. В наших экспериментах важно, чтобы во время их выполнения нить не только не порвалась, но и не растянулась на заметную величину (см. последнее из условий (1)). Для этого необходимо, чтобы вес подвесной системы был много меньше предела прочности нити:

                                                 (3)

где  – вес подвеса. Чтобы проверить, насколько хорошо будет выполняться это условие, необходимо выполнить механические испытания нити. Для этих целей существуют специальные приборы, такие как испытательная машина INSTRON 5942 в «Лаборатории экспериментальной механики» ЮУрГУ, где я был летом на экскурсии (Рисунок Б.5). Сотрудники лаборатории на примере моей лески сняли кривую растяжения, показывающую, каким грузом надо растягивать нить, чтобы она удлинилась на данную величину (Рисунок В.1). Из них видно, что нить разрывается, когда нагрузка составит примерно 12 кг. Как видно из таблицы 1 Приложения Г, максимальный вес подвеса не превышает 200 г или 0,2 кг. Таким образом,

Значит, условие (3) выполнено, и можно переходить к выполнению основных экспериментов.

Экспериментальное исследование колебаний маятника

Подготовка и выполнение экспериментов

Подготовка к выполнению экспериментов включала:

• проверку крепления нити к кронштейну и к державке маятника,
• измерение длины свободной части нити, от кронштейна до вершины державки,
• установка на подвесе необходимого груза,
• выравнивание шкалы в горизонтальное положение с помощью уровня,
• совмещение черной метки шкалы (кольцо из черной резинки) с положением равновесия маятника,
• установка с помощью зеленой метки шкалы (кольцо из зеленой резинки) требуемого значения начальной амплитуды колебаний.
• запуск таймера и установка его в состояние ожидания старта.

Для выполнения эксперимента нужны 2 человека. Это – я и, обычно, дедушка. Один человек управляет таймером (хронометрист), а другой – маятником (оператор). Оператор устанавливает маятник в исходное положение, отвечающее необходимой амплитуде колебаний, отклоняя его до зеленой метки, и отпускает маятник по команде хронометриста. Хронометрист следит за движущимся маятником, и когда нить пересекает черную метку на шкале (положение равновесия), дает старт таймеру. Продолжая следить за маятником, он нажимает кнопку «стоп», в момент, когда маятник сделает 10 полных колебаний и вновь вернется в положение равновесия. После этого хронометрист копирует время, измеренное таймером, в таблицу результатов на компьютере, а оператор снова приводит маятник в исходное состояние. Эта процедура повторяется 20 раз для каждой начальной амплитуды колебаний и каждого набора грузов на подвесе маятника.

Результаты экспериментов

1. Зависимость периода колебаний маятника от амплитуды

         О качестве выполненных мною экспериментов по измерению периода колебаний можно судить по графику (Рисунок В.2), где показаны результаты 20 последовательных измерений времени 10 колебаний маятника при фиксированной амплитуде. Видно, что результат 4-го измерения сильно отличается от остальных. Такое измерение называется промахом и не учитывается при обработке данных.

Измерения 10 периодов колебаний были сделаны при 5 различных амплитудах в диапазоне от 175 мм до 595 мм. При этом длина маятника составляла 1445 мм. (Рисунок В.3)  Красные отрезки, отложенные от среднего значения вверх и вниз, показывают величину случайной ошибки (стандартного отклонения) ΔS. Они показывают, что измеряемая величина может иметь любое значение из этого отрезка с определенной вероятностью, в данном случае – с вероятностью 70%. Зеленая прямая пересекает все отрезки, отвечающие разным амплитудам. Ее точки пересечения с этими отрезками дают возможное значение времени 10Т при данной амплитуде колебаний. Значит, наши опыты не исключают того, измеряемая величина постоянна, не зависит от амплитуды. В то же время чувствуется, что начиная с амплитуды, период имеет тенденцию к увеличению.

         Физики в такой ситуации говорят: «Зависимость периода колебаний математического маятника от их амплитуды в данных экспериментах не обнаружена. Если она существует, то мала по сравнению с ошибками эксперимента».

2. Зависимость периода колебаний маятника от веса груза

Измерения величины 10Т были сделаны для 4 грузов, от 27,88 до 161,09 грамм, при постоянной начальной амплитуде колебаний, А =175 мм. (Приложение В.4)  Из графика видно, что по тем же причинам, что и в предыдущем случае, можно утверждать, что «Зависимость периода колебаний математического маятника от веса груза в данных экспериментах не обнаружена. Если она существует, то мала по сравнению с ошибками эксперимента.»

Выводы

При выполнении реферата я :

• познакомился с достижениями великого физика, механика и астронома – Галилео Галилея,
• узнал об открытых им законах движения маятника,
• проверил справедливость двух законов, изготовив экспериментальную установку, выполнив измерения и надлежаще их обработав,
• пришел к заключению, что с точностью до ошибок эксперимента два закона Галилея – правильные.

Список литературы

1. С. Г. Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках. ‑ 3-е изд., расширенное. М.: МЦНМО, 2001. ‑ 448 с
2. Б. И. Спасский. История физики. ‑ М.: Высшая школа, 1977. — Т.1. – 320 с
3. Галилей, Галилео – Википедия
4. Часы ‑ Википедия

Приложение А

 «Математический маятник: проверка законов Галилея»

Приложение Б

Приложение В

Приложение Г

Результаты измерений

Таблица 1

Вес дополнительных грузов, использованных в подвесной системе маятника, г

Таблица 2.

Результаты измерения времени 10 колебаний маятника

при различной начальной амплитуде А

Сиреневым отмечен промах в измерениях. Желтым отмечены результаты, полученные с использованием ошибочного значения, голубым – после исключения этого значения. Параметры маятника: L=1445 мм, высота подвеса от вершины державки до нижнего конца шпильки – 50 мм

Таблица 3.

Зависимость периода колебаний от веса маятника

Параметры колебаний: L=1445 мм, А = 175 мм