Решение уравнений, содержащих абсолютную величину

Вы не зарегистрированы

Авторизация

Ресурсы сайта

Предметный каталог

Решение уравнений, содержащих абсолютную величину

Фото пользователя Наталья Михайловна Хоронеко

Размещено: Наталья Михайловна Хоронеко - ср, 26/08/2009 - 14:54

Данные об авторе

Автор(ы):

Хоронеко Наталья Михайловна

Место работы, должность:

МОУ "Гимназия" МО "Островский район" Псковской области

Регион:

Псковская область

Характеристики урока (занятия)

Уровень образования:

основное общее образование

Целевая аудитория:

Учащийся (студент)

Целевая аудитория:

Учитель (преподаватель)

Класс(ы):

8 класс

Предмет(ы):

Алгебра

Цель урока:

Обучение приемам решения основных типов уравнений, содержащих абсолютную величину

Тип урока:

Урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Учащихся в классе (аудитории):

Используемые учебники и учебные пособия:

И.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов Алгебра 8класс М., Просвещение, 2006г

Используемая методическая литература:

Естественно научный образовательный портал http://en.edu.ru/catalog/680

Портал информационной поддержки ЕГЭ http://www.ege.edu.ru/

Используемое оборудование:

Компьютр, мультемидийный проектор

Краткое описание:

Решение уравнений следующими способами: 1.Решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины, опираясь на определение модуля числа и свойства абсолютной величины числа. 2.Решение уравнений методом разбиения оси на промежутки знакопостоянства. 3.Решение уравнений графическим способом. 4.Решение нестандартных уравнений, содержащих знак модуля. Каждый из видов решения уравнений представляется учащимися в сопровождении презентации, подготовленной учащимися физико-математической группы.

Ресурс для профильной школы:

Ресурс для профильной школы

Решение уравнений, содержащих знак модуля

Для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, будем опираться на определение модуля числа и свойства абсолютной величины числа.

Пример 1. Если|a|=|b|, то a = b или а = -b.

Применим это замечание к решению уравнения|3x-1|=|2x+3| .

Так как модули равны, то это значит, что

3х – 1 = 2х +3 или 3х – 1 = - (2х +3) Решим каждое уравнение.

3х – 2х = 3 +1 3х – 1 = -2х - 3

х = 4 3х + 2х = -3 +1

5х = -2

х = - 0,4

Решение данного уравнения имеет вид: х = 4; х = - 0,4

Пример 2. Уравнения, содержащие знак модуля могут, иметь бесконечное множество решений или не иметь решений. Рассмотрим уравнение, содержащее выражение, не стоящее под знаком модуля.

Решим уравнение|x|=|3-2x| - x -1  методом разбиения оси на промежутки знакопостоянства.

Установим точки, в которых обращается в нуль выражения, стоящие под знаком модуля: Х = 0 и 3 – 2х = 0, Х = 1,5

Эти точки разбивают числовую ось на промежутки, внутри которых выражения сохраняют постоянный знак (промежутки знакопостоянства). Это позволяет освободиться на каждом из таких промежутков от знака модуля и свести задачу к решению нескольких уравнений.
Определим знак выражения, стоящего под знаком модуля на каждом промежутке.

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

1,5

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]> <![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if gte mso 9]> <![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if gte mso 9]> <![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![endif]-->4. Раскроем знак модуля на каждом промежутке

х < 0 0 ≤ x ≤ 1,5 x > 1,5

-x = 3 – 2x – x – 1 х = 3 – 2х – х – 1 х = -(3 – 2х) – х - 1

2x = 2 4х = 2 х = -3 + 2х – х - 1

х = 1 х = 0,5 0х = - 4

Не является корнем, нет решений

т.к. не принадлежит

данному промежутку

Ответ: х = 0,5

Обратите внимание:

Знак выражения сохраняется, если выражение под знаком модуля «+»;

меняется на противоположный, если выражение под знаком модуля «-».

Пример 3. Рассмотрим уравнения со знаком модуля, имеющие бесконечное множество решений.

Решим уравнение |8-5x|= |3+x|+ |5-6x| методом разбиения оси на промежутки знакопостоянства.

1. 8 – 5х = 0 3 +х = 0 5 – 6х = 0

-5х = - 8 х = -3 х = 5/6

x = 1,6

2. Для каждого выражения, стоящего под знаком модуля определим промежутки знакопостоянства

<!--[if gte vml 1]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

-3

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

-3

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

-3

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if gte mso 9]> <![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if gte mso 9]> <![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if gte mso 9]> <![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

1,6

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

1,6

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

1,6

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if gte mso 9]> <![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if gte mso 9]> <![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if gte mso 9]> <![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![endif]-->3. Раскроем знак модуля на каждом промежутке

x < -3 -3 ≤ x ≤ 5/6 5/6  < x ≤ 1,6

8 – 5x = -3 – x +5 – 6x 8 – 5x =3 + x+ 5 – 6х 8 – 5x =3 + x -5 + 6x

2x = -6 0х = 0 -12x = - 10

x= - 3 x    = [ -3 ;5/6 ] x = 5/6

Не является Не является

решением решением

x > 1,6

-8 + 5x = 3 + x – 5 + 6x

-2x = 6

X= -3

Не является

решением Ответ: х = [ -3 ;5/6 ]

Пример 4. Несколько сложнее решаются уравнения, в которых встречается модуль под знаком модуля. Метод разбиения оси на промежутки знакопостоянства позволяет решить и такие уравнения: |2x-3|-|x+2||=8x+12

Найдем точку обращающую в нуль внутренний модуль

x +2 = 0 x = -2 <!--[if gte vml 1]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

-2

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![endif]-->

Раскроем данный модуль на каждом числовом промежутке

Если x < - 2

|2x-3+x+2|=8x+12

<!--[if gte vml 1]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

-2

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if gte mso 9]> <![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![endif]-->3х -1 = 0

x =1/3

Если х <-2

то 3х- 1 <0

Значит

-(3х – 1) = 8х + 12

-11х = 11

x = -1

Не является

решением

Если x ≥ -2

|2x-3-x-2|=8x+12

|x-5|=8x+12

x – 5 = 0

<!--[if gte vml 1]> <![if !mso]>

<![endif]>

-2

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if gte mso 9]> <![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if gte mso 9]> <![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![endif]-->x = 5

Если-2   ≤  ≤ х< 5, то

уравнение примет вид

-х +5 = 8х +12

-9х = 7

x = - 7/9

Если x       ≥ 5, то уравнение примет вид

x – 5 = 8х +12

-7х = 17

x = -17/7  Не является корнем Ответ: x = - 7/9

Пример 5. Уравнения, содержащие модуль можно решить и графическим способом

1. |x| = x+1  Для этого построим график левой и правой части уравнения

y = |x|  - графиком является биссектриса 1 и 2 четверти

<!--[if gte vml 1]> <![if !mso]>

<![endif]>

У = х +1

<![if !mso]>

<![endif]> <![endif]-->y = x+1 – графиком является прямая

Точка пересечения графиков позволит определить корень уравнения.

<!--[if gte vml 1]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

-1

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

У= <![if gte mso 9]> <![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

y = x +1

<![if !mso]>

<![endif]> <![endif]-->    <!--[if gte vml 1]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

-1

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

У= <![if gte mso 9]> <![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

y = x +1

<![if !mso]>

<![endif]> <![endif]--> Ответ: x = -1

Найдем корень уравнения |x|+ |x-1|=1.

<!--[if gte vml 1]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

-1

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

у = <![if gte mso 9]> <![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![if !mso]>

<![endif]>

у = <![if gte mso 9]> <![endif]>

<![if !mso]>

<![endif]> <![endif]-->Преобразуем, уравнение |x| = 1-|x-1|  и простроим графики функций y =|x|  и у = |x-1|

Графики пересекаются на промежутке [0;1], данный промежуток является решением уравнения.

Пример 6. Решение нестандартных уравнений, содержащих знак модуля.

Решим уравнение 3| x + 2 | + x2 + 6x + 2 = 0.

Рассмотрим два случая.

A) x+2 ≥ 0 ⇔ x ≥ -2 ⇔ x = -1

x2 +9x +8 = 0 x= -1, x= -8

B) x+2 < 0 ⇔ x< -2 ⇔ x = - 4

x2 +3x - 4 = 0 x= -4, x = 1

Ответ: (– 4; – 1).

Решим уравнение | 4 – x | + | (x – 1)(x – 3) | = 1.

Решение.

Учитывая, что | 4 – x | = | x – 4 |, рассмотрим четыре случая.

1) x - 4   ≥ 0 ⇔ Ø

4 - x - x2 + 4x - 3 = 1

2) 3< x < 4 ⇔ Ø

4 - x + x2 - 4x +3 = 1

3) 1 ≤ x  ≤ 3 ⇔ x = 3

4 - x + x2 - 4x + 3 = 1

4) x > 1 ⇔ Ø

4 - x + x2 - 4x +3 = 1

Ответ: 3.

Графический способ.

Построим графики функций y = |(x–1)(x–3)| и y=1–|x–4 |

1)в y = |(x–1)(x–3)| подставим значение х=1 и х=3. Мы получим у=0,

То есть пересечение графика с осью ОХ. При x равном нулю у=3, то есть график пересекается с осью ОУ в точке (0 ;3). И при х=4 y также равен 3 - мы получили первый график.

2) y=1–|x–4 | Найдем пересечение с осью ОХ, для этого решим простое уравнение: 1-|x-4|=0

|x-4|=1

x - 4=1 или x - 4=-1

x=5; x=3

Следовательно, данный график пересекает ось ОХ в точках x=5 и x=3.

При х=4 у=1 и как видно из графика: графики обеих функций пересекаются в одной точке x = 3.

Ответ: 3

При наличии времени рассматриваются и наиболее сложные уравнения ( Приложение)

» Тэги к этому документу:

Войдите на сайт под своим логином или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии

Поиск

Оценка материала

...