Макарычев Ю.Н., Нешков К.И., Суворова С.Б., под редакцией Теляковского С.А. "Алгебра - 7".

 

Учебник "Алгебра 8 ", Макарычев Ю.Н. и др.

"Самостоятельные работы Алгебра 8", Ершова А.П. и др.

  

 

 

Цели  урока.

1. Познакомитьс одним из разделов  математики.
2. Показать, как  полученные на уроках математики знания применяются на практике.
3. Развивать  логическое  мышление, развивать  монологическую речь, учить  обосновывать  свои  действия.

4.Развивать  навыки   работы  в группе.
Форма  работы: групповая.

I. Знакомствосправилами

Для более продуктивной работы на уроке и дома класс разбит на группы

Предварительная подготовка

Проводится социологический опрос.

1. Назовите самый любимый школьный предмет.
2. Сколько детей в вашей семье?
3. Какие телевизионные передачи нравятся вашим папе и маме?
4. Какую музыку вы слушаете?
5. Какие телепередачи вы смотрите?

6.Оцените все изучаемые предметы.
Критерии оценок:

интересен - 1 балл; неинтересен  0 баллов; необходим - 1 балл; не нужен - 0 баллов; успеваемость 4, 5 - 1 балл; успеваемость 2, 3  0 баллов.

1. Ваш вес.
2. Ваш рост.
3. Ваш размер обуви.

Работа с графиками и диаграммами

 После проведения опроса предложите ученикам офор­мить данные в виде графиков, таблиц, диаграмм.

1. Составьте таблицы по данным пунктов 1, 2, 7, 9.
2. Начертите график по результатам пункта 8. Необходимо подсчитать средний рост мальчиков и девочек отдельно по этим данным постро­ить графики.
3. Постройте столбчатые диаграммы на каждый изучаемый предмет по 6-му пункту опроса.
4. Постройте круговые диаграммы по данным пунк­тов 7-9.

II. Чтотакоестатистика?

Говорят, что на этот вопрос английский премьер-ми­нистр Б. Дизраэли ответил так: «Есть три вида лжи: обыч­ная ложь, наглая ложь и статистика». Заглянем в энци­клопедический словарь и узнаем толкование слова «ста­тистика», а затем вернемся к шутливому определению Б. Дизраэли.

Статистика  (нем. Statistikотитал. Stato- «государство») - по­лучение, обработка, анализипубликацияинформации, характе­ризующейколичественныезакономерностижизниобществавнеразрывнойсвязисихкачественнымсодержанием. Вестествен­ныхнаукахпонятие«статистика»означаетанализмассовыхявле­ний, основанныйнапримененииметодовтеориивероятностей.

Статистика занимается вопросами, связанными с под­бором и анализом количественной информации. Однако наибольшую пользу приносит статистика при изучении массовых явлений. Как вы думаете, почему на пачках сигарет написано: «Минздрав предупреждает: курение опасно для вашего здоровья»? К выводу о вреде курения врачи всего мира пришли после анализа множества на­блюдений за здоровьем курящих людей. Конечно, обсле­довалось здоровье не всех курящих людей планеты, но достаточно большое их количество (несколько милли­онов).

В статистических исследованиях поступают следующим образом. Рассматривают и изучают многочисленную часть (выборку) объектов какого-то явления. При этом все объек­ты явлений называют генеральной совокупностью. По результатам наблюдений за массовой выборкой делают выводы обо всей генеральной совокупности. Так, в рас­сматриваемом примере медики изучили влияние курения на здоровье нескольких миллионов человек (это выбор­ка), сделали вывод о вреде курения для наблюдаемых и распространили его на всех людей планеты (генеральную совокупность). И этот вывод уже равносилен закону, так как имеет массовое подтверждение.

В естественных науках, в технике, в технологии изу­чение какого-то свойства явления бывает невозможно или абсурдно проводить на всей генеральной совокупности. Представьте себе, что технолог завода хочет удостовериться в отличном качестве подготовленных к отправке потреби­телю консервов. Разве для этого он будет вскрывать все банки с консервами? (Что достанется тогда потребителю?) В действительности он откроет, например, сто наугад вы­бранных банок из многочисленной партии и, убедившись в их высоком качестве, даст разрешение на отправку про­дуктов.

Для объективности вывода о каком-то явлении нужно иметь данные о многих его элементах, выбранных слу­чайно. Грамотно провести статистическое исследование не так уж и просто. Статистика может обернуться особой разновидностью лжи. С ее помощью можно попытаться доказать и красиво обосновать все что угодно. Статисти­ческое исследование считают достоверным лишь в том случае, когда оно проводилось на достаточно большой слу­чайным образом составленной выборке.

III. Способы представления  данных

Результаты статистических исследований после обра­ботки обычно представляют в наиболее обозримой, нагляд­ной и компактной форме. Это лучше всего сделать с помо­щью таблиц, диаграмм, графиков.

Дома вы составляли таблицы, строили диаграммы, чертили графики по данным социологического опроса. Проанализируем результаты. (Каждая группа анализиру­ет результаты своего опроса.)

 

IV. Среднее  арифметическое

 

Ученик получил в течение четверти следующие отмет­ки по алгебре: 5, 2, 4, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5. Какую четвертную оценку ему поставит учитель? Многих волнует эта про­блема, и чаще всего ученики решают ее следующим есте­ственным образом: складывают все отметки и делят сум­му их на количество. В рассматриваемом случае получаем

(5+2+4+5+5+4+4+5+5+5): 10= 4,4

Полученный результат (число 4,4) называют средним арифметическим.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Средним арифметическимряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество.

Задание. Подсчитайте средний рост, средний вес, сред­ний размер обуви учащихся класса (работа в группах).

Можно ли теперь, используя полученные данные, за­казать школьную форму в ателье на весь класс? Почему нельзя? Попробуйте обосновать свое мнение.

V. Мода

Среднее арифметическое, конечно, важная характери­стика ряда чисел, в рассмотренном случае - отметок за четверть, но иногда полезно рассматривать и другие сред­ние. Например, претендуя на оценку «5», ученик навер­няка будет использовать такой аргумент: «Чаще всего в четверти я получал пятерки!» Статистик в этом случае сказал бы так: «Модой этого ряда является число 5».

ОПРЕАЕЛЕНИЕ. Модойобычно называют число ряда, ко­торое встречается в этом ряду наиболее частое.

В отличие от среднего арифметического, которое мож­но вычислить для любого числового ряда, моды может вообще не быть. Пусть, например, ученик получил в чет­верти по русскому языку следующие отметки: 4, 2, 3, 5. Каждая отметка встречается в этом ряду только один раз, и среди них нет числа, встречающегося чаще других. Зна­чит, у этого ряда нет моды. А вот среднее арифметиче­ское, конечно, есть:     4+2+3+5=3,5

Числовой ряд может иметь и больше одной моды. На­пример, если ученик получил следующие оценки: 4, 3, 4, 5, 3, 3, 4, 4, 3, 5, то этот ряд имеет две моды: 3 и 4.

Такой показатель, как мода, используется не только в числовых рядах. Вы уже знакомы с социологическими опросами. Если опросить большую часть учеников, какой школьный предмет им нравится больше всего, то модой этого ряда ответов окажется предмет, который назван чаще остальных.

Мода - это показатель, который часто используется в статистике. Одним из наиболее частых использований моды является изучение спроса. Прежде чем выпускать какой-нибудь новый товар, как правило, производители изучают спрос на него.

Задание 1. Используя данные опроса, определите са­мую любимую телепередачу ваших мам, пап и, конечно, вашу. (Работа в группах.)

Задание 2. По данным опроса определите самый мод­ный предмет, изучаемый в школе, модный цвет глаз в вашей группе.

 

VI.Размах

 

Нахождение среднего арифметического или моды да­леко не всегда позволяет сделать надежный вывод на ос­нове статистических данных.

Например, на планете Меркурий средняя температура + 15°С. Исходя из этого статистического показателя, мож­но подумать, что на Меркурии умеренный климат, удоб­ный для жизни людей. Однако, на самом деле это не так. Температура на Меркурии колеблется от - 150 до + 350°С.

Значит, если имеется ряд данных, то для обоснован­ных выводов и прогнозов на их основе помимо средних значений надо еще указать, насколько используемые дан­ные различаются между собой.

Одним из статистических показателей различия или разброса данных является размах.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Размах- это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных.

Для температуры на Меркурии, например, размах ра­вен 350°С - (- 150°С) = 500°С. Конечно, такого перепада температур человек выдержать не может.

Задание. Используя данные опроса, подсчитайте размах роста вашего класса, размах веса, размах размера обуви.

Итак, мы ввели в рассмотрение три числовых ха­рактеристики для описания поведения числового ряда:

• среднее арифметическое;
• мода;
• медиана.

Обсудим теперь особенности каждой из этих вели­чин. Прежде всего заметим, что далеко не всегда име­ет смысл вычислять все три характеристики. И дело здесь не в том, что какая-то из них может не сущест­вовать — это, как уже было сказано, касается только моды. Дело в том, что во многих ситуациях какая-то из характеристик может не иметь никакого содержа­тельного смысла.

Пример 2. Гвозди в магазине продают на вес. Что­бы оценить, сколько гвоздей содержится в одном ки­лограмме, дядя Вася решил найти вес одного гвоздя. Для повышения точности измерений он взвесил на лабораторных весах несколько разных гвоздей и полу чил следующий ряд чисел (вес гвоздя в граммах): 4,47; 4,44; 4,64; 4,32; 4,45; 4,32; 4,54; 4,58.

Какую из характеристик - среднее арифметичес­кое, моду или медиану — этого ряда ему следует взять в качестве оценки для веса одного гвоздя?

Найдем все три характеристики:

х=4,47, Мо = 4,32, Me= 4,46. Самой подходящей по смыслу задачи является среднее арифметическое. Не сильно отличается от него и медиана, которая тоже вполне пригодна для оценки среднего веса. А вот мода здесь вряд ли подойдет, пос­кольку все значения полученного ряда разные, и сов­падение двух чисел 4,32 вряд ли отражает какую-то существенную закономерность в изготовлении гвоз­дей.

Таким образом, при формальном существовании всех трех характеристик, разумно использовать мож­но только две из них. Какую именно — все равно, пос­кольку они в данном случае очень близки друг к дру­гу. А вотпример, в котором,¹ наоборот, мода содержит больше полезной информации.

Пример 3. Перед нами ранжированный ряд, пред­ставляющий данные о времени дорожно-транспорт­ных происшествий на улицах Москвы в течение одних суток (в виде ч:мин);

0:15, 0:55, 1:20, 3:20, 4:10, 6:10, 6:30, 7:15, 7:45, 8:40, 9:05, 9:20, 9:40,10:15,10:15,11:30, 12:10, 12:15, 13:10, 13:50, 14:10, 14:20, 14:25, 15:20, 15:20, 15:45, 16:20, 16:25, 17:05, 17:30, 17:30, 17:45, 17:55, 18:05, 18:15, 18:45, 18:50, 19:45, 19:55, 20:30, 20:40, 21:30, 21:45, 22:10, 22:35.

Как и для любого ряда в данном случае мы можем найти среднее арифметическое — оно равно 13:33. Од­нако вряд ли имеет какой-то смысл утверждение типа «аварии на улицах Москвы происходят в среднем в 13 часов 33 минуты*. В то же время, если сгруппировать данные этого ряда в интервалы, можно найти такой временной интервал, когда происходит наибольшее количество ДТП (такую характеристику называют интервальной модой). Получив такую характеристи­ку, соответствующим службам имеет смысл серьезно проанализировать, почему именно в этот временной интервал происходит наибольшее количество проис­шествий, и попытаться устранить их причины.

И, наконец, пример, где удобнее пользоваться медианой.

Пример 4. На школьной спартакиаде проводится несколько квалификационных забегов на 100 м, из ко­торых в финал выходит ровно половина от числа всех участников. Перед вами результаты всех спортсменов. Какой результат позволяет пройти в финал? 15,5; 16,8; 21,8; 18,4; 16,2; 32,3; 19,9; 15,5; 14,7; 19,8; 20,5; 15,4.

Здесь для ответа на вопрос нужно вычислить ме­диану: Me= 17,6. Спортсменов, которые имеют ре­зультат выше найденного, будет как раз половина от числа всех участников. А вот результат выше сред­него арифметического, которое равно здесь г = 18,9, еще не позволяет рассчитывать на выход в финал; в списке есть спортсмен с результатом 18,4, который не попадает в финал. Мода этого ряда равна Мо = 15,5 и дает слишком завышенную оценку для «сред него результата».

Посмотрим теперь более внимательно на некото­рые интересные свойства среднего арифметического, моды и медианы, вытекающие из их определений. Среднее арифметическое числового ряда является его наиболее естественным «центром». Если нарисовать все члены ряда на числовой прямой, то среднее ариф­метическое будет их центром масс. Точнее, представим себе, что в каждой из точек x_vx₂, ..., х_а на числовой оси находятся грузы одинаковой массы. Если теперь

«подвесить» числовую ось в точке х, то вся система будет находиться в равновесии. Вот так, например, это будет выглядеть для числового ряда из последнего примера 4 (рис. 1):

Правда, и в этом случае ряд, как уже говорилось, мо­жет быть полимодальным. Особенностью моды явля­ется еще и то, что ее можно использовать не только в числовых рядах. Если, например, опросить боль­шую группу учеников, какой школьный предмет им нравится больше всего, то модой этого ряда ответов окажется тот предмет, который будут называть чаще остальных. Это одна из причин, по которой мода ши­роко используется при изучении спроса и проведении других социологических исследований. Например, при решении вопросов, в пачки какого веса фасовать масло, какие открывать авиарейсы и т.п. предвари­тельно изучается спрос и выявляется мода — наиболее часто встречающийся заказ. И даже выборы президен­та с точки зрения статистики — не более чем определе­ние моды...

Достоинством медианы является ее большая по сравнению со средним арифметическим «устойчи­вость к ошибкам». Представим себе, что в таблицу результатов из примера 4 вкралась досадная оплош­ность: при записи одного из чисел мы пропустили де­сятичную запятую и вместо 21,8 написали 218. Тогда среднее арифметическое результатов возрастет с 18,9 секунд до 35,25 секунд, а медиана будет по-прежнему 17,6 секунд!

 

VII. Вопросы и  задачи

1. Что такое среднее арифметическое, мода и меди­ана числового ряда? Какая из этих величин может не существовать?
2. На стадионе «Локомотив" была зафиксирована следующая посещаемость первых четырех футбольных матчей: 24 000, 18 000, 22 000, 24 000. Какова была средняя посещаемость этих матчей?  Сколько зрителей должно посетить следующий матч, чтобы средняя посещаемость выросла?  

 3. Найдите медиану следующих рядов данных:  8, 4, 9, 5, 2;  ;

4...Президент компании получает зарплату 100 000 р., четверо его заместителей получают по 20 000 р, а 20 служащих компании — по 10 000 р. Найдите все сред­ние характеристики среднее арифметическое, моду, медиану) зарплат в компании. Какую из этих характе­ристик выгоднее использовать президенту в рекламных целях?

5.  На одной из станций метрополитена были замерены интервалы времени между поездами и получены следующие результаты (мин:с): 

2:16, 1:59, 2:05, 2:10, 2:05, 2:08, 2:03, 1:58, 1:56, 2:12.

Найдите среднее значение интервала времени меж­ду поездами метро. Ответ получите в виде мин:с.

Указание. Помните, что в минуте 60, а не 100 се­кунд, поэтому с числами данного ряда нельзя опери­ровать, как с десятичными дробями.

6. Каждое число исходного числового ряда увеличили на 10. Что произойдет с его средним арифмети­ческим? модой? медианой?

7.  Все числа исходного числового ряда увеличили в два раза. Что произойдет с его средним арифмети­ческим? модой? медианой?

8.  Найдите для числового ряда

1,2,3,4     все возможные значения, при которых:

а)    среднее арифметическое ряда равняется 3;

б)мода равняется 3;

в)    медиана равняется 3. 

 

1,2,3,4     все возможные значения, при которых:

а)    среднее арифметическое ряда равняется 3;

б)мода равняется 3;

в)    медиана равняется 3.

Дополнительные задачи

 

Задача 1. В таблице представлены результаты конт­рольной работы. Найдите моду (наиболее распространен­ную оценку) и средний результат контрольной.

 

ОТМЕТКА	7А  КЛАСС	7Б  КЛАСС	7В  КЛАСС
2	3	0	4
3	7	9	6
4	5	4	7
5	6	5	4

 

Задача 2. Если в числовом ряду все элементы увели­чить на одно и то же число, то как изменится среднее арифметическое, мода и размах? Рассмотрите на приме­рах и сделайте общий вывод.

Задача 3. Вычислите среднее арифметическое ряда: 37, 254, 9, 21, 699. Используя полученный результат, най­дите среднее арифметическое ряда:

а)0,37; 2,54; 0,09; 0,21; 6,99;

б)37 000; 254 000; 9000; 21 000; 699 000.
Задача 4. Как изменится среднее арифметическое, если

все члены ряда умножить на одно и то же число? Как при этом меняются мода и размах?

VIII. Подведение итогов

 Выставляет­ся оценка - за домашнюю работу (построение графиков, диаграмм, таблиц).

■ Задание на дом

Провести и оформить результаты социологического оп­роса во всех 7-х классах.

Используемая литература:

Газета «Математика»  1999,2002,2007г

 

•  

Макарычев "Алгебра" 7 класс