Министерство образования и молодежной политики

Чувашской Республики

Методическая разработка

«Квадратный трехчлен»

Выполнила учительница математики

                                                          МОУ «Заволжская средняя

                                                               общеобразовательная школа»

                                                                           г. Чебоксары

                                                              Михайлова Галина Ивановна

г. Чебоксары  2010

Содержание:

Предисловие…………..………………………………………………………………………….3

Свойство квадратного трехчлена……………………………………………………………….4

Теорема Виета и следствие о знаках корней.

 Разложение квадратного трехчлена на линейные множители…………..…………………...5

Знаки значений квадратного трехчлена. Решение квадратных неравенств…………...…….6

Свойства квадратного трехчлена, как функции……………………………………………….7

Способы построения графика квадратичной функции……………………………………….8

Квадратный трехчлен в неявном виде………………………………………………………...10

Расположение корней квадратного трехчлена………………………………………………..11

Задачи для самостоятельного решения и подготовки к экзаменам…………………………13

Квадратные неравенства………………………...……………………………………………..15

Исследование и решение неравенств II степени……………………………………………..16

Литература………………………………………………………………………………………40

<!--[if !mso]> v\:* {behavior:url(#default#VML);} o\:* {behavior:url(#default#VML);} w\:* {behavior:url(#default#VML);} .shape {behavior:url(#default#VML);} <![endif]--><!--[if gte mso 9]> Normal 0 false false false MicrosoftInternetExplorer4 <![endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]--><!--[if !mso]>

Предисловие

     Квадратный трехчлен с полным правом можно назвать основной из функций, изучаемых в школьном курсе математики. Если не считать самой простой функции – линейной, то это единственная функция, для которой в школьном курсе могут быть достаточно строго доказаны основные свойства, составляющие содержание теории и необходимые для решения задач.

     Такое особое положение квадратного трехчлена отражается и на контрольно измерительных  материалах единого государственного экзамена по математике. Предполагается большое число разнообразных задач различной сложности, решаемых с помощью свойств квадратного трехчлена. Поэтому безукоризненное знание свойств квадратного трехчлена, умение применять эти свойства для решения задач фактически требуется от каждого ученика. Использование различных букв при решении уравнений и обработке навыков преобразований является необходимым требованием. При этом выполняются две функции – одна, чисто математическая: приучая к разнообразию обозначений, мы одновременно развиваем абстрактное мышление, то есть математические законы, операции и их свойства усваиваются структурно, без связи с конкретными буквами. Вторая, также крайне важная функция, касается межпредметных связей. Необходимо добиться  твердых навыков решать любые квадратные и простейшие биквадратные уравнения с обязательным обозначением неизвестных различными буквами (x,y,u,w,t,v,s).

     Математика, как никакой другой школьный предмет, требует непрерывной цепи базовых знаний. Отсутствие, какого – либо звена в этой цепи полностью лишает ученика возможности дальнейшего обучения. Уже в 5-ом классе по учебнику Н.Я. Виленкина и др. появляются первые примеры неполных квадратных уравнений  (№496; 660). После знакомства с решениями таких примеров желательно не забывать их давать в дальнейших уроках, в виде устного счета. Например: угадайте корни уравнения: (w*w=16,u*u=49,s*s=25). И при изучении десятичных дробей в устный счет можно включать аналогичные примеры. В 6-ом классе уже больше можно уделять внимания на решения неполных квадратных уравнений. При изучении темы: “умножение дробей” вместе с переместительным и сочетательным свойствами упоминается свойства 0 и 1. Здесь можно начинать давать примеры  на решение неполных квадратных уравнений. При прохождении темы: «Уравнения и его корни» в 7-ом классе по учебнику Алгебра 7 под редакцией С.А.Теляковского в №114;№115 решаются неполные квадратные уравнения. И теперь желательно постоянно включать аналогичные уравнения в виде устного счета. При изучении темы: «Функции  и  и их графики» в решении №493; №494 уже начинают решать графически квадратные уравнения. Вот здесь уже надо осень хорошо научить детей строить график функции . На изучение темы: «Функции  и  и их графики» отводится 2 часа. И эти темы проходят в ноябре, больше не возвращаются. В 8-ом классе по учебнику  Алгебра 8 под редакцией С.А. Теляковского проходим тему «Квадратные уравнения», на которое отведено 22 часа. И здесь разобран один пример на вычисление высоты предмета которое решается с помощью квадратного уравнения. Аналогичных заданий для самостоятельного решения нет. Можно ученикам дать задание, придумать аналогичные примеры, которые в последующем можно разбирать на кружковых занятиях или рассмотреть готовые решения. Примерные задачи (межпредметная связь):

       1. Движение двух автомобилей задано уравнением   Найти время и место встречи.

       2. Снаряд зенитной пушки, выпущенной вертикально вверх со скоростью 800 м/с, достигает цели через 6с. На какой высоте находится самолет противника.

Здесь же изучаем тему: графическое решение уравнений, где учимся определять корни уравнений с помощью графиков.

        1. Свойства квадратного трехчлена.

         Для активного применения свойств квадратного трехчлена необходимо свободно владеть ими. Вся теория квадратного трехчлена вытекает из формулы   полный квадрат, где коэффициент перед  называется «первым коэффициентом», перед x- «вторым коэффициентом», а c- «свободным коэффициентом». В дальнейшем мы будем пользоваться такими терминами.

Такое преобразование квадратного трехчлена называется выделением полного квадрата. Эту основную формулу можно запомнить, но более полезно понять, как именно она получается, и в каждом конкретном случае выделять полный квадрат этим способом. Рассмотрим задачу, при решении которой применяется выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

         Докажем, что из всех прямоугольников с периметром 20 см наибольшую площадь имеет квадрат.

         Решение: Пусть одна сторона прямоугольника равна x см. Тогда другая сторона равна 10-x см, а площадь прямоугольника равна x(10-x) см.

Раскрыв скобки в выражении x(10-x),получим 10x-x. Выражение -x+10x представляет собой квадратный трехчлен в котором а=-1,b=10,c=0. Выделим квадрат двучлена:

Так как выражение –(x-5) при любом x5 отрицательно, то сумма –(x-5)+25 принимает наибольшее значение при x=5. Значит, площадь будет наибольшей, когда одна из сторон прямоугольника равна 5см. В этом случае вторая сторона также равна 5см,т.е. прямоугольник является квадратом.

          В учебнике Алгебра 9 класс под редакцией С.А. Теляковского имеются аналогичные задачи с №52 по №55, которые обязательно надо решать. Ученикам можно задать, чтобы они сами придумывали аналогичные задачи. Но в 8-ом классе отводится отдельная тема на выделение квадрата двучлена по учебнику под редакцией С.А. Теляковского. Здесь ученикам уже нужно показать, для чего нужно уметь выделять полный квадрат.

         В формуле полного квадрата появляется выражение  которое называется дискриминантом квадратного трехчлена и имеет определяющее значение для всех его свойств. Из основной формулы полного квадрата немедленно вытекает условие существования корней: при D<0 квадратный трехчлен корней не имеет, при D>0 он имеет два различных корня

       ,

А при D=0 ситуация является чуть более сложной. Говорят, что он имеет два равных(совпадающих) корня . В дальнейшем мы будем пользоваться вторым способом выражения, т.е. считать, что квадратный трехчлен с нулевым дискриминантом имеет два равных корня или один двойной корень.

          Полученные выражения для корней трехчлена с неотрицательным дискриминантом принято записывать в виде

                  , или  ,

Здесь корень  получается при выборе знака плюс, а корень - при выборе знака минус. При >0, при решении задач, выполняется неравенство >,а при <0 имеет место обратное неравенство <. Для закрепления формул надо решать задачи №44; №46 с учебника «Алгебра9» авторы Ю.Н. Макарычев. Задать на дом: Придумать примеры квадратных трехчленов: 1) имеющих 2 различных корня; 2) имеющих двух равных корней; 3) не имеющих корней. По два примера на каждый случай.

       Если второй коэффициент квадратного трехчлена (т.е. коэффициент при х) является четным числом, то формула корней принимает более простой вид

   ,

Полученная формула облегчает вычисление, и в соответствующих случаях ею рекомендуется пользоваться, когда второй коэффициент очень большое число. После решения №539 из учебника Алгебра8,надо по возможности стараться использовать эту формулу.

           2.Теорема Виета и следствие о знаках корней. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.

Из общей формулы корней квадратного трехчлена непосредственно вытекает два равенства

Эти равенства называют теоремой Виета. Полная формулировка этой теоремы: «Если  и  - корни квадратного трехчлена, , то

                                                                 ».

             Эта формулировка, вполне понятная и привычная для учащихся. Однако есть некоторая тонкость. Как понимать ее для трехчлена с дискриминантом, равным нулю? Если считать, что у трехчлена в этом случае один корень, то формулировка становится бессмысленной, и тогда  надо с самого начала оговорить, что  и - различные корни трехчлена.

             Если считать, что трехчлен с нулевым дискриминантом имеет два равных корня, то приведенная формулировка вполне правильна: при =. Оба равенства теоремы Виета правильны. Из теоремы Виета вытекает следствие о знаках корней трехчлена; оно хорошо известно учащимся. Но делать вывод о знаках корней нельзя до того, как установили существовование корней трехчлена. Исключение здесь лишь одно – если первый коэффициент и свободное число имеют разные знаки, то трехчлен имеет корни разных знаков - в этом случае дискриминант положителен.

             С помощью теоремы Виета легко доказывается важная формула разложения квадратного трехчлена (с неотрицательным дискриминантом) на множители: если , - корни трехчлена (быть может, равные), то справедливо тождество

      Трехчлен с неотрицательным дискриминантом, т.е. имеющий корни, раскладывается на два линейных множителя. Алгебра 9. Авторы Ю.Н. Макарычев и др. п.4 №60;61. На изучение этой темы отводится 3 урока. Опыт показывает, что с завершением изучения темы «Квадратный трехчлен» Ученики очень быстро забывают формулу разложения квадратного трехчлена на множители. А эта формула применяется как для сокращения дробей, так и для определения знака значения квадратного трехчлена. Здесь первый урок по теме разложение квадратного трехчлена на множители я дала модульный урок, который по-моему, кажется заставляет много работать самостоятельно. (Смотри приложение) После второго урока ученикам желательно задавать домашнюю самостоятельную работу в двух вариантах.

           Домашняя самостоятельная работа:

А на третьем уроке провожу самостоятельную работу на 25 минут.

Самостоятельная работа:

3. Знаки значений квадратного трехчлена. Решение квадратных неравенств.

      Если дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, то из формулы полного квадрата следует, что при любом значении x трехчлен принимает положительное значение, если а>0 и отрицательное значение, если а<0. Или знак квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом совпадает со знаком его старшего коэффициента. Если дискриминант трехчлена положителен, т.е. трехчлен имеет два различных корня, то формула разложения на множители дает возможность определить знак значения трехчлена при любом значении x в зависимости от расположения числа x относительно корней   и . Именно, при а>0 и при дискриминанте больше 0 трехчлен положителен при  > и при <, где >  и отрицателен при  > >.

      Или >0               > или  <,

              <0                  > >.

Также при D>0, a>0 справедливы следующие утверждения

0                или  ,

              0                  .

Аналогичные утверждения имеют место и при a<0.

4. Свойства квадратного трехчлена как функции.

Основная формула выделения полного квадрата (ПК) дает возможность ответить на вопросы связанные с возрастанием и убыванием квадратного трехчлена, с его наибольшим и наименьшим значением на всем множестве действительных чисел или какой либо его части.

Именно, при a>0 из этой формулы вытекает, что наименьшее значение трехчлена равно  и принимает при значении . Если трехчлен имеет корни ,,то ,так что при  является серединой отрезка

Из формулы полного квадрата (и из свойств функции ) следует, что при a>0 трехчлен  возрастает при x и убывает при x<. Если трехчлен имеет различные корни , ,то  x<<,так что  лежит в промежутке убывания, а  в промежутке возрастания трехчлена.

Знание промежутков монотонности квадратного трехчлена позволяет находить наибольшее и наименьшее значение трехчлена на каком-либо промежутке. Если значение  лежит на заданном отрезке, то наименьшее значение трехчлена на этом отрезке (при a>0) достигается при , а наибольшее значение достигается в одном из концов отрезка. Если же  не принадлежит данному отрезку, то этот отрезок целиком содержится в одном из промежутков монотонности, так что трехчлен на этом отрезке либо убывает,либо возрастает и принимает наибольшее и наименьшее значение в его концах. Аналогично с отрицательным первым коэффициентом. Промежутки монотонности квадратного трехчлена  удобно описывать с помощью понятия производной. Производной квадратного трехчлена  является функция . При a>0  , если x, т.е. y>0 и это равносильно возрастанию квадратного трехчлена на некотором промежутке. Выполнение неравенства  равносильно убыванию трехчлена.

Формула полного квадрата позволяет построить график трехчлена , исходя из графика функции . График функции квадратного трехчлена получается из графика функции параллельным переносом (;), или сдвигом вдоль оси абсцисс на  ;  и на   вдоль оси ординат. Фактическое направление сдвигов – вправо или влево, вверх или вниз зависит от знаков чисел  и .

Из этого способа построения графика трехчлена вытекает важное теоретическое утверждение: график квадратного трехчлена является параболой.

5.Способы построения графика квадратичной функции.

Графиком функции , где , является парабола. Для её построения используют три способа.

Способ 1-й. Отыскание координат вершины параболы по формулам.

Пример 1. Построить график функции .

Решение. Здесь a=2, b=-4, c=1. Значит,

Итак, (1;-1) – вершина параболы. Для построения графика функции  надо знать координаты еще нескольких точек:

Отметив вершину параболы, точки (0;1), (2;1), (3;7) и точку (-1;7), симметричную точке (3;7) относительно прямой x=1 – оси параболы, строим требуемый график.

Заметим, что запоминать формулы координат вершины параболы не следует. Достаточно воспользоваться тем, что если  - абсцисса вершины параболы, то в этой точке . Из уравнения , т.е.  ,находим- это абсцисса вершины параболы.

Способ 2-й. Построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трехчлена .

Пример 2. Построить график функции .

Решение. Найдем точки графика, имеющие ординату, равную свободному члену квадратного трехчлена, т. е. равную пяти. Для этого решим уравнение :

,  откуда

Мы нашли две точки графика: А(0;5) и В(4;5). Отметим их на координатной плоскости.

Мы знаем, что графиком является парабола. Точки А и В лежат на этой параболе и имеют одинаковую ординату. Значит, точки А и В симметричны относительно оси симметрии параболы, а потому ось симметрии параболы проходит перпендикулярно отрезку АВ через его середину. Так как абсцисса точки А равна нулю, а абсцисса точки В равна четырем, то уравнение оси параболы х=2 . Подставив значение х=2 в формулу, получим у=4-8+5=1. Значит, вершина С параболы, т. е. единственная точка параболы, лежащая на ее оси симметрии, имеет координаты  Отметив на координатной плоскости точку С (2;1), построим параболу, проходящую через точки: А, В, С. Это и будет график функции . Для более точного построения можно найти координаты еще нескольких точек и построить их.

Способ 3-й. Построение параболы по корням квадратного трехчлена.

Пусть  и - корни квадратного трехчлена . Тогда парабола, служащая графиком функции , пересекает ось абсцисс в точках А(;0) и В(;0), а ось симметрии параболы проходит перпендикулярно отрезку АВ через его середину. Зная абсциссу  вершины С параболы (точка С лежит на оси симметрии параболы, поэтому ), найдем по формуле  ее ординату, а затем построим параболу по трем точкам: А, В, С.

Пример 3. Построить график функции .

Решение. Из уравнения  находим  =1, =5. Значит, мы знаем две точки искомой параболы: А(1;0) и В(5;0). Уравнение оси симметрии параболы таково:х=3. Подставив значение 3 вместо х в формулу , находим у=4. Значит, вершиной параболы служит точка С(3;4). По трем точкам А, В и С строим параболу – график функции

 6. Квадратный член в неявном виде.

            Не увидев в том или ином конкретном выражении квадратного трехчлена, нельзя воспользоваться его свойствами. В то же время научиться видеть квадратный трехчлен в любой, сколь угодно замаскированной форме совсем не сложно – для этого надо только стремиться его увидеть.

Однако учащиеся слишком привыкают обычно к стандартному виду трехчлена, и если каждый скажет, например, что выражения

 являются квадратными трехчленами, однако далеко не все узнают его в выражении

Или еще в более сложном выражении

Умение видеть квадратный трехчлен еще не достаточно, для решения  задачи - надо еще суметь воспользоваться его свойствами, однако в ряде задач именно истолкование заданного выражения как квадратного трехчлена представляет  главную трудность.

            Рассмотрим некоторые задачи.

Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 класса. Автор Ш.А. Алимов и др. Москва «Просвещение»  2005. §9 Иррациональные уравнения в №156; №163  в примере  при решении встречается квадратный трехчлен. При решении показательных уравнений и неравенств, логарифмических уравнений и неравенств, тригонометрических уравнений и неравенств часто встречаются примеры, которые решаются применением квадратных уравнений. Очень хорошие задачи были в едином государственном экзамене в 2001году в заданиях С3. Например: найдите целые корни уравнения (x-3)(x+9)(x-4x- 12)= 300 x. При решении таких уравнений нужно рассмотреть квадратный трехчлен относительно x , считая y= x+18 параметром. Рассмотрим несколько примеров.

1. Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

8 x-6 xy+ y=0.

Решение. Рассмотрим левую часть уравнения как квадратный трехчлен относительно x. Считая y параметром; тогда как легко подсчитать, оно имеет корни x= и x=. Следовательно, данное уравнение можно представить в виде (x - )(x - )=0. Оно выполняется при x=и при x=. Так что искомое множество является объединением двух прямых с уравнениями y=2x  и  y=4x.

Приведенное решение не самое короткое с вычислительной точки зрения. Но учащимся привычно считать x «основным» неизвестным. Если поступать наоборот и переписать данное уравнение в виде y- 6xy +8 x=0 (или проделать эту операцию мысленно), то решение квадратного уравнения не потребовало бы использования дробей, а для построения графиков уже не пришлось бы  выражать y  через x.

Если с самого начала осознать путь решения задачи в целом, то естественно именно y считать основным неизвестным - ведь для построения графика мы всегда выражаем y через x. Умение находить такие возможности упрощения свидетельствуют о наблюдательности, об определенной математической культуре.

Эту задачу можно было решать, используя понятие однородности. Считать переменные  x и y равноправными, то левая часть уравнения однородна, т.е. все слагаемые имеют по переменным x и y суммарную степень 2.

2. Имеет ли решения неравенство

 9x+1 + 7*4x+0,5 <  8*6x

Решение. В этой задаче еще в меньшей степени, чем в предыдущей, виден квадратный трехчлен, но если заметить, что числа 9,4 и 6 состоят из множителей 2и 3, то после преобразований

 9x+1 =9*32x, 4x+0,5=2*22x,  6x=2x*3x

Мы придем к неравенству:    9*32x-8*2x*3x+14*22x<0.

Если теперь обозначить через  t =  >0, то мы получим неравенство 9t2-8t+14<0. Дискриминант этого квадратного трехчлена меньше 0, но первый коэффициент положителен, то трехчлен положителен при любом значении t. Следовательно, последнее неравенство, а вместе с ним и исходное неравенство решений не имеют.

Умение увидеть в некотором выражении квадратный трехчлен , может оказаться очень важным, а иногда практически единственным средством для поиска решения. Но не мало важно уметь воспользоваться свойствами квадратного трехчлена. Для практики решения задач полезны утверждения: если f(x)=ax2+bx+c, то f(0)=c, f(1)=a+b+c, f(-1)=a-b+c. Последние два равенства часто используются для устного решения квадратных уравнений.

Решить уравнение:132*9х+841*3х+1340=0.

Решение. 132y2+841y+1340=0. Это уравнение можно решать через дискриминант, но очень громоздкие вычисления. Если рассматриваемый квадратный трехчлен имеет корни y, y, то по теореме Виета, они оба отрицательны, а тогда уравнения 3х= yи 3х= yне имеют решений. Поэтому и исходное решение не имеет решений. Но есть другой, более легкий способ решения исходного уравнения - в левой части – сумма положительных выражений, следовательно не может быть равным нулю.

            Частные случаи нахождения корней квадратного трехчлена аx+ bx+ c  

Если a + b + c=0, то x=1, x=;

Если a - b + c=0, то x= -1, x= -;

Если a = c = n,  b= n2+1, т.е.  nx2+(n2+1)x +n;  x= -n, x= - .

Если a = c = n,  b= n2+1, т.е.  nx2 - (n2+1)x +n;  x= n, x= .

  7. Расположение корней квадратного трехчлена.

Рассмотрим два наиболее распространенных типа задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена. Первый тип задачи, в которой изучается расположение корней относительно заданной точки А. Возможны три случая. Не считая случая отсутствия корней: оба корня меньше  А; один корень меньше, а другой больше А; оба корня больше А. Задача сводится к определению знаков корней квадратного трехчлена. Это делается при помощи замены t=x-A, x=t+A, в результате которой трехчлен относительно x переходит в трехчлен относительно t. Знаки корней нового квадратного трехчлена определяют расположение корней исходного квадратного трехчлена относительно А. Можно и не делать замену.

Пример: При каком значении параметра a один корень уравнения

 x2-(3a+2)x+2a-1=0 больше 1, а другой меньше 1?

Решение. Решение легко получается на основании следующего простого графического соображения. График функции y = x2-(3a+2)x+2a-1 представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. По условию эта парабола должна пересекать ось х, причем отрезок [x; x]   должен содержать внутри себя точку 1.Следовательно, значение квадратного трехчлена x2-(3a+2)x+2a-1 при х=1 должно быть отрицательным. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы выполнялись неравенства x<1< x.

Ответ.a>-2

В общем случае для того, чтобы уравнение  f(x)=x2-(3a+2)x+2a-1=0 имело бы один корень меньше А, а другой больше А, необходимо и достаточно выполнения неравенствa а*f(A)<0. Не следует последнее утверждение заучивать. Необходимо понять принцип его получения и уметь провести необходимые рассуждения.

Если a>0, то для доказательства того, что уравнение  имеет два решения, достаточно указать одну точку x, в котором F(x)= аx+ bx+ c <0. Чаще всего в качестве x берут 0 (дает достаточное условие с< 0), 1( условие a+b+c<0) или _1 (условие a-b+c<0).

8.Задачи для самостоятельного решения и подготовки к экзаменам.

1.Решите уравнение:

1)x2+4x+5=cos¶x                                               2)1-x2=5x2

3)x2+4x+5=sin2*                                             4)2x-x2=4(x-1)2

5)2*2+6=6                                                  6)25*322/x-1+16*1511/x-1=9*522/x-1

7)3*+=10           

2.Найдите значение выражения:

1)+ при x=log5 5,895

2) + при x=9,999

3)+2 при x=2,1283

4)+ при x=log3 8,004

    3. Вычислите:

    1) 2+

    2) *(2

    3) :

В показательных уравнениях в неявном виде квадратный трёхчлен

1) 22x + 14*2x+1  - 29 =0;                                              2)52x+1 - 575*5x-1 – 250 =0;

3)2*52x+1 - 245*5x-1 – 5 =0;                                          4)3*9x+2 - 26*3x+1 – 1 =0;

5)3*22x + 6x - 2*32x  =0;                                                6)5*32x + 2*15x - 3*52x  =0;

7)27*24(x2+1) - 3*62(x2+1) - 4*34(x2+1) =0;                  8)9*16x - 7*12x - 16*9x =0.

Квадратный трехчлен в неявном виде.

1.Изобразить на координатной плоскости единство точек, координаты которых х и у  удовлетворяют уравнению:

а) 2х² + 5ху – 3у² – 2х + у = 0;                                    б) 4х² – 4ху +у² +2х – у – 2 = 0;

в) х² + у² + 4х – 6у – 3 = 0;                                          г) 5х² + 2ху + 2у² – 2х -2у + 2 =0;

Ответы:

а) объединение прямых у = 2х и у = - (х+1)/3;

б) объединение прямых у = 2х – 2  и у = 2х + 1;

в) окружность радиуса 4 с центром в точке (-2; 3);

г) таких точек нет, поскольку дискриминант трехчлена относительно х отрицателен при любом у.

2.Решить в целых числах уравнение:

 а) 21р² + рq – 2q² = 19;

 б) р² + рq + q² = 7;

 в) 5р² – 12рq + 2q² – 2p – 2q -3 = 0;

Ответы:

а) (3; 10), (-3; -10); разложить левую часть на линейные множители и заметить, что они должны быть целыми делителями числа 19;

б) (2; 1); (-3; 1); (-2;-1); (3; -1); (1;2); (-3; 2); (-1; -2); (3; -2); (-1; 3); (-2; 3); (1; -3); (2; -3); чтобы избежать появления дробей при выделении полного квадрата, умножить обе части уравнения на 4 и привести уравнение к виду (2р + q)² + 3q² = 28,  откуда q² = 1, 4 или 9;

в) (1; 0); (1; 2); дискриминант трехчлена f(p) =5p² + 2(q + 1)p +2q² -2q -3 = -9q² +12q +16, и поэтому неотрицателен на отрезке [2(1 - √5)/3;  2(1 + √5)/3], т.е. при 0 ≤ q ≤ 2 ; остается найти  корни  f(p) при этих значениях q.

3. Решить систему уравнений

 3х² – ху – у² – 4х + у – 7 = 0;

 2х² – 5ху – 3у² + 7у - 2 = 0.

Указание: второе уравнение разложить на линейные множители.

Коэффициент, корни и значения квадратного трехчлена.

1.Имеют ли решения неравенства

а)52 х2-361х+238<0;

б)31х2+143х+1050;

в)245х2-142х+322<0;

г)132х2+156х+23<0

Ответы, указания и решения:

1.Во всех задачах этого номера f (х) - левая часть неравенства.

а) Да;  f(1)<0

б) Да;  f(-1)<0

в) Нет;  Д/4=712-245*322<0

г) Да;  Д/4=782-132*23=4(392-33*23) >0

2.Решить уравнение

А)2 *5=10;

Б)3*4=144         

Ответы, указания: а)1-ый корень уравнения. Прологарифмировать по основанию 10.

б)2-ой корень уравнения. Прологарифмировать по основанию 10.

Тригонометрические уравнения:

1)3 sin2x – 5 sin x – 2 = 0                              5)    cos2x + 3 cos x = 0

2)2 cos2x + sin x – 1 = 0                                6)    2 sin23x + 5 sin 3x = 0

3)2 tg2x + 3 tg x – 2 =0                                  7)    2 sin22x – 1 = 0

4)2 cos2x – 3 sin x cos x + sin2x = 0               8)    tg2x = tg x

Показательные уравнения:

9x – 4 · 3x + 3 = 0                                           5)    22x + 2x – 2 = 0

16x – 17 · 4x + 16 = 0                                     6)    22x – 3 ()x – 4 = 0

8 · 4x – 6 · 2x + 1 = 0                                      7)    32x – 2 · 3x – 3 = 0

32x+1 – 10 · 3x + 3 = 0                                     8)    2 · 52x = 5x + 1

Логарифмические уравнения:

1)Log2x – 2 Logx2 = - 1                                             3)      (2x2) = Log2512

2)Log3x + 2 Logx3 = 3                                               4)    Lg2x2 – Lg x5 + 1 = 0

9.Квадратные неравенства

Под квадратным неравенством понимается неравенство, которое может быть приведено к одному из следующих неравенств:

ax + bx + c>0, ax + bx + c<0, ax + bx + c0, ax + bx + c0,

где a,b,c - некоторые действительные числа и .

Простейшими квадратными неравенствами являются неравенства
<m и >m

 Множество решений неравенства <m:
1) при m≤0 x=∅  (т. е. нет решений);
2) при m>0 x(−;) , т.е. −<x< , или <

Множество решений неравенства >m:
1) при m<0  xR  (т.е. x - любое действительное число);
2) при m>0  x(−∞;−)⋃(;+∞) , т.е. −∞<x<−  и <x<+∞ ,
или > .

Квадратное неравенство ax + bx + c>0 в зависимости от значений своих коэффициентов a,b,c имеет множества решений.

Зная, расположение графика квадратичной функции относительно оси Ох легко решить квадратные неравенства.

Неравенство вида  (<0;≥0;≤0), а≠0, называется неравенством II степени.

Решить неравенство, содержащее переменную, - значит найти множество значений переменной, при которых это неравенство является верным.

Элементы этого множества называются решениями неравенства.

Решите самостоятельно неравенства ax + bx + c<0(≥0;≤0)

-5х+6>0

12-х-6 <0

-2-5х+3 ≥0

-8х+17 ≤ 0

Исследование и решение неравенств см. Презентация

Литература:

1.     Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 кл. ср. шк. (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов и др.: под ред. А.Н. Колмогорова).

2.     Сборник задач для 8-9 кл., М.А. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Навич.(Учебное пособие для учащихся школ с углубленным изучением математики).

3.     Математика 5. Учебник для 5 кл. (Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд).

4.     Математика 6. Учебник для 6 кл. (Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд).

5.     Алгебра 7. Учебник для 7 кл. ср. шк. (Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова) под ред. С.А. Теляковского.

6.      Алгебра 8. Учебник для 8 кл. ср. шк. (Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова) под ред. С.А. Теляковского.

7.     Алгебра 9. Учебник для 9 кл. ср. шк. (Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова) под ред. С.А. Теляковского.

8.     Решение задач. Учебное пособие для 10 кл. общеобразоват. учреждений. И.Ф. Шарыгин , 1994.

9.     Квантор. Дорофеев Г.В. Квадратный трехчлен в задачах. 1991 год. Выпуск 2.

rf;tn параболы