Размещено: Надежда Вдовина - вс, 21/02/2010 - 09:49
Министерство образования Российской Федерации
Спецкурс
Математика плюс
Автор- учитель математики
высшей квалификационной категории
МОУ СОШ №5
Вдовина Надежда Владимировна
ИСКИТИМ
2009
Пояснительная записка
Спецкурс, требует от учителя очень хорошего знания элементарной математики и четких представлений об основах высшей математики. При умелом подходе курс дает широкие возможности повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа. В курсе решается и разбирается и учителем, и учащимися большое число сложных задач, многие из которых понадобятся как при учебе в высшей школе, так и при подготовке к различного рода экзаменам, в частности ЕГЭ. При желании учитель может по-разному расставить акценты в процессе ведения данного курса. Можно, к примеру, сделать крен в сторону «абитуриентской» математики. Этому способствует набор тем, рассматриваемых в процессе изучения курса. Особенно такой темы, как алгебраические задачи с параметрами, в ходе изучения которой с учащимися будут разобраны такие важные вопросы, как: рациональные задачи с параметрами, иррациональные задачи с параметрами, параметры и модули, критические значения параметра, метод интервалов в неравенствах с параметрами, замена переменной в задачах с параметрами, метод разложения на множители в задачах с параметрами, решения задач с помощью «разрешения относительно параметра», метод координат (или горизонтальных сечений) в задачах с параметрами, метод областей в рациональных и иррациональных неравенствах с параметрами, применение производной при анализе и решении задач с параметрами, выписывание и «собирание» ответа в задачах с параметрами.
Курс, с одной стороны, поддерживает изучение основного курса математики, направлен на систематизацию знаний, в том числе и методов обоснований (методов решения задач), реализацию внутрипредметных связей, способствует лучшему освоению базового курса математики, а с другой — служит для внутрипрофильной дифференциации и построения индивидуального образовательного пути, для раскрытия основных закономерностей построения математической теории, направлен на рассмотрение фундаментальных понятий математики (действительное число и др.), способов конструирования локальных математических теорий, самостоятельной деятельности по построению микроисследований. Как один из результатов его освоения может быть осознанный выбор других элективных математических курсов, а также профессиональной деятельности в области теоретической или прикладной математики.
Объем аудиторных часов — 70 (по одному часу в неделю). Курс целесообразно изучать в 10 -11 классе. Он предназначен для реализации в рамках информационно-математического профиля. Часть его материалов может быть включена в базовый курс математики либо реализована в рамках предпрофильной подготовки.
Содержание курса
В скобках после наименования темы указано ориентировочное время на ее изучение
ТЕМА 1. МНОГОЧЛЕНЫ И ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (12 ч.)
Представление о целых рациональных алгебраических выражениях. Степень многочлена. Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.
Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни. Общая теорема Виета.
Элементы коминаторки: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.
Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена.
Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.
Линейная замена, основанная на симметрии.
Угадывание корней. Разложение. Метод неопределенных коэффициентов. Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.
ТЕМА 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА (10 ч.)
Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические и возвратные многочлены и уравнения.
Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения. Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений.
Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.
Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств.
Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.
Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Стандартные неравенства. Метод областей.
ТЕМА 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (15 ч)
Уравнения с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения с двумя переменными.
Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем.
Однородные системы уравнений с двумя переменными.
Замена переменных в системах уравнений.
Симметрические системы с двумя переменными.
Метод разложения при решении систем уравнений.
Сведение уравнений к системам.
ТЕМА 4 . ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ (10 ч.)
Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятия арифметических и алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.
Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.
Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами.
Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам.
Освобождение от кубических радикалов.
Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений.
Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем).
«Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем.
Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.
Замена при решении иррациональных неравенств.
Использование монотонности и оценок при решении неравенств.
Уравнения с модулями. Раскрытие модулей — стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей.
Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах.
Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).
Иррациональные алгебраические системы. Основные приемы.
Смешанные системы с двумя переменными.
ТЕМА 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ (12 ч.)
Что такое задача с параметрами. Аналитический подход. Выписывание ответа (описание множеств решений) в задачах с параметрами.
Рациональные задачи с параметрами. Запись ответов.
Иррациональные задачи с параметрами. «Собирание» ответов.
Задачи с модулями и параметром. Критические значения параметра.
Метод интервалов в неравенствах с параметрами.
Замена в задачах с параметрами.
Метод разложения в задачах с параметрами. Разложение с помощью разрешения относительно параметра.
Системы с параметрами.
Метод координат в задачах с параметрами. Идея метода.
Задачи с модулями и параметрами.
Задачи на следование и равносильность задач с параметрами. Аналитический подход. Метод координат.
Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.
Тематическое планирование
№п/п
Тема
Число часов
10 класс
МНОГОЧЛЕНЫ И ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (12 ч.)
1
Представление о целых рациональных алгебраических выражениях
1
2
Степень многочлена. Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.
1
3
Теорема Безу. Корни многочленов.
1
4
Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов
1
5
Перестановки
1
6
Сочетания
1
7
Размещения
1
8
Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.
1
9
Квадратный трехчлен
1
10
Кубические многочлены
1
11
Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения
1
12
Метод неопределенных коэффициентов
1
РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА (10 ч.)
13
Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические и возвратные многочлены и уравнения.
1
14
Симметрические и возвратные многочлены и уравнения.
1
15
Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.
1
16
Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений.
1
17
Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.
1
18
Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств.
1
19
Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.
1
20
Метод замены при решении неравенств.
1
21
Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости.
1
22
Стандартные неравенства. Метод областей.
1
РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (14 ч)
23
Уравнения с несколькими переменными.
1
24
Рациональные уравнения с двумя переменными.
2
25
Однородные уравнения с двумя переменными.
2
26
Замена переменных в системах уравнений.
2
27
Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными.
2
28
Метод разложения при решении систем уравнений.
1
29
Сведение уравнений к системам.
2
30
Системы с тремя переменными. Основные методы
1
31
Системы Виета с тремя переменными.
1
11 класс
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ( 22 ч.)
32
Иррациональные алгебраические выражения и уравнения
1
33
Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.
3
34
Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам.
4
35
Иррациональные алгебраические неравенства
4
36
Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем).
3
37
Дробно-иррациональные неравенства. Сведение к совокупностям систем.
3
39
Уравнения с модулями
4
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ (12 ч.)
40
Рациональные задачи с параметрами. Запись ответов. Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.
1
41
Иррациональные задачи с параметрами. «Собирание» ответов.
1
42
Задачи с модулями и параметром. Критические значения параметра.
1
43
Метод интервалов в неравенствах с параметрами.
1
44
Замена в задачах с параметрами.
1
45
Метод разложения в задачах с параметрами. Разложение с помощью разрешения относительно параметра.
1
46
Системы с параметрами
1
47
Метод координат
1
48
Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических уравнений с параметрами. Уединение параметра и метод «Оха»
1
49
Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических неравенств и систем неравенств с параметрами
1
50
Задачи на следование и равносильность задач с параметрами. Аналитический подход. Метод координат
1
51
Применение производной при анализе и решении задач с параметрами
1
Рекомендуемая литература
Вавилов В.В. Задачи по математике
Говоров В.М. Сборник конкурсных задач по математике .М.: «Наука» 1986
.jpg){kind=small}