Пояснительная записка

Спецкурс, требует от учителя очень хорошего знания элементарной математики и четких представлений об основах высшей математики. При умелом подходе курс дает широкие возможности повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа. В курсе решается и разбирается и учителем, и учащимися большое число сложных задач, многие из которых понадобятся как при учебе в высшей школе, так и при подготовке к различного рода экзаменам, в частности ЕГЭ. При желании учитель может по-разному расставить акценты в процессе ведения данного курса. Можно, к примеру, сделать крен в сторону «абитуриентской» математики. Этому способствует набор тем, рассматриваемых в процессе изучения курса. Особенно такой темы, как алгебраические задачи с параметрами, в ходе изучения которой с учащимися будут разобраны такие важные вопросы, как: рациональные задачи с параметрами, иррациональные задачи с параметрами, параметры и модули, критические значения параметра, метод интервалов в неравенствах с параметрами, замена переменной в задачах с параметрами, метод разложения на множители в задачах с параметрами, решения задач с помощью «разрешения относительно параметра», метод координат (или горизонтальных сечений) в задачах с параметрами, метод областей в рациональных и иррациональных неравенствах с параметрами, применение производной при анализе и решении задач с параметрами, выписывание и «собирание» ответа в задачах с параметрами.

Курс, с одной стороны, поддерживает изучение основного курса математики, направлен на систематизацию знаний, в том числе и методов обоснований (методов решения задач), реализацию внутрипредметных связей, способствует лучшему освоению базового курса математики, а с другой — служит для внутрипрофильной дифференциации и построения индивидуального образовательного пути, для раскрытия основных закономерностей построения математической теории, направлен на рассмотрение фундаментальных понятий математики (действительное число и др.), способов конструирования локальных математических теорий, самостоятельной деятельности по построению микроисследований. Как один из результатов его освоения может быть осознанный выбор других элективных математических курсов, а также профессиональной деятельности в области теоретической или прикладной математики.

Объем аудиторных часов — 70 (по  одному часу в неделю). Курс целесообразно изучать в 10 -11 классе. Он предназначен для реализации в рамках информационно-математического профиля. Часть его материалов может быть включена в базовый курс математики либо реализована в рамках предпрофильной подготовки.

Содержание курса

В скобках после наименования темы указано ориентировочное время на ее изучение 

ТЕМА 1. МНОГОЧЛЕНЫ И ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (12 ч.)

Представление о целых рациональных алгебраических выражениях.  Степень многочлена. Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.

Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.  Общая теорема Виета.

Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета.

Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена.

Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.

Линейная замена, основанная на симметрии.

Угадывание корней. Разложение. Метод неопределенных коэффициентов. Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

ТЕМА  2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА (10 ч.)

Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические и возвратные многочлены и уравнения.

Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения. Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений.

Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.

Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств.

Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.

Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Стандартные неравенства. Метод областей.

ТЕМА 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (15 ч)

Уравнения с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения с двумя переменными.

Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем.

Однородные системы уравнений с двумя переменными.

Замена переменных в системах уравнений.

Симметрические системы с двумя переменными.

Метод разложения при решении систем уравнений.

Сведение уравнений к системам.

ТЕМА 4 . ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ (10 ч.)

Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятия арифметических и алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.

Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.

Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки.

Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами.

Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам.

Освобождение от кубических радикалов.

Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений.

Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем).

«Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем.

Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.

Замена при решении иррациональных неравенств.

Использование монотонности и оценок при решении неравенств.

Уравнения с модулями. Раскрытие модулей — стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей.

Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах.

Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).

Иррациональные алгебраические системы. Основные приемы.

Смешанные системы с двумя переменными.

ТЕМА 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ (12 ч.)

Что такое задача с параметрами. Аналитический подход. Выписывание ответа (описание множеств решений) в задачах с параметрами.

Рациональные задачи с параметрами. Запись ответов.

Иррациональные задачи с параметрами. «Собирание» ответов.

Задачи с модулями и параметром. Критические значения параметра.

Метод интервалов в неравенствах с параметрами.

Замена в задачах с параметрами.

Метод разложения в задачах с параметрами. Разложение с помощью разрешения относительно параметра.

Системы с параметрами.

Метод координат в задачах с параметрами. Идея метода.

Задачи с модулями и параметрами.

Задачи на следование и равносильность задач с параметрами. Аналитический подход. Метод координат.

Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.

Тематическое планирование

Рекомендуемая литература

Вавилов В.В. Задачи по математике

Говоров В.М. Сборник конкурсных задач по математике .М.: «Наука» 1986

Жафяров А.Ж.  Профильное обучение математике старшеклассников.- Новосибирск: Сибирское университетское издательство. 2003

Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решения М.:Аркти 2001

Локоть В.В.Задачи с параметрами и их решения М.:Аркти 2002

Матвиевская Г.П. Рене Декарт: Книга для учащихся. — М.: Просвещение, 1987.

Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1995.

Сканави М.И. Сборник задач по математике. М.: Высшая школа .1969

Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике 10-11 М.: Просвещение  1991

Образовательный комплекс «Алгебраические задачи с  параметрами»

Этот  комплекс   включает в себя  уроки по следующим разделам:

Ø  Элементарные функции в уравнениях с параметрами

Ø  Решение неравенств с параметрами

Ø  Некоторые особые приёмы решения задач с параметрами

К каждому уроку прилагаются цифровые ресурсы следующих типов

·         Теоретический слайд

·         Динамическая модель

·         Мультимедиа демонстрации

·         Разборы примеров

·         Пошаговые тренажёры

·         Упражнения

·         Задачи для самопроверки

·         Контрольные задания