Валентина Михайловна!

А откуда это уравнение? Что-то я не помню, когда я его решал. Но вообще-то вопрос о количестве его корней - дело очень скользкое. Я встречал такую точку зрения, что ОДЗ этого уравнения должно быть x>2.  Тогда выходит, что оно имеет один корень х=3. Лично я считаю, что оно имеет всё-таки 4 корня (-3, 1, 2 и 3). Но, повторяю, вопрос спорный, так как в школе функции вида f(x)^g(x) не изучаются.

Моя точка зрения основывается на определении корней уравнения (корень - это число, которое при подстановке его в уравнение обращает его в верное числовое равенство). Но один эксперт ФИПИ, когда рецензировал нашу книгу в 2008 году, считал, что это уравнение имеет 1 корень. Я пытался его убеждать, но бесполезно. Просто он мыслит, что функция вида f(x)^g(x) определена только при f(x)>0. И, так как, в учебниках такая, условно говоря, степенно-показательная функция не рассматривается, то, в конце концов, мы договорились, что в задачах ЕГЭ (которые предназначены для всех школьников и не должны вызывать никаких споров) такие функции использовать нельзя. Такую же позицию принял и ФИПИ.

Кстати, аналогичная ситуация сложилась еще с одним видом задач. Он тоже вызвал споры. И эти споры были не только у нас с экспертом, но, как мне потом рассказали, разные мнения по такого типа задачам высказывались сотрудниками МГУ и МФТИ в составе ФИПИ. В конце концов в ФИПИ решили, чтобы такого рода задач на аттестациях не было. Вот пример такой задачи: "Найдите все значения параметра a при которых все решения неравенства f(x,a)>0 являются положительными числами."

Основной вопрос - необходимо ли в ответ включать значения параметра а при которых неравенство не имеет решений? Представители МФТИ считают, что такие значения не имеет смысла рассматривать, а, тем более, включать в ответ. А в МГУ (основываясь на формальной логике) считают, что надо включать. Я считаю, что надо (видимо потому, что изучал логику!). Так как, если множество решений пусто, то об его элементах любое высказывание будет истинным (в том числе - любой элемент пустого множества есть положительное число). А если по-школьному, то можно рассуждать, например, так: "Множество состоит только из положительных чисел тогда и только тогда, когда оно не содержит неположительных чисел. Множество решений пусто, значит оно не содержит неположительных чисел, то есть выполняется условие задачи".

В конце концов формулировка этой задачи, предложенная Л.О. Денищевой была такова: "Найдите все значения параметра a при которых неравенство f(x,a)>0 имеет решения и все его решения являются положительными числами." Тут, конечно, уже все споры утихли.

Раз уж нас потянуло на детство... Старая задачка:

В прямоугольном треугольнике проведены биссектриса (из вершины) и серединный перпендикуляр основания. Из точки их пересечения проведены перпендикуляры к гипотенузе и второму катету. Доказывается, что  длина гипотенузы равна длине второго катета (боьшие верхние треугольники равны по гипотенузе и острому углу, тогда боковые маленькие равны по гипотенузе и катету).

 

Но, честно говоря, я практически не знаю хороших головоломок. Кроме этих двух, ну разве что доказательства, что 2*2=5. Если есть хорошие - поделитесь, пожалуйста.