Submitted by Лариса Владимировна Уварова on чт, 08/04/2010 - 15:06
Задачи на среднее арифметическое
Задача 1. Каков средний рост пяти друзей?
Средний рост шести друзей - 1,2 м. Рост самого низкого из них - 1,1 м.
Каков средний рост остальных пяти?
Способ 1.Суммарный рост 6-ти друзей равен 12,6 · 6 = 7,2 м. Суммарный рост пяти из них (исключая самого низкого) : (7,2 - 1,1) = 6,1 м.
Средний рост этих 5-ти друзей равен (6,1 : 5 ) = 1,22 м.
Способ 2.Рост самого низкого из друзей меньше среднего роста на величину 1,2 - 1,1 = 0,1 м. Это значит, что каждый из друзей пожертвовал "коротышке " 0,1 : 5 = 0,02 м с целью "подтянуть" его до среднего роста (при допущении, что остальные друзья одного роста).
Поэтому средний рост 5-ти друзей равен 1,2 + 0,02 = 1,22 м.
Задача 2. Каков рост нового игрока команды?
Средний рост пяти игроков баскетбольной команды - 2,04 м.После замены игрока, рост которого равен среднему, средний рост команды увеличился до до 2,08 м.
Каков рост нового игрока?
Способ 1.
Суммарный рост 4-х игроков, оставшихся в команде, равен 2,04 · 4 = 8,16 м.
Суммарный рост 5-ти игроков после замены игрока равен 2,08 · 5 = 10,4 м.
Рост игрока, вошедшего в команду при замене, равен 10,4 - 8,16 = 2,24 м.
Способ 2.Войдя в команду, новый игрок увеличил средний рост игроков команды на 0,04 м, в результате чего "добавка " к суммарному росту 4-х оставшихся игроков составила 0,04 · 4 = 0,16 м.
Рост нового игрока равен 2,08 + 0,16 = 2.24 м.
Задача 3. Как изменится средняя масса 5 арбузов?
Как изменится средняя масса пяти арбузов, если взамен арбуза, масса которого на 5 кг меньше средней,добавить арбуз массой, превышающей среднюю на 10 кг?
Масса нового арбуза на 15 кг больше массы изъятого.
Суммарная масса пяти арбузов увеличилась на 15 кг, увеличение средней массы составило 15 : 5 = 3 кг.
Задача 4. Как насчет зрения в группе ребят?
В группе 40% ребят имеют плохое зрение. 70% из них носят очки, остальные 30% носят контактные линзы. Общее число ребят в очках - 21.
Что верно: (А) 30 человек имеет плохое зрение; (В) 30 человек имеет хорошее зрение; (С) всего в группе 100 человек; (D)10 человек носят линзы; (Е) ни один ответ не подходит;
По условию задачи, в группе 21 человек ходит в очках. А это составляет 70% от всех, кто плохо видит. Следовательно, плохо видят 21/0,7=30 человек.
Здесь можно остановиться и предъявить ответ: верный ответ (А).
Знатоки решают дальше.
1. 40% ребят имеют плохое зрение, а это - 30 ребят, следовательно, всего ребят в группе: 30/0,4=75 человек а (С) - неверно.
2. У 30 человек - плохое зрение, следовательно, хорошее зрение имеют 75-30=40 чел. а (В) - неверно.
4 Из 30 ребят с плохим зрением 21 человек носит очки, следовательно 30-21=9 человек - контактные линзы. То есть (D) - неверно.
5. (Е) - неверно, т.к. есть ответ (А).
Задача 5. Когда семья Васи выехала на дачу?
Семья Васи приехала на дачу на машине в 16.00. Если бы скорость, с которой они ехали, была на 25% больше, то они приехали бы в 14.30.
В какое время они выехали из дома? (A)8.00; (B) 8.30; (C) 9.00; (D) 10.00; (E)12.00
Увеличение скорости движения машины в 1,25 раза приведет к уменьшению продолжительности движения в 1,25 раза или на 20% (1:1,25=0,8). По условию задачи, выигрыш во времени при увеличенной скорости равен 1, 5 часа ( 16 - 14.30 =1.30 час).Следовательно, реальное время в пути составит 7, 5 часа (1,5 часа : 0,2). Отправка машины состоялась в 16.00 - 7.30 = 8.30. Итак, семья выехала в 8 часов 30 минут. Верен ответ (В).
Комбинаторика
Задача 1. Считаем точки пересечения
Какое максимальное число точек пересечения могут иметь восемь окружностей ?
(A)16; (B) 56; (C) 38; (D) 44.
Две окружности могут пересечься в двух точках.
Третья окружность пересечется с каждой из имеющихся окружностей тоже в двух точках,т. е добавятся еще 2 * 2 = 4 точки.
Добавление каждой следующей окружности увеличивает число точек на величину, равную удвоенному количеству уже имеющихся окружностей.
У Йозефа 100 мышей, некоторые из них белые, некоторые - серые. Известно, что хотя бы одна мышь серая, а из двух мышей хотя бы одна - белая.Сколько серых мышей у Йозефа ? (A) 1; (B) 49; (C) 50; (D) 99; (E) невозможно определить
Вариант 1.Устроим перебор пар мышей так, чтобы одна мышь была серая (упомянутая в условии), а другая - какая придется. Из условия следует, что все мыши, которых мы присоединяем к серой - белого цвета. Ответ: серая мышь у Йозефа - одна. Правильный ответ: (А)
Вариант 2.Предположим, что имеются две, или более серых мышей. В этом случае существует, по меньшей мере, пара мышей серого цвета, что противоречит условию. Следовательно, предположение наше ошибочно и в хозяйстве Йозефа имеется лишь одна серая мышь, факт существования которой оговорен условием.
Логика
Задача 1. Один мальчик и одна девочка ответили правильно
Четверо ребят обсуждали ответ к задаче. Коля сказал: "Это число 9". Роман: "Это простое число". Катя: "Это четное число". А Наташа сказала, что это число -15. Назовите это число, если и девочки, и мальчики ошиблись ровно по одному разу.
( A )1; (B) 2; (C) 3; ( D ) 9; ( E ) 15;
Предположим, что Коля прав. Тогда обе девочки неправы, так как 9 не равно 15 и 9 - нечетное число, а это противоречит условию задачи.Остается, что прав Роман и тогда не права Наташа, так как 15 не простое число. Остается предположить, что искомое число простое и четно (так как Катя права), а это только 2. Проверка подтверждает, что условие соблюдено.
Итак верно (В).
Задача № 2. Лидер оппозиции и логика
В парламенте некоторой страны две палаты, имеющие равное число депутатов.
В голосовании по важному вопросу приняли участие все депутаты, причем воздержавшихся не было. Когда председатель сообщил, что решение принято с преимуществом в 23 голоса, лидер оппозиции заявил, что результаты голосования сфальсифицированы. Как это он понял ?
Общее число депутатов в парламенте - четное (в обеих палатах равное число депутатов). Следовательно, четно суммарное число депутатов, голосовавших за принятие решения и против. Но при четной сумме двух величин четна и их разность. Поэтому, преимущество в 23 голоса (т.е. разность между числом депутатов, голосующих за принятие решения, и числом депутатов, голосующих против) есть не что иное, как фальсификация (либо, что менее вероятно, ошибка при подсчете голосов).
Задача 3. Кто сидит рядом с мамой Мари?На скамейке сидит Мари, ее мама, бабушка и кукла. Бабушка сидит рядом с внучкой, но не рядом с куклой. Кукла не сидит рядом с мамой. Кто сидит рядом с мамой Мари ?
(A)Мари;(B)бабушка;(C)Мари и бабушка;(D)Мари и кукла;(E)бабушка и кукла
С бабушкой, по условию, сидит внучка. То есть остается пристроить куклу и маму. Поскольку кукла не может сидеть рядом с мамой, то кукла и мама сидят по разные стороны от бабушки с внучкой. Остается, что бабушка сидит рядом с мамой. Легко проверить, что эти расположения удовлетворяют условию. Верный ответ - (В).
