Версия Авторская программа элективных курсов для учащихся 10-11 классов по алгебре на тему: "Текстовые задачи" от Fri, 14/05/2010 - 23:12
Submitted by Миляуша Ахатовна Гилязова on Fri, 14/05/2010 - 23:12
Пояснительная записка
Элективный курс “Текстовые задачи”, предназначенный для профильной подготовки учащихся 10 -11 классов общеобразовательной школы, является предметно – ориентированным и предназначен для расширения теоретических и практических знаний учащихся. Он расширяет и углубляет базовую программу по математике, не нарушая ее целостности. Программа элективного курса применима для различных групп школьников, независимо от выбора их будущей професии. В основной школе текстовые задачи учащиеся решают, но умением решать задачи экономическо- практического содержания не владеют.
Решения текстовых задач – это деятельность, сложная для учащихся. Сложность ее определяется, прежде всего, комплексным характером работы: нужно ввести переменную и суметь перевести условие на математический язык; соотнести полученный результат с условием задачи и, если нужно, найти значения еще каких – то величин. Каждый из этих этапов – самостоятельная и часто трудно достижимая для учащихся задача.
Предлагаемый курс имеет прикладное и общеобразовательное значение: он способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, творческих способностей, интереса к предмету, данной теме и, что особенно важно, формированию умения решать практические задачи в различных сферах деятельности человека. А решение таких задач способствует приобретению опыта работы с заданием более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, формированию математической культуры учащихся. Текстовые задачи приучают учащихся пользоваться справочным материалом, заставляют глубже изучать теоретический материал, превращают знания в необходимый элемент практической деятельности, а это важный компонент мотивации учения. Выполняя такие задания, учащиеся оказываются в одной из жизненных ситуаций и учатся отвечать на возникающие вопросы с помощью знаний, полученных на уроках математики.
Программа данного элективного курса ориентирована на приобретение определенного опыта решения текстовых задач. Изучение данного курса тесно связано с такими дисциплинами, как алгебра, алгебра и начала анализа, геометрия. Данный курс представляется особенно актуальным и современным, так как расширяет и систематизирует знания учащихся, готовит их к более осмысленному пониманию теоретических сведений.
Цель курса: формирование у учащихся умения решать практические задачи в различных сферах деятельности человека; развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщенных умственных умений.
Задачи курса:
-показать широту применения известного учащимся математического аппарата – процентные вычисления, связь математики с различными направлениями реальной жизни;
-выделять логические приемы мышления и способствовать их осмыслению, развитию образного и ассоциативного мышления;
-развивать у школьников интерес к предмету, к практическому применению знаний и умений;
-приобщить учащихся работать с математической литературой.
Требования к уровню освоения дисциплины.
Курс предназначен для учащихся 10 -11 классов, рассчитан на 34 часа.
Курс призван помочь ученику в овладении навыком решения текстовых задач с помощью уравнений и систем уравнений, расширить спектр решаемых задач, повысить уровень его общей математической культуры.
В результате изучения курса учащиеся должны уметь:
- анализировать условие текстовой задачи, выявлять главное в тексте;
- обосновывать выбор переменной при составлении уравнения;
- свободно оперировать аппаратом алгебры при решении текстовых задач.
Учебно - тематическое планирование
п/п
Тема
Количество часов
В том числе на:
Примерное количество часов на самостоятельные работы учащихся
уроки
практические работы
Контрольные работы
1
Введение
2
2
Тема 1. Задачи на деления на части, отношения.
2
Деление на части
2
1
1
3
Отношения “больше”, “меньше”
2
1
1
4
Соотношения между натуральными числами
2
1
1
Тема 2. Задачи на проценты.
5
Проценты и уравнения
2
1
1
6
Торгово – денежные отношения
2
1
1
7
“Вкладывайте деньги...”
2
1
1
8
Правило начисления “сложных процентов”
2
1
1
Тема 3. Задачи на смеси и сплавы.
9
Задачи на смеси (сплавы)
2
1
1
10
Задачи на разбавление
2
1
1
Тема 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия.
11
Задачи, где неизвестные являются членами прогрессии
2
1
1
Тема 5. Геометрические и физические задачи.
12
Геометрические задачи
2
1
1
13
Физические задачи
2
1
1
Тема 6. Задачи на работу.
14
Задачи на конкретную и абстрактную работу
2
1
1
Тема 7. Задачи на движение.
15
Задачи на движение: путь, скорость, время
2
1
1
16
Задачи на движение по окружности
2
1
1
Тема 8. Решение различных типов текстовых задач.
17
Решение различных видов текстовых задач.
Контрольное тестирование.
2
1
1
Содержание тем учебного курса.
Введение (2 часа).Понятие текстовых задач. Виды текстовых задач.
Информация учителя о содержании курса. Решение типовых задач.
Алгоритм решения задач методом составления уравнения.
Тема 1( 6 часов)Задачи на деление на части, отношения.
Задачи на деление на части. Задачи на отношения “меньше” и “больше”. Задачи на соотношения между натуральными числами. Решение задач на числах с постепенным обобщением решения.
Тема 2 (8 часов). Задачи на проценты.
Проценты и уравнения. Понятие процента, основные соотношения на процентные расчеты. Решение типовых задач на проценты. Торгово – денежные отношения. “Вкладывайте деньги...” Экскурсии в сберкассы, банки, на предприятия различных отраслей и форм собственности. Деловая игра по решению проблемы вложения денег в различные банки, на различные счета. Правило начисления “сложных процентов”. Формула начисления “сложных процентов”, формула простого процентного роста. Решение задач на применение этих формул.
Тема 3 (4 часа). Задачи на смеси, сплавы.
Понятие объемной (массовой) концентрации, процентной концентрации. Решение задач, связанных с понятиями “концентрация”, “процентное содержание”. Задачи на смеси (сплавы). Задачи на разбавления.
Тема 4 (2 часа). Арифметическая и геометрическая прогрессия.
Решение задач, где неизвестные являются членами арифметической и геометрической прогрессии.
Тема 5 ( 4 часа). Геометрические и физические задачи.
Решение задач геометрического содержания. Решение физических задач.
Тема 6 ( 2 часа). Задачи на работу.
Задачи на конкретную и абстрактную работу. Решение задач на совместную работу.
Тема 7 (4 часа). Задачи на движение.
Задачи на движение: путь, скорость, время. Движение: план и реальность. Совместное движение. Задачи на закон сложения скоростей. Решение задач на движение по окружности.
Тема 8 (2 часа). Решение различных типов текстовых задач.
Проверка знаний, умений и навыков учащихся. Контрольное тестирование.
Практические занятия.
Содержание курса предполагает работу с различными источниками математической литературы. Желательно использовать такие организационные формы, как выступления с докладами ( в частности, с отчетными докладами по результатам выполнения индивидуального домашнего задания или содокладами, дополняющими лекционные выступления учителя). Возможны и разные формы индивидуальной или групповой деятельности учащихся, такие как “Математика везде и всюду!” или “Эврика!”. Можно собрать материал для подготовки и защиты проекта “Вкладывайте деньги...” по одной из проблем:
-вложение в банк (на какой банк и на какой счет);
-вложение в бизнес ( бытовое обслуживание, торговля, общепит, сетевой маркетинг);
-вложение в развитие производства (строительство, промышленность, сельское хозяйство, научно – техническая сфера, искусство).
Можно дать учащимся домашние задания следующего типа: используя собранный материал, различные источники информации, составлять текстовые задачи и решать их.
Возможно организовать экскурсии, например, в сберкассы, банки, на предприятия различных отраслей и форм собственности.
Контроль уровня обученности.
Контроль уровня знаний, умений и навыков является важнейшим этапом данного элективного курса, так как текстовые задачи входят в задания ЕГЭ и в задания выпускных экзаменов основной и средней общеобразовательной школы.
Содержание каждой темы элективного курса включает в себя самостоятельную работу учащихся. После каждой темы проводится контроль знаний учащихся в виде теста, контрольной работы, самостоятельной работы или зачета. Итоговый контроль осуществляется на последних уроках в форме контрольного тестирования по всему курсу.
2. Балаян Э.Н. Как сдать ЕГЭпо математике на 100 баллов / Э.Н.Балаян. – Ростов –на – Дону: Феникс, 2003
3. Будлянская Н.Л. Решение текстовых задач: пособие для учащихся / Н.Л.Будлянская, Г.Н.Сумина – Комсомольск – на- Амуре, 2004.
4. Денищева Л.О. Учебно – тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену: математика / Л.О.Денищева, Ю.А.Глазков, К.А.Краснянская – М., Интеллект – Центр, 2005.
8. Кочагина М.Н. ГИА – 2009, Математика, сборник заданий / М.Н.Кочагина, В.В.Кочагин, - М., Эксмо, 2009.
9. Кузнецова Л.В. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс / Л.В.Кузнецова, Е.А.Бунимович, Б.П.Пигарев, С.Б.С уворова – М., Дрофа, 2002.
11. Лурье М.В. Задачи на составление уравнений / М.В.Лурье, Б.И.Александров – М., Наука,1990.
12. Ляпин М.П Сборник задач по элементарной математике / М.П.Ляпин, Издательство Казанского университета, 1975.
13. Орехов Ф.А. Решение задач методом составления уравнений / Ф.А.Орехов – М., Просвещение, 1971.
14. Сканави М.И. Сборник задач по математике с решениями. 8-11 классы. / М.И.Сканави, В.К.Егерев, В.В.Зайцев, Б.А.Кордемский, Т.Н.Маслова- М., Оникс 21 век, 2004.
15. Соломоник В.С. Сборник вопросов и задач по математике. / В.С.Соломоник, П.Н.Милов,М., “Высшая школа”,1967.
Уроки 1-2.
Тема:Введение. Решение текстовых задач.
Цели:познакомить с понятием “текстовые задачи”, с видами текстовых задач; формировать осознанный подход к решению текстовых задач; развивать логическое мышление, сообразительность и наблюдательность учащихся.
Ход урока.
I. Объяснение нового материала.
Начиная с 2003 года, в экзаменационные материалы ЕГЭ включаются текстовые задачи. А с 2009 года на текстовые задачи будет выделяться больше внимания, так как эти задачи связаны с различными сферами человеческой деятельности.
Мы называем «текстовыми» задачи, традиционно называющиеся задачами на составление уравнений. Главным, что объединяет задачи такого типа, является лишь то, что условие задано в форме некоторого текста, без формул, даже без буквенных обозначений неизвестных.
Решение текстовых задач обычно осуществляется в несколько этапов:
1) введение неизвестной величины;
2)составление уравнения (или нескольких уравнений) и (при необходимости) неравенств;
3) решение полученных уравнений (неравенств);
4) отбор решений по смыслу задачи – то есть проверка ответа.
Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако, прежде всего, необходимо научиться различать основные типы задач и решать простейшие из них.
Мы будем рассматривать следующие типы текстовых задач:
- задачи на проценты;
- задачи на смеси (сплавы);
- задачи на разбавления;
- задачи на части;
- задачи на отношения;
- задачи на работу;
- задачи на движение;
-задачи, где неизвестные являются членами арифметической и геометрической прогрессии;
- геометрические задачи;
- физические задачи и т.п.
Мы на сегодняшнем уроке будем рассматривать решения простейших текстовых задач.
I I. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.Задача на проценты.
Цистерна вмещает 40т бензина. После заливки в нее некоторого количества бензина осталось незаполненным 6,5% вместимости цистерны. Сколько тонн бензина залили в цистерну?
Решение. Цистерну залили на 100% - 6,5% = 93,5%.
93,5%
Следовательно, в цистерну залили 40 ∙ ──── = 37,4 т бензина.
100%
Ответ: 37,4.
Пример 2.Задача на движение.
На путь между двумя деревнями пешеход затратил на 4 ч 30 мин больше, чем мотоциклист. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, скорость пешехода составляет 1/10 скорости мотоциклиста. Найдите расстояние между деревнями.
1
Решение.Найдем скорость пешехода: ── ∙ 40 = 4 км/ч.
10
Пусть мотоциклист может проехать расстояние между деревнями за Хч, тогда пешеход может пройти это расстояние за (Х + 4,5) ч. Таким образом, пешеход пройдет 4(Х+4,5) км, мотоциклист проедет 40Х км.
Так как по условию задачи эти величины равны, получим уравнение:
4(Х+4,5) = 40Х,
откуда находим Х = 0,5.
Следовательно, расстояние между деревнями равно 0,5 ∙ 40 = 20 (км)
Ответ:20.
Пример 3.Соотношения между натуральными числами.
Сумма цифр между натуральными числами равна 12. Если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти исходное число.
Решение.Пусть искомое число имеет вид 10х + у. Тогда по условию
х + у = 12. (1)
Получим:
10х + у + 36 = 10у + х, т.е.
х – у = -4. (2)
Складывая (1) и(2), получим 2х = 8. Откуда х = 4, а у = 8.
Ответ:48.
Домашнее задание.
1. Весной яблоки продавались по 35 руб. за килограмм, а к осени их цена была снижена сначала на 20%, а затем еще на 15%. Какой стала цена яблок после второго снижения?
Ответ: 23, 80.
2. Расстояние между деревней и поселком мотоциклист проезжает на 0,4 ч быстрее велосипедиста. Скорость мотоциклиста 18км/ч, а скорость велосипедиста составляет 8/9 скорости мотоциклиста. Найдите расстояние между деревней и поселком.
Ответ: 57,6.
Уроки3-4.
Тема. Деление на части.
Цели.Формироватьумение решатьзадачи на деление на части; развивать логическое мышление; активизировать познавательную и творческую деятельность.
Ход урока.
I .Проверка домашнего задания.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
Найдите значения х и у такие, чтобы каждое из двух равенств было верным.:
х 3 у 6,4
1) ── = ── и ── = ──
у 8 25 5
2 1
2)х : 1─ = у : 3 ─ и у : 1,5 = 0,2 : 0,75
3 3
I I I. Объяснение нового материала.
Определение. Пропорцией называется равенство двух отношений. Пропорции записывают следующим способом:
а с
─ = ─
в д
Определение.Две величины называются пропорциональными, если при изменении одной из них в несколько раз другая изменяется в такое же количество раз.
Определение.Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается в такое же количество раз.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.Числители трех дробей пропорциональны числам 1,2,5, а знаменатели соответственно числам 1,3,7. Среднее арифметическое
200
этих дробей равно ── . Найти эти числа.
441
Решение.Числители дробей: х, 2х, 5х.
Знаменатели дробей: у, 3у, 7у.
х 2х 5х
Дроби: ─ , ─ , ─ .
у 3у 7у
Из условия задачи следует:
х 2х 5х 200
﴾ ─ + ─ + ─ ﴿ : 3 = ──
у 3у 7у 441
50х 200
── = ───
63у 441
х 4
─ = ─ - первая дробь
у 7
2х 8
── = ── - вторая дробь;
3у 21
5х 20
─ = ── - третья дробь.
7у 49
4 8 20
Ответ: ─ , ── , ── .
7 21 49
Пример 2.Площади трех участков земли находятся в отношении
11 11 11
─ , ─ , ─ . Известно, что с первого участка собрано зерна на
4 6 8
72 ц больше, чем со второго. Найти площадь всех трех участков, если средняя урожайность составляет 18 ц с 1га.
Х 6 у 4
Решение.Пусть х, у, z – плoщади участков.Тогда ─ =─ , ─ = ─ у 4 z 3
Откуда х = 6к, у = 4к, z = 3к. По условию,
(6к - 4к) ∙ 18 = 72,
к = 2.
Значит, площадь всех участков составляет
х + у + z = 2(6 + 4 + 3) = 26 (га).
Ответ:26.
Пример 3.Для полировки медных изделий пользуются следующим составом: 10 частей воды, 5 частей нашатырного спирта, 2 части мела (по массе). Сколько граммов каждого вещества надо взять для приготовления 680 г состава?
Значит, надо взять воду – 400 г, нашатырный спирт – 200 г, мел – 80г.
Ответ:400,200,80.
Задания для самостоятельной работы.
Пример 1. Латунь представляет собой сплав меди и цинка, массы которых пропорциональны соответственно числам 7 и 3. Сколько меди и сколько цинка в 500 г латуни?
Ответ: 350 г,150 г.
Пример 2.Для получения крахмала берут рис и ячмень: 4 части ячменя и 1 часть риса (по массе). Сколько килограммов ячменя и сколько килограммов риса надо взять, чтобы получить 45 кг крахмала?
Ответ: 36 кг, 9 кг.
Домашнее задание.
Пример 1.Сплав железа с углеродом – сталь. Массы железа и углерода в сплаве пропорциональны числам 49 и 1. Сколько железа и сколько углерода в 1т стали?
Ответ:980 кг, 20 кг.
Пример 2.Проехав 120 км, что составляло половину всего пути, пассажир лег спать и спал до тех пор, пока не осталось ехать половину того пути, который он проехал спящим. Сколько километров пути пассажир проехал спящим?
Ответ: 80 км.
Урок 5-6.
Тема.Отношения «больше», «меньше».
Цели:формировать умение решать текстовые задачи на отношения «больше», «меньше»; формировать умение сравнивать и анализировать.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
Какие из приведенных формул являются прямой пропорциональностью, обратной пропорциональностью или не являются ни тем, ни другим:
Р = 5,2b a = 8q + 1
К = п/2 c = 4: d
а = 8/b S = vt
М = m : S ab = 18
G =1 /4k S = a2
I I I. Объяснение нового материала.
Среди текстовых задач нередко встречаются задачи “ на сравнение”, то есть какие – либо величины сравниваются. Рассмотрим конкретный пример.
Пример. Один фермер получил средний урожай гречихи 21ц с 1га, а другой, у которого под гречихой было на 12га меньше, добился среднего урожая 25ц с 1га. В результате второй фермер собрал на 300ц гречихи больше, чем первый. Сколько центнеров гречихи было собрано каждым фермером?
Решение.Составим следующую таблицу.
Фермер
Площадь (га)
Урожайность (ц/га)
Масса (ц)
Первый
Х
21
21х
второй
Х - 12
25
25(х – 12)
По условию, 25(х – 12) – 21х = 300, откуда х = 150.
Тогда 21х = 3150(ц), а 25(х – 12) = 3450(ц).
Ответ:3150, 3450.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример.Два парка общей площадью 110 га разбиты на равные количества участков. Участки каждого парка по площади равны между собой, но отличаются от участков другого. Если бы первый парк был разбит на участки такой же площади, как второй, то он имел бы 75 участков, а если бы второй был разбит на такие же участки, то он содержал бы 108 участков. Определить площадь каждого парка.
Решение.Пусть S - площадь парка, n - число равновеликих участков, Q - площадь участка. Тогда S/n = Q. Данными и искомыми значениями заполним таблицу.
Парк
первоначально
При новом разбиении
S
n
Q
S
n
Q
первый
х
108х
───
110-х
110-х
───
108
х
75
х
──
75
второй
110-х
75(110-х)
─────
х
х
─
75
110-х
108
110-х
───
108
По условию, 108х 75(110-х)
─── = ────── ,
110-х х
откуда х = 50.
Ответ: 50 и 60 га.
Задание для самостоятельной работы.
Пример 1.Длины сторон двух квадратов пропорциональны числам 5 и 4. Если стороны каждого из квадратов уменьшить на 2см, то разность площадей полученных квадратов будет равна 28 см2 . найдите сторону большего квадрата.
Решение.Пусть сторона первого квадрата будет рвана 5х см, тогда сторона второго квадрата равна 4х см. После уменьшения стороны квадратов стали равными (5х – 2)см и (4х – 2)см соответственно, а их площади (5х – 2)2 и (4х -2)2 см2 . По условию задачи
(5х – 2)2 - (4х -2)2 =28.
Решая уравнение, получим
14
х = 2 или х = - ── .
9
Так как по смыслу задачи значения х положительные, то х = 2. Тогда сторона большего квадрата равна 5 ∙ 2 = 10(см).
Ответ:10.
Домашнее задание.
Пример 1.Найдите двузначное число, если число его десятков на 3 меньше числа единиц, а сумма квадратов цифр этого числа равна 89.
Ответ: 58.
Пример 2.Отношение сторон прямоугольника равно 3: 2. Если каждую из них увеличить на 1см, то площадь прямоугольника увеличится на 3см. Найдите периметр первого прямоугольника.
Ответ: 4.
Уроки 7-8.
Тема.Соотношения между натуральными числами.
Цель.Формировать умение решать задачи на соотношения между натуральными числами; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации; осуществить контроль усвоения полученных знаний.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
1) Найти делитель, если делимое равно 6045, частное 15, и остаток -15.
2) Пятую часть числа 20280 увеличить на 4 и полученный результат уменьшить в 4 раза.
3) Как изменится отношение, если: предыдущий член его увеличить в 3 раза, а последующий – в 2 раза; предыдущий член увеличить в 3 раза, а последующий уменьшить в 2 раза?
4) Определить отношение веса сухого вещества к весу воды, если сухое вещество растворено в 12 л воды, а весь раствор весит 15 кг.
I I I. Объяснение нового материала.
При решении задач на соотношения между натуральными числами используют следующие утверждения:
1) если к натуральному числу х приписать справа n - значное число у, то получится число 10nх + у;
2) если а и в - натуральные числа, причем а >в и а не кратно в, то существует и при том единственная пара натуральных чиселg и r таких, что а =в g + r, где r < g.
Пример.Запись шестизначного числа начинается цифрой 2. Если эту цифру перенести с первого места на последнее, сохранив порядок остальных пяти цифр, то вновь полученное число будет втрое больше первоначального. Найти первоначальное число.
Решение.Первоначальное шестизначное число имеет вид 2∙ 105 + х. После перенесения цифры 2 на последнее место получим число
10х + 2. Согласно условию,
10х + 2 = 3(2∙ 105 + х), откуда х = 85714.
Итак, первоначальное число 285714.
Ответ:285714.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.Задумано целое положительное число. К его записи присоединили справа цифру 7 и из полученного нового числа вычли квадрат задуманного числа. Остаток уменьшили на 75% этого остатка и еще вычли задуманное число. В окончательном результате получили 0. Какое число задумано?
Решение.Пусть задумано число х. Далее, следуя условию, получим числа 10х + 7, 10х + 7 – х2 и остаток
25
─── (10Х + 7 – х2 ).
100 1
Тогда ─ (10Х + 7 – х2 ) – х = 0, или х2 - 6х – 7 = 0.
4
Решая данное уравнение, получим х = 7 и х = - 1.
Годится лишь значение х = 7.
Ответ:7.
Контрольная работа.
Вариант 1.
1) Трехзначное число оканчивается цифрой 2. Если ее перенести в начало записи числа, то полученное число будет на 18 больше первоначального. Найти исходное число.
Ответ: 202.
2) Найдите полусумму трех чисел, если первое относится к второму как 4,5: 3,75, и составляет 40% третьего, а сумма второго и третьего равна 400.
Ответ: 260.
Вариант 2.
1) При умножении двух чисел, из которых одно на 10 больше другого, ученик допустил ошибку, уменьшив цифру десятков произведения на 4. При делении полученного произведения на меньший множитель для проверки ответа он получил в частном 39, а в остатке 22. Найти множители.
Ответ 31, 41.
2) Числители четырех дробей пропорциональны числам 1, 2, 1, 6, а знаменатели соответственно пропорциональны числам 1, 5, 3, 7. Найдите наибольшее из этих чисел, если их среднее арифметическое равно 17/35.
Ответ: 0, 75.
Уроки 9-10.
Тема.Проценты и уравнения.
Цели:формировать умение решать задачи на проценты; развивать логическое мышление; активизировать познавательную и творческую деятельность.
Ход урока.
I.Подведение итогов контрольной работы.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
Выразите в процентах следующие числа:1/2; 1/25; 1/5; 0,8; 2; 6,4; 0,175; 0,001; 3/7; 13/11.
1
Какую часть числа составляют: 75%, 50%, 25%, 12,5%, 10%, 5%, 33─%,
2 2 3
66 ─ %, 16 ─ %?
3 3
I I I. Объяснение нового материала.
Определение.Процентом числа а называется сотая его часть.
2% = 0,02; 20% = 0,2.
Слово “процент” происходит от латинского “ центи...” (по – французски “санти”), указывающего на уменьшение единицы измерения в сто раз. Например, сантиметр – сотая доля метра.
Существуют 3 основных вида задач “на проценты”:
1.Нахождение процентов от числа.
п
Решение: а = ── ∙ в
100
2. Обратная задача:нахождение числа по его процентам..
п
Решение: в = а : ── .
100
3. Нахождение процентного отношения чисел..
а
Решение: п = ── ∙ 100.
в
Прежде чем приступать к решению задачи на проценты, следует отвечать на вопросы:
·Какая величина принята за 100%;
·Известна ли эта величина?
·Как найти величину, которая приходится на 1%;
·Что требуется найти – процент от числа или число по его процентам?
Любую задачу на проценты можно решить отдельными действиями путем приведения к единице.
Пример. Сбербанк выплачивал 3% с суммы вклада по истечении года. Сколько было начислено процентных денег на 4000 р вклада?
Решение.4000 : 100 = 40( р ) – составляет 1% вклада.
40 ∙ 3 = 120 (р) – начислено процентных денег.
Эту же задачу можно решить составлением пропорций.
4000 р – 100% 4000 ∙ 3
Х р - 3% Х = ──── = 120 (р)
100
Ответ:120 р.
Пример.С двух участков ежегодно собиралось 500 т пшеницы. После проведения агротехнических мероприятий урожай на первом участке увеличился на 30%, а на втором – на 20%. Поэтому с двух участков собрали 630 т пшеницы. Сколько пшеницы собирали с первого участка первоначально?
Решение.Пусть с первого участка собирали Х т пшеницы, тогда со второго - (500 – Х )т. После проведения агротехнических мероприятий с первого участка стали собирать 1,3Х т пшеницы, а со второго – 1,2(500 – Х) т. С двух участков стали собирать
(1,3Х +1,2(500 – Х)) т, что по условию задачи составляет 630т. Составим и решим уравнение:
1,3Х +1,2(500 – Х) = 630.
Получим: Х = 300.
Таким образом, с первого участка до агротехнических мероприятий собирали 300 т пшеницы.
Ответ: 300.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.Из молока, жирность которого составляет 5%, изготовляют творог жирностью 15,5% , при этом остается сыворотка жирностью 0,5%. Сколько творога получается из 1т молока?
Решение.Пустьполучено Х тонн творога жирностью15,5%, тогда останется 1 – Х тонн сыворотки жирностью 0,5%. Следовательно, в 1т молока содержится
15,5Х 0,5(1 – Х) 15Х + 0,5
──── + ────── = ─────── т жира.
100 100 100
15Х + 0,5 5
По условию, ────── = ─── , откуда Х= 0,3 (т).
100 100
Ответ:300 кг.
Самостоятельная работа.
Пример 1.Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный 15%. Сколько получится сушеных грибов из 17 кг свежих? Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 3,4 кг сушеных?
Решение.100% - 90% = 10% - приходится на сухое вещество в свежих грибах.
17 : 10 =1,7 (кг) – масса сухого вещества в 17 кг свежих грибов и в сушеных грибах.
1,7 : 85 =0,02 (кг) – приходится на 1% массы сушеных грибов.
0,02 ∙ 100 = 2 (кг) –масса сушеных грибов.
Ответ: 2кг.
Пример2.При выполнении контрольной работы по математике 12% учеников не выполнили ни одного задания, 32% допустили ошибки, а остальные 14 человек решили задания верно. Сколько всего учеников в классе?
Решение.Сначала узнаем, сколько процентов учеников выполнило задание верно. 100% - (12% + 32%) = 56%.
14 учеников - 56%
х учеников - 12% 14 ∙ 12
Составляем пропорцию: х = ───── = 3
56
Значит, 3 ученика не выполнили ни одного задания.
14 учеников - 56%
х учеников - 32% 14 ∙ 32
Составляем пропорцию: х = ───── = 8.
56
8 учеников допустили ошибки. Значит, всего в классе 14 + 2 + 8 = 25 учеников.
Ответ:25.
Домашнее задание
Пример 1.В двух залах кинотеатра было 640 мест для зрителей. После замены кресел число мест в первом зале увеличилось на 20%, во втором – на 15%. Сколько новых кресел установили в первом зале, если общее количество мест в двух залах увеличилось на 180?
Ответ: 320.
Пример 2.В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска готовой продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?
Ответ: 7,1%.
Уроки11 -12.
Тема.Торгово – денежные отношения.
Цели:формировать умение решать задачи на торгово – денежные отношения; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации; активизировать познавательную и творческую деятельность.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
1)Спрос на товар увеличился в 5 раз. На сколько процентов увеличился спрос?
2) Объем товаров увеличился на 200%. Во сколько раз произошло увеличение?
3) Квартплата составляла 2000 руб. Какой стала квартплата после ее увеличения на 120%?
4) число непроданных на сеанс билетов в кинотеатре составляет 15% от числа проданных билетов. Сколько продано билетов на сеанс, если всего в кинотеатре 460 мест?
I I I. Объяснение нового материала.
При решении задач на торгово – денежные отношения, как было рассмотрено на прошлых уроках, сначала надо анализировать условия. Анализируя условия, сначала надо определить какая величина принята за целое (за 100%). Далее следует выяснить, известна ли эта величина. После этого уже нетрудно определить, какая величина приходится на одну долю, и выполнить действия, необходимые для нахождения ответа на вопрос задачи. Рассмотрим конкретную задачу.
Пример.Цену товара сперва снизили на 20%, затем новую цену снизили еще на 15%, и, наконец, после перерасчета произвели снижение еще на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?
Эту задачу проще решить чисто арифметически, не составляя уравнение.
Решение.1. Пусть первоначальная цена товара Х рублей, что соответствует 100%.
2. Тогда после первого снижения цена товара будет Х - 0,2Х = 0,8Х (руб).
3. После второго снижения 0,8Х – 0,25 ∙ 0,8Х=0,68Х (руб).
4. После третьего снижения 0,68Х – 0,68Х ∙ 0,2 = 0,612Х (руб).
5.Всего цена товара снизилась на Х- 0,612Х = 0,388Х (руб).
Составим пропорцию: Х – 100%
0,388Х – У%.
0,388Х ∙ 100%
У% = ───────── = 38,8%
Х
Ответ:38,8%.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.Цена товара была понижена на 20%. На сколько процентов ее нужно повысить, чтобы получить исходную цену?
Решение.Пусть исходная цена товара – Хруб. После понижения цена составила 80%, т.е. 0,8Х руб. Теперь
0,8Х - 100%
Х - ?%. 100Х
Старая цена составит ─── = 125% от новой. То есть повысить
0,8Х
цену нужно на 25% .
Ответ:25%.
Пример 2.Две шкурки общей стоимостью в 2250 руб. были проданы на аукционе с прибылью в 40%. Какова стоимость каждой шкурки, если от первой было получено прибыли 25%, а от второй – 50%.
Решение.Пусть Х (руб) – стоимость первой шкурки, тогда 2250-Х (руб) – стоимость второй шкурки. После продажи за первую шкурку было получено 1,25Х (руб), а за вторую – 1,5(2250 – Х) (руб). Согласно условию, составляем уравнение
Пример 1.Апельсины подешевели на 30%. Сколько апельсинов можно теперь купить на те же деньги, на которые раньше покупали 2,8 кг?
Ответ: 4 кг.
Пример 2.Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стгоимость 2000 руб., а окончательная 1805 руб?
Ответ. На 5%.
Домашнее задание.
Пример 1.Цена на фрукты возросла на 15%, за счет чего на сумму в 230 руб было приобретено фруктов на 3 кг меньше. На сколько рублей возросла цена 1 кг фруктов?
Ответ: на 1,5 руб.
Пример 2.Цена товара была дважды повышена на одно и то же число процентов. На сколько процентов повышалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 6000 руб., а окончательная 6615 руб?
Ответ: на 5%.
Урок 13.
Тема:“Вкладывайте деньги...”
Цели:формировать умение решать экономические задачи, т.е. задачи на банковские отношения; формировать умение анализировать; развивать исследовательскую деятельность учащихся.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I.Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
1) Для увеличения данного числа на 30% достаточно умножить это число на ...
2) Для уменьшения данного числа на 20% достаточно умножить это число на ...
3) Для умеьшения данного числа на 12,5% достаточно умножить его на ...
4) вычислите устно: 25% от 3,6; 50% от 63 руб 50 коп; 75% от 600 руб; 15% от 240; 40% от1060; 10% от 1263; 1% от 0,04.
I I I. Объяснение нового материала.
Часто приходится решать экономические задачи, в частности задачи на банковские отношения. Рассмотрим конкретный пример.
Пример.Банк ежегодно увеличивает на одно и то же число процентов сумму, имеющуюся на вкладе к моменту начисления процентов. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма, если за два года она возросла с 2000 до 2420 рублей?
Решение.Пусть ежегодно имеющаяся на счете сумма увеличивается на Х%. В первый раз за 100% мы должны принять сумму, имеющуюся на счете к началу первого года, то есть 2000 рублей. Тогда через год на счете окажется Х
( 2000 + ─── ∙ 2000) = (2000 + 20Х) рублей .
100
Для расчета процентов за второй год мы должны принять за 100% уже сумму, имеющуюся на счете к началу второго года, то есть (2000 + 20Х) рублей. Тогда по происшествии второго года на счете окажется
по условию задачи составляет 2420 рублей. Составим и решим уравнение
0,2Х2 + 40Х + 2000 = 2420.
Находим Х = -210 или Х = 10.
Так как по условию задачи значения Х должны быть положительными, то Х = 10. Итак, ежегодно сумма вклада увеличивалась на 10%.
Ответ:10%.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 1. Клиент внес 3000 рублей на два вклада, один из которых дает годовой доход, равный 8%, а другой – 10%. Через год на двух счетах у него было 3260 рублей. Какую сумму клиент внес на каждый вклад?
Решение.Пусть клиент внес на первый вклад Х рублей, а на второй (3000 – Х) рублей. Через год на первом счете у него окажется (Х + 0,08Х) = 1,08Х рублей, а на втором – (3000 – Х + 0,1(3000 – Х)) = (3300 – 1,1Х) рублей. Составим и решим уравнение
1,08Х + 3300 – 1,1Х = 3260
0,2Х = 400
Х = 2000.
Итак, клиент внес на первый вклад 2000 рублей, а на второй – 3000-2000 = 1000 рублей.
Ответ:2000;1000.
Домашнее задание.
Собрать материал для подготовки и защиты проекта “Вкладывайте деньги...” по одной из проблем:
-вложение в банк (на какой банк и на какой счет);
-вложение в бизнес ( бытовое обслуживание, торговля, общепит, сетевой маркетинг);
-вложение в развитие производства (строительство, промышленность, сельское хозяйство, научно – техническая сфера, искусство).
Урок 14.
Тема.Экскурсии в сбербанки, сберкассы или на предприятия различных отраслей и форм собственности.
Цели.Выяснить, как используются процентные расчеты в банковском деле, на производстве, в бизнесе; сбор материала для защиты проекта “Вкладывайте деньги...”
Уроки 15 – 16.
Тема.Правило начисления сложных процентов.
Цели.Формировать умение решать экономические задачи с использованием формул простого и сложного процентного роста; развивать логическое мышление; умение работать в проблемной ситуации.
Ход урока.
I Проверка домашнего задания.
Защита проекта «Вкладывайте деньги...”
I I . Объяснение нового материала.
Мы на прошлом уроке решили несколько задач на банковские отношения. Эти же задачи можно решить другим способом, используя следующие формулы:
рп
Простой процентный рост: Sп = (1+ ─── ) S,
100
где S – начальная сумма вклада,
р – месячный процент,
п–время хранения вклада. р
Сложный процентный рост: : Sп = (1+ ─── )п S.
100
Рассмотрим тот же пример.
Пример.Банк ежегодно увеличивает на одно и то же число процентов сумму, имеющуюся на вкладе к моменту начисления процентов. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма, если за два года она возросла с 2000 до 2420 рублей?
Решение.Данный пример на сложный процентный рост.
р
Sп = (1+ ─── )п S. Подставляем значения:
100
р
2420 = (1+ ───)2 2000
100
2420 100 +р
─── = ( ──── )2
2000 100
12100 = 10000 + 200р + р2
р2 + 200р – 2100 = 0.
Решая данное квадратное уравнение, получим р = 10 или р = -210.
Ответ:10%.
I I I. Закрепление пройденного материала.
Самостоятельная работа.
Пример.Какая сумма будет на счете через 4 года, если на него положены 2000руб под 30% годовых?
Решение .Данный пример на сложный процентный рост.
30
(1+ ─── )4 ∙ 2000 = 5712,2(руб)
100
Ответ:5712,2.
IV. Домашнее задание.
Пример.Сумма в 1000руб уменьшается ежемесячно на 5%. Через сколько месяцев эта сумма сократится до: 1)750руб; 2)500руб; 3)250руб; 4)50руб?
Ответ: 5мес; 10мес; 15мес;19мес.
Уроки 17 – 18.
Тема.Задачи на смеси (сплавы).
Цели.Формировать умение решать задачи на смеси и сплавы; развивать умение анализировать, сравнивать и обобщать; развивать логическое мышление.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I. Объяснение нового материала.
При решении задач на сплавы и смеси используют следующие допущения:
1) все полученные сплавы, смеси, растворы считаются однородными;
2) не делается различие между литром как мерой вместимости и литром как мерой количества жидкости (или газа).
Если смесь (сплав, раствор) массы т состоит из вещества А,В и С
тА
(имеющих соответственно массы тА,тВ,тС), то величину ──
тВ тС т
(соответственно ── и ── ) называют концентрацией вещества А
т т тА тВ
(В,С) в смеси, а величину ── ∙ 100% (соответственно ── ∙ 100% ,
тСтт
─── ∙ 100%) – процентным содержанием вещества А
т
(соответственно В,С) в смеси. При этом выполняется равенство
тА тВ тС
── + ── + ── = 1.
т т т
В задачах такого типа обычно присутствуют три величины, соотношение между которыми позволяет составлять уравнение:
- концентрация ( доля чистого вещества в смеси);
- количество чистого вещества в смеси (или сплаве);
- масса смеси (сплава).
Соотношение между этими величинами следующее:
Масса смеси ×концентрация = количество чистого вещества.
Пример.Из 40т железной руды выплавляют 20 т стали, содержащей 6% примесей. Каков процент примесей в руде?
20 ∙ 6%
Решение.1) ──── = 1,2т – примеси в стале;
100%
2) 40 – 20 = 20т.
3) 20 + 1,2 =21,2т – примеси в руде;
21,2
4) ─── ∙ 100% =53% - примеси в руде
40
Ответ:53%.
I I I. Закрепление пройденного материала.
Пример1.Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
Решение.1) Пусть 30%-ного раствора взято Х граммов, а 10%-ного раствора взято У граммов.
2) Х+У =600.
3)В полученной смеси 600 ∙ 0,15 = 90г кислоты.
4) 0,3Х + 0,1У = 90.
Составим систему и решим ее.
Х+У = 600
0,3Х + 0,1У = 90.
Х = 150; У = 600 – 150 = 450.
Ответ:150,450.
Пример 2.Сплавили 300г сплава олова и меди, содержащего 60% олова, и 900г сплава олова и меди, содержащего 80% олова. Сколько процентов олова в получившемся сплаве?
Решение.Масса олова в первом сплаве 0,6 ∙ 300 = 180г, во втором –
0,8 ∙900= 720г. Тогда масса олова в новом сплаве 180 + 720 = 900г. Масса нового сплава 300 + 900 = 1200г. Процентное содержание олова в нем 900
─── ∙ 100% = 75%
1200
Ответ:75%.
Самостоятельная работа.
Пример 1.Сплавили 2кг сплава цинка и меди, содержашего 20% цинка, и 6кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве.
Ответ: 65%.
Пример 2.Смешали 300г 60%-ного раствора серной кислоты и 200г 80%-ного раствора серной кислоты. Сколько процентов серной кислоты в получившемся растворе?
Ответ: 68%.
Домашнее задание.
Пример 1.В сплав магния и алюминия, содержащий 22кг алюминия, добавили 15кг магния., после чего содержание магния в сплаве повысилось на 33%. Сколько весил сплав первоначально?
Ответ: 25кг.
Пример 2.Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15кг, содержащий 40% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 30% меди?
Ответ: 5кг.
Уроки 19 – 20.
Тема.Задачи на разбавление.
Цели:формировать умение решать задачи на разбавление; осуществить оперативный контроль учащихся; развивать умение анализировать.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I.Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
-Какие величины присутствуют в задачах на смеси и сплавы?
-Какое соотношение имеется между этими величинами?
-Какие допущения можно использовать при решении задач на смеси и сплавы?
I I I. Объяснение нового материала.
Рассмотрим задачи такого же типа, но где вещество разбавляется водой какого – то количества.
Пример.Сколько литров воды надо добавить к 20л пятипроцентного раствора соли, чтобы получить четырехпроцентный раствор?
Решение.Соль содержится в каждом из растворов. В 20л. пятипроцентного раствора соли содержится 20 ∙ 0,05 = 1 (ед) соли. Ее количество не меняется. Доливается только вода. Узнаем, каково ее количество.
Обозначим Х(л) – количество добавленной воды. Из условия задачи получаем, что 4%-ую концентрацию раствора характеризует уравнение
1
──── = 0,04. Отсюда Х = 5.
20 + Х
Ответ:5.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример.Из бака, наполненного спиртом, отлили часть спирта и долили до прежнего объема водой, затем из бака отлили столько же литров смеси, сколько в первый раз отлили спирта, после чего в баке осталось 49л чистого спирта. Сколько литров спирта отлили из бака в первый раз, если в баке содержалось 64л?
Решение.1) Пусть из бака отлили в первый раз Х литров спирта. В баке осталось (64 – Х) литров спирта.
2) После того, как бак долили водой, в нем осталось 64 л смеси.
64 - Х
Следовательно, в 1л смеси содержалось ─── литров спирта.
64
3) Так как во второй раз отлили Х литров смеси, то спирта отлили во
64 - Х
второй раз ( ──── )Х литров.
64
4) Из условия следует, что из бака отлили всего 64 – 49 = 15 л спирта.
5) Составим уравнение и решим его:
64 - Х
Х + ──── = 15.
64
Откуда Х = 8, Х = 120( не удовлетворяет условию).
(64 – 8)∙8
Во второй раз отлили ──── =7.
64
Ответ. 8л,7л.
Контрольная работа.
Вариант 1.
1)Сколько надо добавить воды к 100г сухого молока с содержанием 7% воды, чтобы получить молоко с содержанием 60% воды?
Ответ: 132,5г.
2) В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных – 20%. На сколько процентов уменьшается масса яблок при сушке?
Ответ: на 75%.
3) При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?
Ответ: 2:1.
Вариант 2.
1) Сколько граммов воды надо добавить к 180г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20%?
Ответ: 45г.
2) Абрикосы при сушке теряют 60% своей массы. Сколько процентов воды содержат свежие абрикосы, если в сушеных абрикосах 25% воды?
Ответ: 70%.
3) Имеется 2 сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 70%, а во втором – 40% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 50% меди?
Ответ: 1:2.
Уроки 21 – 22.
Тема.Задачи, где неизвестные являются членами прогрессии.
Цели.Формировать умение решать задачи, где неизвестные являются членами прогрессии; развивать логическое мышление; развивать навыки самостоятельной работы.
Ход урока.
I . Подведение итогов контрольной работы.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
-Какая числовая последовательность называется арифметической прогрессией?
- Формула п –го члена арифметической прогрессии?
- Формулы суммы п первых членов арифметической прогрессии?
-Какая числовая последовательность называется геометрической прогрессией?
- Формула п –го члена геометрической прогрессии?
- Формулы суммы п первых членов геометрической прогрессии?
I I I. Объяснение нового материала.
Мы вспомнили нужные нам формулы арифметической и геометрической прогрессий.
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
ап = а1 + d(n – 1)
а1 + ап
Sп = ──── ∙ n
2
2 а1 + d(n – 1)
Sп= ──────── ∙ n
2
bп = b1 ∙ gп-1
b1(gп – 1)
Sп = ──────, g‡1
g - 1
bп∙ g - b1
Sп = ───────, g‡1
g - 1
Рассмотрим задачи, где неизвестныеявляютсячленамипрогрессии.
Пример1.Для оплаты пересылки четырех бандеролей понадобилось 4 различные почтовые марки на общую сумму 28 рублей. Определить стоимость марок, приобретенных отправителем, если эти стоимости составляют арифметическую прогрессию, а самая дорогая марка в 2,5 раза дороже самой дешевой.
Решение.1) Пусть Х рублей – стоимость самой дешевой марки.
2) Тогда 2,5Х рублей – стоимость самой дорогой марки.
3) Стоимость всех четырех марок по условию есть сумма членов арифметической прогрессии, т.е.
Х + 2,5Х
───── ∙ 4 = 28, откуда Х = 4.
2
4) Из формулы общего члена арифметической прогрессии имеем:
а4 = а1 + 3d, 2,5Х = Х + 3d, 10 = 4 + 3d, d= 2.
а2 = 4+ 2 = 6, а3 = 6+ 2 = 8.
Ответ:4; 6; 8; 10.
Пример 2.Число посетителей вновь открывшегося кафе в первые 8 дней работы увеличивалось ежедневно в одно и то же число раз. Сколько человек посетило кафе в восьмой день, если в третий день было 288 посетителей, а в пятый – 648?
Решение.Последовательность чисел, равных количеству посетителей кафе в каждый из восьми дней, - геометрическая прогрессия (bп), в которой даныb3= 288 иb5=648, а найти нужноb8.
Найдем знаменатель прогрессииg. Так как
g2 =b5:b3=648 : 288 = 1,5 (g> 0).
Тогдаb8=b5∙g3= 2187.
Итак, в восьмой день кафе посетило 2187 человек.
Ответ:2187.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.В первую неделю работы очистных сооружений после их реконструкции количество вредных выбросов в реку ежедневно уменьшалось в одно и то же число раз. Сколько вредных веществ попало в реку за эту неделю, если во второй день в реку попало 128 м3, а в пятый день - 16 м3 вредных веществ?
Решение.Последовательность объемов выбросов в каждый из семи дней – геометрическая прогрессия (bп), в которой даныb2= 128 иb5=16, а найти нужно сумму первых семи ее членовS7.
Таким образом, за неделю в реку попало 508 м3 вредных веществ.
Ответ:508.
Самостоятельная работа.
Пример 1.Цена костюма снижалась несколько раз на одно и то же число рублей. После третьего снижения она составила 2460 рублей, а после одиннадцатого снижения – 1980 рублей. После скольких снижений цена костюма составит 50% начальной цены?
Ответ: 22.
Пример 2.Производительность линии по производству йогуртов в первые пять дней после конструкции ежедневно увеличивалось в одно и то же число раз. Сколько йогуртов было произведено в пятый день, если во второй день произвели 1200кг йогуртов, а в четвертый – 1728кг йогуртов?
Ответ: 2073,6.
Домашнее задание.
Пример 1. В соревнованиях по стрельбе за каждый промах из 50 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах – два штрафных очка, а за каждый последующий – на одно очко больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 35 штрафных очков?
Ответ: 16.
Пример 2.Себестоимость выпускаемой на новом конвейере продукции в первые полгода ежемесячно уменьшалось в одно и то же число раз. Найдите себестоимость продукции во второй месяц этого полугодия, если в четвертый месяц она составила 512 тыс. рублей, а в последний месяц – 327, 68 тыс. рублей.
Ответ: 800.
Уроки 23 – 24.
Тема. Геометрические задачи.
Цели:формировать умение решать геометрические задачи; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации; активизировать познавательную и творческую деятельность.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
- Формула длины окружности;
- Формула площади круга;
- Формула площади прямоугольника;
- Формула объема прямого параллелепипеда.
I I I. Объяснение нового материала.
Среди текстовых задач встречаются задачи геометрического содержания. В этих задачах может требоваться решить задачу или выбрать среди предложенных уравнений (или выражений) то, которое является математической моделью задачи. Те задачи, которые требуется решить, могут решаться с помощью составления уравнения (системы уравнений) или арифметически. Рассмотрим конкретный пример.
Пример.Переднее колесо движущейся модели на протяжении 120м делает на 6 оборотов больше, чем заднее. Если окружность переднего колеса увеличить на 1/4 ее длины, а окружность заднего – на 1/5 ее длины, то на том же расстоянии переднее колесо сделает на 4 оборота больше, чем заднее. Найти длины окружностей переднего и заднего колес.
Решение.Длина окружности колеса С, число оборотов п и расстояниеSсвязаны формулой Сп =S. Для удобства заполним таблицу значений этих величин.
Колесо
До изменения
После изменения
С
S
п
С
S
п
Переднее
Х
120
120
──
Х
5Х
──
4
120
120∙4
────
5Х
Заднее
У
120
120
──
У
6У
──
5
120
120∙5
────
6У
Согласно условию, получаем систему
120 120
── - ── = 6,
Х У
96 100
── - ── = 4, откуда находим Х = 4(м), У = 5(м).
Х У
Ответ:4 и 5м.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.В некотором механизме три шестеренки разных диаметров связаны между собой так, что большая из них касается обеих меньших, причем все три шестеренки вместе имеют 60 зубцов. Когда большая шестеренка не доходит на 20 зубцов до полных четырех оборотов, вторая и третья делают соответственно 5 и 10 полных оборотов. Сколько зубцов имеет каждая шестеренка в отдельности?
Решение.Пусть Х, У, Z – числа зубцов трех шестеренок, причем
Х >У>Z и Х +У+Z = 60.
Так как шестеренки сцеплены, то за время их вращения придет в соприкосновение одинаковое число зубцов каждой шестеренки, т.е.
10 Z = 5У = 4Х – 20.
Составив из данных уравнений систему и решив ее, находим Х = 30, У = 20, Z = 10.
Ответ:30,20,10.
Самостоятельная работа.
Пример 1.Лист жести имеет форму прямоугольника, длина которого на 20 см больше ширины. По углам этого листа вырезали квадраты со стороной 5 см и сделали коробку. Объем коробки равен 1500 см3. найдите размеры листа жести.
Ответ: 20 см, 40 см.
Пример 2.Длина детской площадки прямоугольной формы на 5 м больше ее ширины. Длину площадки увеличили на 2 м, а ширину – на 5 м, при этом ее площадь увеличилась на 280 м2. Найдите площадь новой детской площадки.
Ответ: 1680 м2
Домашнее задание.
Пример 1.Под строительную площадку отвели участок прямоугольной формы, длина которого на 25 м больше ширины. При утверждении плана застройки длину участка увеличили на 5 м, а ширину – на 4 м, в результате площадь участка увеличилась на 300 м2. Найдите площадь образовавшейся строительной площадки.
Ответ: 1200 м2
Пример 2.Из прямоугольного листа картона, одна сторона которого в 2 раза больше другой, склеили коробку. Для этого по углам этого листа вырезали квадраты со стороной 5 см. найдите размеры листа картона, если объем коробки равен 5000 см2.
Ответ: 30 см, 60 см.
Уроки 25 -26.
Тема.Физические задачи.
Цели:формировать умение решать физические задачи; развивать умение сравнивать и обобщать закономерности; осуществить оперативный контроль учащихся.
Ход урока.
I . Проверка домашнего задания.
I I. Объяснение нового материала.
Среди текстовых задач нередко встречаются задачи физического содержания, которые нужно решить путем составления уравнения или арифметически. Но в любом случае необходимо знать формулы физики. Рассмотрим конкретный пример.
Пример 1.Кристалл, находясь в стадии формирования, равномерно наращивает свою массу. Наблюдая формирование двух кристаллов, заметили, что первый из них за 3 мес. дал такой же прирост массы, как второй за 7 мес. Однако по истечении года оказалось, что первый кристалл увеличил свою первоначальную массу на 4%, второй – на 5%. Найти отношение первоначальных масс этих кристаллов.
Решение.Пусть годовой прирост массы Х равен а, тогда, согласно условию, годовой прирост массы У равен 3а/7. Имеем
3а 4 Х 7
а =0,4Х, ── = 0,5У, ── ∙ ── = ──, Х : У = 35:12.
7 5 У 3
Ответ:35:12.
Пример 2.Известно, что свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Если два тела начали падать с одной высоты спустя 5 с одно после другого, то через какое время они будут друг от друга на расстоянии 220,5 м?
Решение. Воспользуемся формулой S = 4,9 t2.
Ответ: через 7 с после начала падения первого тела.
I I I.Контрольная работа.
Вариант 1.
1)Из пункта А и В, расстояние между которыми равно 450 км, выехали одновременно навстречу друг другу 2 автомобиля. Один автомобиль двигался равномерно со скоростью 60 км/ч, а другой в первый час прошел 45 км, а в каждый следующий проходил на 5 км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов автомобили встретились?
Ответ: 4.
2) В первые 7 дней марта количество продаваемых в парфюмерном магазине подарочных наборов увеличивалось на одно и то же число ежедневно. Сколько продали наборов за 7 дней, если во второй день продали 95 наборов, а в пятый день – 140?
Ответ: 875.
Вариант 2.
1) Из пункта А выехал грузовой автомобиль и двигался со скоростью 40 км/ч. Одновременно в этом же направлении из пункта В отправился легковой автомобиль, который в первый час прошел 50 км, а в каждый следующий проходил на 5 км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов легковой автомобиль догонит грузовой, если известно, что расстояние от пункта В до пункта А равно 135 км?
Ответ: 6 ч.
2) В последнюю неделю мая количество продаваемых в «Детском мире» надувных игрушек для плавания маленьких детей ежедневно увеличивалось в одно и то же число раз. Найдите отношение количества проданных игрушек 31 мая к количеству проданных игрушек 30 мая, если 27 мая было продано 45 игрушек, а 29 мая – 405 игрушек?
Ответ: 3.
Уроки 27 – 28.
Тема.Задачи «на работу».
Цели:формировать умение решать задачи «на работу»; развивать логическое мышление; активизировать познавательную и творческую деятельность.
Ход урока.
I . Анализ контрольной работы.
I I. Объяснение нового материала.
Работу характеризуют три компонента действия:
-время работы;
-объем работы;
-производительность труда (количество
произведенной работы в единицу времени).
Существует следующее соотношение между этими компонентами:
Объем работы = время работы ×производительность.
Пример.Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20 дней. Но завод выпускал ежедневно по 2 машины сверх плана, а поэтому выполнил заказ за 18 дней. Сколько машин выпустил завод?
Решение.Пусть завод должен был выпускать Х машин в день, тогда заказ составляет 20Х машин.
На самом деле завод выпускал (Х + 2) машины в день и за 18 дней выпустил 18(Х + 2) машин. По условию задачи
20Х = 18(Х + 2),
откуда Х = 18. Таким образом, завод выпустил 360 машин.
Ответ:360.
I I I. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.Планом было предусмотрено, что предприятие на протяжении нескольких месяцев изготовит 6000 насосов. Увеличив производительность труда, предприятие стало изготовлять в месяц на 70 насосов больше, чем было предусмотрено, и на один месяц раньше установленного срока перевыполнило задание на 30 насосов. На протяжении скольких месяцев было предусмотрено выпустить 6000 насосов?
Решение.Пусть за Х месяцев было предусмотрено выполнение планового задания. Тогда за (Х – 1) месяцев было выпущено 6030 насосов. В месяц по плану предприятие планировало выпускать 6000/Х насосов, а фактически выпустило в месяц 6030/Х насосов. Из условия задачи следует уравнение:
6030 6000
─── - ─── = 70.
Х Х 60
Решая уравнение, получим Х = 10 или Х = - ── ( не
7
удовлетворяет условию задачи).
Значит, было предусмотрено выпустить 6000 насосов на протяжении 10 месяцев.
Ответ:10.
Решая некоторые задачи «на работу», обычно всю работу принимают за единицу. Рассмотрим это на конкретном примере.
Пример 2.Две копировальные машины печатают рукопись. Если всю рукопись будет печатать первая машина, то работа будет выполнена на 4 мин позже, чем две машины, работая вместе. Если печатать всю рукопись будет вторая машина, то она напечатает на 25 мин позже, чем обе машины, работая вместе. За сколько минут может напечатать эту рукопись вторая машина?
Решение.Примем за единицу работу по печати всей рукописи. Пусть время печати всей рукописи первой машиной – Х (мин), а второй – У (мин). Тогда производительность первой машины 1/Х, производительность второй машины – 1/У, общая их производительность (1/Х + 1/У). Получаем время их общей работы:
1 ХУ
──── = ────.
1 1 Х + У
─ + ─
Х У
Можем составить 2 уравнения относительно времени работы:
ХУ
Х – 4 = ────,
Х + У
ХУ
У – 25 = ────;
Х + У
Решая систему из данных уравнений, получим У = 35, Х = 14 или
У = 15, Х = - 6 (не удовлетворяет условию задачи).
Итак, вторая машина может напечатать рукопись за 35 мин.
Ответ:35.
Самостоятельная работа (тест).
Пример 1.Фермеры должны были закончить сев за 5 дней. Но, узнав о предстоящем ухудшении погоды, они засевали в день на 20 га больше, чем предполагалось по плану, и поэтому закончили сев за 4 дня. Сколько гектаров они засеяли?
А: 400. В: 500. С: 200. Д: 800.
Пример 2.Первая машинистка напечатала 270 страниц, печатая в день на 2 страницы больше второй машинистки, при этом работалаона на 1 день меньше, чем вторая. Сколько страниц в день печатала вторая машинистка, если всего она напечатала 280 страниц?
А: 30. В: 42. С: 28. Д: 25.
Домашнее задание.
Пример 1.Бригада цветоводов должна была высадить в понедельник на центральных площадях города 7200 цветов. Однако три человека заболели, и каждому из вышедших на работу пришлось высадить на 400 цветов больше нормы, чтобы успеть вовремя. Сколько человек вышло на работу в понедельник?
Ответ: 6.
Пример 2.Два помощника депутата так разделили между собой работу по редактированию доклада, что закончили каждый свою часть работы одновременно, через 12 ч. Первый помощник, работая один, мог бы отредактировать доклад на 10 часов быстрее второго. Сколько часов потребовалось бы второму помощнику для выполнения этой работы?
Ответ: 30.
Уроки 29 – 30.
Тема.Задачи на движение.
Цели:формировать умение решать задачи на движение; развивать умение анализировать; развивать умение сравнивать и обобщать закономерности.
Ход урока.
I Проверка домашнего задания.
I I.Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
- По какойформуле находитсяскоростьпри равномерном движении?
- по какой формуле находится время равномерного движения?
- по какой формуле находится пройденное расстояние?
I I I. Объяснение нового материала.
При решении задач на движение принимают такие допущения:
1) движение считается равномерным (если нет специальных оговорок);
2) скорость считается величиной положительной;
3) повороты движущихся тел и переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно;
4) если тело, имеющее собственную скорость u, движется по реке, скорость течения которой равна v, то скорость тела по течению равна u + v, а скорость против течения равна u - v .
Часто при решении таких задач бывает удобно ввести систему координатtОs, где по абсцисс откладывают время, а по оси ординат – путь, пройденный телом. Тогда графиком зависимостиs=v tявляется отрезок прямой, составляющий с осью Оt угол α, тангенс которого равен значению скорости v.
Часто приходится рассматривать задачи, описывающие движение двух участников. В задачах на совместное движение участники не всегда одновременно его заканчивают. Поэтому очень важно выделить участок, на котором движение происходит действительно совместно. Кроме этого, в задачах имеются, как правило, такие участки пути, на которых передвигается один участник, в то время как другой еще не начал или уже закончил движение.
В некоторых задачах полезно найти скорость сближения (или удаления) участников – величину, показывающую, на сколько уменьшается (или увеличивается) расстояние между участниками движения в единицу времени.
Скорость сближения или удаления равна сумме скоростей участников при их движении в противоположных направлениях (навстречу друг другу или друг от друга). При движении участников в одном направлении (один убегает, другой его догоняет) скорость сближения или удаления равна модулю разности их скоростей.
Пример.Из Смоленска в Москву вышел поезд со скоростью 70 км/ч. Спустя 1 ч 40 мин из Москвы в Смоленск отправился поезд, скорость которого равна 60 км/ч. Через сколько часов после выхода поезда из Смоленска произойдет встреча, если расстояние между городами равно 420 км?
Решение.Совместное движение началось в момент выхода из Москвы первого поезда. К этому времени второй поезд прошел
5 350
70 ∙ ─ = ── (км) и расстояние между поездами сократилось до
3 3
350 910
420 - ── = ── (км).
3 3
Закончилось их совместное движение встречей. Итак, на расстоянии
910
── (км) поезда сближались со скоростью 70 + 60 = 130 (км/ч) и
3 910 1
потратили на это ── : 130 = 2─ (ч).
3 3
2 1
тогда поезд из Смоленска шел до встречи 1─ + 2─ = 4 (ч).
3 3
Ответ:4.
I I I. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.Катер, собственная скорость которого равна 15 км/ч, прошел 60 км по реке от одной пристани до другой и вернулся обратно. За это же время спасательный круг, упавший за борт с катера, проплывет 25 км. Найдите время движения катера вверх по реке.
Решение.В данной задаче основные скорости – собственная скорость катера, равная 15 км/ч., и скорость течения, которая не дана. Обозначим скорость течения за Хкм/ч.
Тогда на путь по течению катер со скоростью (15 +Х) км/ч затратит
60
─── ч, а на путь против течения катер со скоростью (15 – Х) км/ч
15 + Х 60
затратит ─── ч.
15 - Х
Спасательный круг проплыл 25 км по течению реки за 25/Х ч. Учитывая, что по условию задачи на путь туда и обратно катер затратил такое же время, за какое спасательный круг проплыл 25 км, составим уравнение: 60 60 25
─── + ─── = ── .
15+ Х 15 – Х Х
Уравнение имеет единственный положительный корень Х =3. Итак, скорость течения равна 3 км/ч. Далее узнаем время движения вверх по реке: 60
─── = 5(ч).
15 – 3
Ответ:5.
Пример 2. Из пункта А в пункт В выехал автоьус со скоростью 40 км/ч. После того как автобус проехал 30 км, из пункта А со скоростью 60 км/ч выехал автомобиль, который прибыл в пункт В на 1/12 ч позже автобуса. Найдите расстояние между пунктами.
Решение.Совместное движение началось в момент выхода автомобиля из пункта А. К этому времени автобус прошел 30 км со скоростью 40 км/ч за 3/4 ч (30: 40 = 3/4) – это первый участок пути автобуса.
Второй участок пути автобуса начинается в 30 км от пункта А и заканчивается в пункте В. Пусть второй участок пути автобус прошел за t ч. Так как скорость движения равна 40 км/ч, то это расстояние рвано 40 t км, а в обшей сложности от пункта А до пункта В автобус прошел (30 + 40 t) км.
Закончилось совместное движение прибытием автобуса в пункт В. За t ч автомобиль со скоростью 60 км/ч прошел 60 t км, и до пункта В ему осталось пройти 60 ∙ 1/12 = 5(км). Таким образом, расстояние от пункта А до пункта В равно (60 t + 5) км.
Составим уравнение:
30 + 40 t = 60 t + 5, откуда t = 5/4. 5
Тогда расстояние от пункта А до пункта В равно 30 + 40 ∙ ─ = 80(км).
4
Ответ:80.
Самостоятельная работа.
Пример 1.Скорость велосипедиста от поселка до станции была на 1 км/ч больше , чем на обратном пути. На обратный путь он затратил на 2 мин больше. Расстояние между пунктами 7 км. Найдите первоначальную скорость велосипедиста.
Пусть Хкм/ч – скорость велосипедиста от поселка до станции. Какое из уравнений соответствует условию задачи?
7 7 1 7 7
А. ─── - ─── = ─── В. ─── + ─── = 2
Х+1 Х 30 Х – 1 Х
7 7 1 7 7
Б. ─── - ─── = ─── Г. ─── - ─── = 1
Х - 1 Х 30 Х-1/30 Х
Пример 2.Катер прошел 20 км по течению реки и такой же путь обратно, затратив на весь путь 1 ч 45 мин. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите собственную скорость катера.
Пусть Хкм/ч – собственная скорость катера. Какое из уравнений соответствует условию задачи?
20 20 20 7
А. ─── = 1,45 В. ─── + ─── = ─
Х+2 Х – 2 Х + 2 4
20 20 20 7 7
Б. ─── - ─── = 1,45 Г. ─── + ─── = ─
Х - 2 Х +2 2 - Х 2 +Х 4
Домашнее задание.
Пример 1.Из Москвы в Киев вышел поезд со скоростью 80 км/ч. Спустя 24 мин из Киева в Москву отправился поезд со скоростью 70 км/ч. Через сколько часов после выхода из Москвы произойдет встреча, если расстояние между городами равна 872 км?
Ответ: 6.
Пример 2.Из пункта А вниз по течению реки движется лодка с собственной скоростью 17 км/ч. Ей навстречу из пункта В движется катер с собственной скоростью 26 км/ч. Лодка до встречи шла 2ч, катер – 1,5ч. Какое расстояние проплывет за 3 ч плот, если расстояние между пунктами А и В равно 74 км?
Ответ: 6.
Уроки 31 – 32.
Тема.Задачи на движение по окружности.
Цели:формировать умение решать задачи на движение по окружности; развивать умение анализировать; использовать полученные навыки для решения более сложных уравнений.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
1)Катер прошел 3 км по течению реки на 30 мин быстрее, чем 8 км против течения реки. Собственная скорость катера 15 км/ч. Пусть Х км/ч - скорость течения реки. Какое из уравнений соответствует условию задачи?
3 8 1 8 3
А. ─── - ─── = ─── В. ─── - ─── = 0,5
15 - Х 15 +Х 2 Х – 15 Х +15
8 3 1 8 3
Б. ─── - ─── = ─── Г. ─── + ─── = 30
15 - Х 15+Х 2 15 – Х 15 + Х
I I I. Объяснение нового материала.
Трудности могут возникнуть при составлении систем уравнений в тех случаях, когда происходит движение по замкнутой траектории, например, по окружности. Часто при решении таких задач картина движения представляется с трудом, и надо приложить некоторые усилия, чтобы видеть те условия, из которых вытекают те или иные уравнения.
Рассмотрим конкретный пример.
Пример 1.По окружности длиной 60 м равномерно и в одном направлении движутся две точки. Одна из них делает полный оборот на 5 с скорее другой. При этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 мин. Определить скорость точек.
Решение.Пусть первая точка проходит полный оборот за Х с, а вторая – за У с. Тогда
60 3600
V 1 = ── м/с = ─── м/мин,
Х Х
60 3600
V 2 = ── м/с = ─── м/мин.
У У
Будем полагать, что Х< У, тогда из условия задачи следует уравнение
У – Х = 5.
Так как точки встречаются каждую минуту и первая движется быстрее, то она должна за 1 мин пройти полный круг 60 м и еще столько, сколько успеет пройти за 1 мин вторая точка, т.е. 3600/У.
Отсюда имеем второе уравнение:
3600 3600
─── = ─── + 60.
Х У
Составим систему и решим ее:
У – Х = 5.
3600 3600
─── = ─── + 60.
Х У
Получим: Х = 15, У = 20.
Тогда 60 60
V 1 = ── = 4 м/с; V 2 = ── = 3 м/с.
15 20
Ответ:4 м/с; 3 м/с.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 2.Два тела, движущиеся в разные стороны по окружности длиной 500 м с постоянными скоростями, встречаются каждые 125 с. При движении в одну сторону первое догоняет второе каждые 12,5с. Найдите скорости каждого тела.
Решение.При движении в одном направлении время, через которое одно тело догонит второе, можно найти по формуле:
s
─── . Пусть скорости тел равны Х м/с и У м/с, тогда получим
v2 - v1
500
первое уравнение: ─── = 125.
У – Х
При движении навстречу друг другу время, через которое тела встретятся, можно найти по формуле:
S 500
─── . Получим второе уравнение: ─── = 12,5.
v2 - v1 У + Х
Из этих двух уравнений составим и решаем систему, решением которой является пара Х = 18 (м/с) и У = 22 (м/с).
Ответ:18 м/с, 22 м/с.
Контрольная работа.
Вариант 1.
1) Две снегоуборочные машины, работая вместе, могут очистить определенную территорию от снега за 4 ч. Если бы сначала первая машина выполнила половину работы, а затем ее сменила вторая, то на всю уборку снега ушло бы 9 ч. За какое время может очистить от снега эту территорию каждая машина в отдельности?
Ответ. 6 ч, 12 ч.
2) Два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20 км. Если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5 часа после своего выхода. Если второй выйдет на 1 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 ч 40 мин после своего выхода. Какова скорость каждого пешехода?
Ответ: 4 км/ч, 5 км/ч.
Вариант 2.
1) На двух принтерах при их одновременном включении можно распечатать рукопись книги за 12 мин. Если бы сначала половину рукописи распечатали на первом принтере, а затем на втором закончили распечатку, то на всю работу ушло бы 25 мин. За сколько минут можно распечатать эту рукопись на каждом принтере в отдельности?
Ответ: 20 мин, 30 мин.
2) Из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км, должны выехать навстречу друг другу два велосипедиста. Если первый велосипедист отправится в путь на 1 ч раньше второго, то он встретит его через 1 ч 48 мин после своего выезда. Если второй отправится в путь на 1 ч раньше первого, то он встретит первого через 1 ч 36 мин после своего выхода. Найдите скорость каждого велосипедиста.
Ответ: 12 км/ч, 18 км/ч.
Уроки 33 – 34.
Тема.Контрольное тестирование по элективным курсам: “Текстовые задачи”.
Цель:осуществить контроль усвоения полученных знаний.
Ход урока.
Вариант 1.
1. Цену товара повысили на 100%, а затем снизили на 50%. Как изменится цена товара?
А. Не изменится В. Возрастет вполовину
Б. Возрастет в 2 раза Г. Снизится на 25%
2. Вкладчик положил в сбербанк 10000 р из расчета 1% годовых. Каким будет его вклад через 1 год?
А. 10001 В. 10010
Б. 10100 Г. 11000
3. Две машины, работая одновременно, могут выполнить некоторую работу за 5 дней. Первая машина может справиться с этой работой на 24 дня быстрее второй. Какой объем работы выполнит первая машина?
Пусть Х дней – время работы первой машины. Какое из уравнений соответствует условию задачи?
1 1 1 1 1
А. ─── + ─── = ── В. ─── - ─── = 0,2
Х Х + 24 5 Х Х +24
1 1 1 1 1
Б. ── + ─── = ── Г. ── - ─── = 0,2
Х Х - 24 5 Х Х - 24
4. Сберегательный банк в конце года начисляет 2% к сумме, находившейся на счету. На сколько рублей увеличится первоначальный вклад в 5000 р через 3 года?
А. 305 р В. 306,04 р
Б. 250 р Г. 500р
5. Сплавили два слитка, содержание цинка в которых было 64% и 84% соответственно. Получился сплав, содержащий 76% цинка. Его вес 50 г. Сколько весил каждый из сплавленных слитков?
А. 20 г, 30 г В. 30г, 50г
Б. 50г, 60г Г. 20г,40г.
6. Какое количество воды надо добавить в 1 литр 9%-ного раствора уксуса, чтобы получить 3%-ный раствор?
А. 5 л В. 3 л
Б. 2 л Г. 1 л.
7. Юноша подарил девушке в первый день знакомства 3 цветка, а в каждый последующий день дарил на 2 цветка больше, чем в предыдущий день. Сколько денег он потратил на цветы за две недели, если 1 цветок стоит 10 рублей?
А. 2500 р В. 2240 р
Б. 3000 р Г. 1750 р
8. Катер прошел 15 км по течению реки и 4 км по озеру, затратив на весь путь 1 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
А. 12 км/ч В. 20 км/ч
Б. 15 км/ч Г. 16 км/ч.
Вариант 2.
1. Цену товара повысили на 50%, а затем снизили на 50%. Как изменится цена товара?
А. Не изменится В. Возрастет на треть
Б. Снизится на четверть Г. Снизится на треть
2. Сбербанк в конце года начисляет 4% годовых к сумме, находящейся на счету в начале года. Каким станет первоначальный вклад в 2500 р через 1 год?
А. 2504 В. 2550
Б. 2580 Г. 2600
3. Две машины, работая одновременно, могут выполнить некоторую работу за 8 мин. Вторая машина может справиться с этой работой на 30 мин быстрее первой. Найдите время работы второй машины.
Пусть Х мин – время работы второй машины. Какое из уравнений соответствует условию задачи?
1 1 1 1 1 1
А. ─── + ─── = ── В. ─── - ─── = ─
Х Х - 30 8 Х Х +30 8
1 1 1 1 1 1
Б. ── + ─── = ── Г. ── - ─── = ─
Х Х + 30 8 Х Х – 30 8
4. Сбербанк в конце года начисляет 5% к сумме, находившейся на счету. На сколько процентов увеличится первоначальный вклад в 2000 р через 2 года?
А. 10, 25% В. 20%
Б. 11% Г. 12%
5. Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди 30% и 55% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив, получить сплав, содержащий 40% меди?
А. 5: 2 В. 3:4
Б. 3: 2 Г. 2: 7.
6. Какое количество воды надо добавить к 2 л 18%-ного соли, чтобы получить 16%-ный раствор?
А. 3 л В. 0,5 л
Б. 1 л Г. 0,25 л.
7. Расстояние между движущимися навстречу автомобилями было равно 22 км 200 м. Через сколько минут они встретятся, если первый автомобиль за каждую минуту проходит 1 км, а второй в первую минуту прошел 300 км, а в каждую последующую минуту – на 100 м больше, чем за предыдущую?
А. 15 мин В. 12 мин
Б. 30 мин Г. 60 мин.
8. Моторная лодка прошла 10 км по озеру и 4 км против течения реки, затратив на весь путь 1 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
А. 18 км/ч В. 15 км/ч
Б. 11 км/ч Г. 20 км/ч.
Ответы:
1
2
3
4
5
6
7
8
Вар 1
А
В
А
В
А
Б
В
Г
Вар2
Б
Г
Б
А
Б
Г
В
В
Пояснительная записка
Элективный курс “Текстовые задачи”, предназначенный для профильной подготовки учащихся 10 -11 классов общеобразовательной школы, является предметно – ориентированным и предназначен для расширения теоретических и практических знаний учащихся. Он расширяет и углубляет базовую программу по математике, не нарушая ее целостности. Программа элективного курса применима для различных групп школьников, независимо от выбора их будущей професии. В основной школе текстовые задачи учащиеся решают, но умением решать задачи экономическо- практического содержания не владеют.
Решения текстовых задач – это деятельность, сложная для учащихся. Сложность ее определяется, прежде всего, комплексным характером работы: нужно ввести переменную и суметь перевести условие на математический язык; соотнести полученный результат с условием задачи и, если нужно, найти значения еще каких – то величин. Каждый из этих этапов – самостоятельная и часто трудно достижимая для учащихся задача.
Предлагаемый курс имеет прикладное и общеобразовательное значение: он способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, творческих способностей, интереса к предмету, данной теме и, что особенно важно, формированию умения решать практические задачи в различных сферах деятельности человека. А решение таких задач способствует приобретению опыта работы с заданием более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, формированию математической культуры учащихся. Текстовые задачи приучают учащихся пользоваться справочным материалом, заставляют глубже изучать теоретический материал, превращают знания в необходимый элемент практической деятельности, а это важный компонент мотивации учения. Выполняя такие задания, учащиеся оказываются в одной из жизненных ситуаций и учатся отвечать на возникающие вопросы с помощью знаний, полученных на уроках математики.
Программа данного элективного курса ориентирована на приобретение определенного опыта решения текстовых задач. Изучение данного курса тесно связано с такими дисциплинами, как алгебра, алгебра и начала анализа, геометрия. Данный курс представляется особенно актуальным и современным, так как расширяет и систематизирует знания учащихся, готовит их к более осмысленному пониманию теоретических сведений.
Цель курса: формирование у учащихся умения решать практические задачи в различных сферах деятельности человека; развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщенных умственных умений.
Задачи курса:
-показать широту применения известного учащимся математического аппарата – процентные вычисления, связь математики с различными направлениями реальной жизни;
-выделять логические приемы мышления и способствовать их осмыслению, развитию образного и ассоциативного мышления;
-развивать у школьников интерес к предмету, к практическому применению знаний и умений;
-приобщить учащихся работать с математической литературой.
Требования к уровню освоения дисциплины.
Курс предназначен для учащихся 10 -11 классов, рассчитан на 34 часа.
Курс призван помочь ученику в овладении навыком решения текстовых задач с помощью уравнений и систем уравнений, расширить спектр решаемых задач, повысить уровень его общей математической культуры.
В результате изучения курса учащиеся должны уметь:
- анализировать условие текстовой задачи, выявлять главное в тексте;
- обосновывать выбор переменной при составлении уравнения;
- свободно оперировать аппаратом алгебры при решении текстовых задач.
Учебно - тематическое планирование
п/п
Тема
Количество часов
В том числе на:
Примерное количество часов на самостоятельные работы учащихся
уроки
практические работы
Контрольные работы
1
Введение
2
2
Тема 1. Задачи на деления на части, отношения.
2
Деление на части
2
1
1
3
Отношения “больше”, “меньше”
2
1
1
4
Соотношения между натуральными числами
2
1
1
Тема 2. Задачи на проценты.
5
Проценты и уравнения
2
1
1
6
Торгово – денежные отношения
2
1
1
7
“Вкладывайте деньги...”
2
1
1
8
Правило начисления “сложных процентов”
2
1
1
Тема 3. Задачи на смеси и сплавы.
9
Задачи на смеси (сплавы)
2
1
1
10
Задачи на разбавление
2
1
1
Тема 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия.
11
Задачи, где неизвестные являются членами прогрессии
2
1
1
Тема 5. Геометрические и физические задачи.
12
Геометрические задачи
2
1
1
13
Физические задачи
2
1
1
Тема 6. Задачи на работу.
14
Задачи на конкретную и абстрактную работу
2
1
1
Тема 7. Задачи на движение.
15
Задачи на движение: путь, скорость, время
2
1
1
16
Задачи на движение по окружности
2
1
1
Тема 8. Решение различных типов текстовых задач.
17
Решение различных видов текстовых задач.
Контрольное тестирование.
2
1
1
Содержание тем учебного курса.
Введение (2 часа).Понятие текстовых задач. Виды текстовых задач.
Информация учителя о содержании курса. Решение типовых задач.
Алгоритм решения задач методом составления уравнения.
Тема 1( 6 часов)Задачи на деление на части, отношения.
Задачи на деление на части. Задачи на отношения “меньше” и “больше”. Задачи на соотношения между натуральными числами. Решение задач на числах с постепенным обобщением решения.
Тема 2 (8 часов). Задачи на проценты.
Проценты и уравнения. Понятие процента, основные соотношения на процентные расчеты. Решение типовых задач на проценты. Торгово – денежные отношения. “Вкладывайте деньги...” Экскурсии в сберкассы, банки, на предприятия различных отраслей и форм собственности. Деловая игра по решению проблемы вложения денег в различные банки, на различные счета. Правило начисления “сложных процентов”. Формула начисления “сложных процентов”, формула простого процентного роста. Решение задач на применение этих формул.
Тема 3 (4 часа). Задачи на смеси, сплавы.
Понятие объемной (массовой) концентрации, процентной концентрации. Решение задач, связанных с понятиями “концентрация”, “процентное содержание”. Задачи на смеси (сплавы). Задачи на разбавления.
Тема 4 (2 часа). Арифметическая и геометрическая прогрессия.
Решение задач, где неизвестные являются членами арифметической и геометрической прогрессии.
Тема 5 ( 4 часа). Геометрические и физические задачи.
Решение задач геометрического содержания. Решение физических задач.
Тема 6 ( 2 часа). Задачи на работу.
Задачи на конкретную и абстрактную работу. Решение задач на совместную работу.
Тема 7 (4 часа). Задачи на движение.
Задачи на движение: путь, скорость, время. Движение: план и реальность. Совместное движение. Задачи на закон сложения скоростей. Решение задач на движение по окружности.
Тема 8 (2 часа). Решение различных типов текстовых задач.
Проверка знаний, умений и навыков учащихся. Контрольное тестирование.
Практические занятия.
Содержание курса предполагает работу с различными источниками математической литературы. Желательно использовать такие организационные формы, как выступления с докладами ( в частности, с отчетными докладами по результатам выполнения индивидуального домашнего задания или содокладами, дополняющими лекционные выступления учителя). Возможны и разные формы индивидуальной или групповой деятельности учащихся, такие как “Математика везде и всюду!” или “Эврика!”. Можно собрать материал для подготовки и защиты проекта “Вкладывайте деньги...” по одной из проблем:
-вложение в банк (на какой банк и на какой счет);
-вложение в бизнес ( бытовое обслуживание, торговля, общепит, сетевой маркетинг);
-вложение в развитие производства (строительство, промышленность, сельское хозяйство, научно – техническая сфера, искусство).
Можно дать учащимся домашние задания следующего типа: используя собранный материал, различные источники информации, составлять текстовые задачи и решать их.
Возможно организовать экскурсии, например, в сберкассы, банки, на предприятия различных отраслей и форм собственности.
Контроль уровня обученности.
Контроль уровня знаний, умений и навыков является важнейшим этапом данного элективного курса, так как текстовые задачи входят в задания ЕГЭ и в задания выпускных экзаменов основной и средней общеобразовательной школы.
Содержание каждой темы элективного курса включает в себя самостоятельную работу учащихся. После каждой темы проводится контроль знаний учащихся в виде теста, контрольной работы, самостоятельной работы или зачета. Итоговый контроль осуществляется на последних уроках в форме контрольного тестирования по всему курсу.
2. Балаян Э.Н. Как сдать ЕГЭпо математике на 100 баллов / Э.Н.Балаян. – Ростов –на – Дону: Феникс, 2003
3. Будлянская Н.Л. Решение текстовых задач: пособие для учащихся / Н.Л.Будлянская, Г.Н.Сумина – Комсомольск – на- Амуре, 2004.
4. Денищева Л.О. Учебно – тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену: математика / Л.О.Денищева, Ю.А.Глазков, К.А.Краснянская – М., Интеллект – Центр, 2005.
8. Кочагина М.Н. ГИА – 2009, Математика, сборник заданий / М.Н.Кочагина, В.В.Кочагин, - М., Эксмо, 2009.
9. Кузнецова Л.В. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс / Л.В.Кузнецова, Е.А.Бунимович, Б.П.Пигарев, С.Б.С уворова – М., Дрофа, 2002.
11. Лурье М.В. Задачи на составление уравнений / М.В.Лурье, Б.И.Александров – М., Наука,1990.
12. Ляпин М.П Сборник задач по элементарной математике / М.П.Ляпин, Издательство Казанского университета, 1975.
13. Орехов Ф.А. Решение задач методом составления уравнений / Ф.А.Орехов – М., Просвещение, 1971.
14. Сканави М.И. Сборник задач по математике с решениями. 8-11 классы. / М.И.Сканави, В.К.Егерев, В.В.Зайцев, Б.А.Кордемский, Т.Н.Маслова- М., Оникс 21 век, 2004.
15. Соломоник В.С. Сборник вопросов и задач по математике. / В.С.Соломоник, П.Н.Милов,М., “Высшая школа”,1967.
Уроки 1-2.
Тема:Введение. Решение текстовых задач.
Цели:познакомить с понятием “текстовые задачи”, с видами текстовых задач; формировать осознанный подход к решению текстовых задач; развивать логическое мышление, сообразительность и наблюдательность учащихся.
Ход урока.
I. Объяснение нового материала.
Начиная с 2003 года, в экзаменационные материалы ЕГЭ включаются текстовые задачи. А с 2009 года на текстовые задачи будет выделяться больше внимания, так как эти задачи связаны с различными сферами человеческой деятельности.
Мы называем «текстовыми» задачи, традиционно называющиеся задачами на составление уравнений. Главным, что объединяет задачи такого типа, является лишь то, что условие задано в форме некоторого текста, без формул, даже без буквенных обозначений неизвестных.
Решение текстовых задач обычно осуществляется в несколько этапов:
1) введение неизвестной величины;
2)составление уравнения (или нескольких уравнений) и (при необходимости) неравенств;
3) решение полученных уравнений (неравенств);
4) отбор решений по смыслу задачи – то есть проверка ответа.
Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако, прежде всего, необходимо научиться различать основные типы задач и решать простейшие из них.
Мы будем рассматривать следующие типы текстовых задач:
- задачи на проценты;
- задачи на смеси (сплавы);
- задачи на разбавления;
- задачи на части;
- задачи на отношения;
- задачи на работу;
- задачи на движение;
-задачи, где неизвестные являются членами арифметической и геометрической прогрессии;
- геометрические задачи;
- физические задачи и т.п.
Мы на сегодняшнем уроке будем рассматривать решения простейших текстовых задач.
I I. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.Задача на проценты.
Цистерна вмещает 40т бензина. После заливки в нее некоторого количества бензина осталось незаполненным 6,5% вместимости цистерны. Сколько тонн бензина залили в цистерну?
Решение. Цистерну залили на 100% - 6,5% = 93,5%.
93,5%
Следовательно, в цистерну залили 40 ∙ ──── = 37,4 т бензина.
100%
Ответ: 37,4.
Пример 2.Задача на движение.
На путь между двумя деревнями пешеход затратил на 4 ч 30 мин больше, чем мотоциклист. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, скорость пешехода составляет 1/10 скорости мотоциклиста. Найдите расстояние между деревнями.
1
Решение.Найдем скорость пешехода: ── ∙ 40 = 4 км/ч.
10
Пусть мотоциклист может проехать расстояние между деревнями за Хч, тогда пешеход может пройти это расстояние за (Х + 4,5) ч. Таким образом, пешеход пройдет 4(Х+4,5) км, мотоциклист проедет 40Х км.
Так как по условию задачи эти величины равны, получим уравнение:
4(Х+4,5) = 40Х,
откуда находим Х = 0,5.
Следовательно, расстояние между деревнями равно 0,5 ∙ 40 = 20 (км)
Ответ:20.
Пример 3.Соотношения между натуральными числами.
Сумма цифр между натуральными числами равна 12. Если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти исходное число.
Решение.Пусть искомое число имеет вид 10х + у. Тогда по условию
х + у = 12. (1)
Получим:
10х + у + 36 = 10у + х, т.е.
х – у = -4. (2)
Складывая (1) и(2), получим 2х = 8. Откуда х = 4, а у = 8.
Ответ:48.
Домашнее задание.
1. Весной яблоки продавались по 35 руб. за килограмм, а к осени их цена была снижена сначала на 20%, а затем еще на 15%. Какой стала цена яблок после второго снижения?
Ответ: 23, 80.
2. Расстояние между деревней и поселком мотоциклист проезжает на 0,4 ч быстрее велосипедиста. Скорость мотоциклиста 18км/ч, а скорость велосипедиста составляет 8/9 скорости мотоциклиста. Найдите расстояние между деревней и поселком.
Ответ: 57,6.
Уроки3-4.
Тема. Деление на части.
Цели.Формироватьумение решатьзадачи на деление на части; развивать логическое мышление; активизировать познавательную и творческую деятельность.
Ход урока.
I .Проверка домашнего задания.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
Найдите значения х и у такие, чтобы каждое из двух равенств было верным.:
х 3 у 6,4
1) ── = ── и ── = ──
у 8 25 5
2 1
2)х : 1─ = у : 3 ─ и у : 1,5 = 0,2 : 0,75
3 3
I I I. Объяснение нового материала.
Определение. Пропорцией называется равенство двух отношений. Пропорции записывают следующим способом:
а с
─ = ─
в д
Определение.Две величины называются пропорциональными, если при изменении одной из них в несколько раз другая изменяется в такое же количество раз.
Определение.Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается в такое же количество раз.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.Числители трех дробей пропорциональны числам 1,2,5, а знаменатели соответственно числам 1,3,7. Среднее арифметическое
200
этих дробей равно ── . Найти эти числа.
441
Решение.Числители дробей: х, 2х, 5х.
Знаменатели дробей: у, 3у, 7у.
х 2х 5х
Дроби: ─ , ─ , ─ .
у 3у 7у
Из условия задачи следует:
х 2х 5х 200
﴾ ─ + ─ + ─ ﴿ : 3 = ──
у 3у 7у 441
50х 200
── = ───
63у 441
х 4
─ = ─ - первая дробь
у 7
2х 8
── = ── - вторая дробь;
3у 21
5х 20
─ = ── - третья дробь.
7у 49
4 8 20
Ответ: ─ , ── , ── .
7 21 49
Пример 2.Площади трех участков земли находятся в отношении
11 11 11
─ , ─ , ─ . Известно, что с первого участка собрано зерна на
4 6 8
72 ц больше, чем со второго. Найти площадь всех трех участков, если средняя урожайность составляет 18 ц с 1га.
Х 6 у 4
Решение.Пусть х, у, z – плoщади участков.Тогда ─ =─ , ─ = ─ у 4 z 3
Откуда х = 6к, у = 4к, z = 3к. По условию,
(6к - 4к) ∙ 18 = 72,
к = 2.
Значит, площадь всех участков составляет
х + у + z = 2(6 + 4 + 3) = 26 (га).
Ответ:26.
Пример 3.Для полировки медных изделий пользуются следующим составом: 10 частей воды, 5 частей нашатырного спирта, 2 части мела (по массе). Сколько граммов каждого вещества надо взять для приготовления 680 г состава?
Значит, надо взять воду – 400 г, нашатырный спирт – 200 г, мел – 80г.
Ответ:400,200,80.
Задания для самостоятельной работы.
Пример 1. Латунь представляет собой сплав меди и цинка, массы которых пропорциональны соответственно числам 7 и 3. Сколько меди и сколько цинка в 500 г латуни?
Ответ: 350 г,150 г.
Пример 2.Для получения крахмала берут рис и ячмень: 4 части ячменя и 1 часть риса (по массе). Сколько килограммов ячменя и сколько килограммов риса надо взять, чтобы получить 45 кг крахмала?
Ответ: 36 кг, 9 кг.
Домашнее задание.
Пример 1.Сплав железа с углеродом – сталь. Массы железа и углерода в сплаве пропорциональны числам 49 и 1. Сколько железа и сколько углерода в 1т стали?
Ответ:980 кг, 20 кг.
Пример 2.Проехав 120 км, что составляло половину всего пути, пассажир лег спать и спал до тех пор, пока не осталось ехать половину того пути, который он проехал спящим. Сколько километров пути пассажир проехал спящим?
Ответ: 80 км.
Урок 5-6.
Тема.Отношения «больше», «меньше».
Цели:формировать умение решать текстовые задачи на отношения «больше», «меньше»; формировать умение сравнивать и анализировать.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
Какие из приведенных формул являются прямой пропорциональностью, обратной пропорциональностью или не являются ни тем, ни другим:
Р = 5,2b a = 8q + 1
К = п/2 c = 4: d
а = 8/b S = vt
М = m : S ab = 18
G =1 /4k S = a2
I I I. Объяснение нового материала.
Среди текстовых задач нередко встречаются задачи “ на сравнение”, то есть какие – либо величины сравниваются. Рассмотрим конкретный пример.
Пример. Один фермер получил средний урожай гречихи 21ц с 1га, а другой, у которого под гречихой было на 12га меньше, добился среднего урожая 25ц с 1га. В результате второй фермер собрал на 300ц гречихи больше, чем первый. Сколько центнеров гречихи было собрано каждым фермером?
Решение.Составим следующую таблицу.
Фермер
Площадь (га)
Урожайность (ц/га)
Масса (ц)
Первый
Х
21
21х
второй
Х - 12
25
25(х – 12)
По условию, 25(х – 12) – 21х = 300, откуда х = 150.
Тогда 21х = 3150(ц), а 25(х – 12) = 3450(ц).
Ответ:3150, 3450.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример.Два парка общей площадью 110 га разбиты на равные количества участков. Участки каждого парка по площади равны между собой, но отличаются от участков другого. Если бы первый парк был разбит на участки такой же площади, как второй, то он имел бы 75 участков, а если бы второй был разбит на такие же участки, то он содержал бы 108 участков. Определить площадь каждого парка.
Решение.Пусть S - площадь парка, n - число равновеликих участков, Q - площадь участка. Тогда S/n = Q. Данными и искомыми значениями заполним таблицу.
Парк
первоначально
При новом разбиении
S
n
Q
S
n
Q
первый
х
108х
───
110-х
110-х
───
108
х
75
х
──
75
второй
110-х
75(110-х)
─────
х
х
─
75
110-х
108
110-х
───
108
По условию, 108х 75(110-х)
─── = ────── ,
110-х х
откуда х = 50.
Ответ: 50 и 60 га.
Задание для самостоятельной работы.
Пример 1.Длины сторон двух квадратов пропорциональны числам 5 и 4. Если стороны каждого из квадратов уменьшить на 2см, то разность площадей полученных квадратов будет равна 28 см2 . найдите сторону большего квадрата.
Решение.Пусть сторона первого квадрата будет рвана 5х см, тогда сторона второго квадрата равна 4х см. После уменьшения стороны квадратов стали равными (5х – 2)см и (4х – 2)см соответственно, а их площади (5х – 2)2 и (4х -2)2 см2 . По условию задачи
(5х – 2)2 - (4х -2)2 =28.
Решая уравнение, получим
14
х = 2 или х = - ── .
9
Так как по смыслу задачи значения х положительные, то х = 2. Тогда сторона большего квадрата равна 5 ∙ 2 = 10(см).
Ответ:10.
Домашнее задание.
Пример 1.Найдите двузначное число, если число его десятков на 3 меньше числа единиц, а сумма квадратов цифр этого числа равна 89.
Ответ: 58.
Пример 2.Отношение сторон прямоугольника равно 3: 2. Если каждую из них увеличить на 1см, то площадь прямоугольника увеличится на 3см. Найдите периметр первого прямоугольника.
Ответ: 4.
Уроки 7-8.
Тема.Соотношения между натуральными числами.
Цель.Формировать умение решать задачи на соотношения между натуральными числами; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации; осуществить контроль усвоения полученных знаний.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
1) Найти делитель, если делимое равно 6045, частное 15, и остаток -15.
2) Пятую часть числа 20280 увеличить на 4 и полученный результат уменьшить в 4 раза.
3) Как изменится отношение, если: предыдущий член его увеличить в 3 раза, а последующий – в 2 раза; предыдущий член увеличить в 3 раза, а последующий уменьшить в 2 раза?
4) Определить отношение веса сухого вещества к весу воды, если сухое вещество растворено в 12 л воды, а весь раствор весит 15 кг.
I I I. Объяснение нового материала.
При решении задач на соотношения между натуральными числами используют следующие утверждения:
1) если к натуральному числу х приписать справа n - значное число у, то получится число 10nх + у;
2) если а и в - натуральные числа, причем а >в и а не кратно в, то существует и при том единственная пара натуральных чиселg и r таких, что а =в g + r, где r < g.
Пример.Запись шестизначного числа начинается цифрой 2. Если эту цифру перенести с первого места на последнее, сохранив порядок остальных пяти цифр, то вновь полученное число будет втрое больше первоначального. Найти первоначальное число.
Решение.Первоначальное шестизначное число имеет вид 2∙ 105 + х. После перенесения цифры 2 на последнее место получим число
10х + 2. Согласно условию,
10х + 2 = 3(2∙ 105 + х), откуда х = 85714.
Итак, первоначальное число 285714.
Ответ:285714.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.Задумано целое положительное число. К его записи присоединили справа цифру 7 и из полученного нового числа вычли квадрат задуманного числа. Остаток уменьшили на 75% этого остатка и еще вычли задуманное число. В окончательном результате получили 0. Какое число задумано?
Решение.Пусть задумано число х. Далее, следуя условию, получим числа 10х + 7, 10х + 7 – х2 и остаток
25
─── (10Х + 7 – х2 ).
100 1
Тогда ─ (10Х + 7 – х2 ) – х = 0, или х2 - 6х – 7 = 0.
4
Решая данное уравнение, получим х = 7 и х = - 1.
Годится лишь значение х = 7.
Ответ:7.
Контрольная работа.
Вариант 1.
1) Трехзначное число оканчивается цифрой 2. Если ее перенести в начало записи числа, то полученное число будет на 18 больше первоначального. Найти исходное число.
Ответ: 202.
2) Найдите полусумму трех чисел, если первое относится к второму как 4,5: 3,75, и составляет 40% третьего, а сумма второго и третьего равна 400.
Ответ: 260.
Вариант 2.
1) При умножении двух чисел, из которых одно на 10 больше другого, ученик допустил ошибку, уменьшив цифру десятков произведения на 4. При делении полученного произведения на меньший множитель для проверки ответа он получил в частном 39, а в остатке 22. Найти множители.
Ответ 31, 41.
2) Числители четырех дробей пропорциональны числам 1, 2, 1, 6, а знаменатели соответственно пропорциональны числам 1, 5, 3, 7. Найдите наибольшее из этих чисел, если их среднее арифметическое равно 17/35.
Ответ: 0, 75.
Уроки 9-10.
Тема.Проценты и уравнения.
Цели:формировать умение решать задачи на проценты; развивать логическое мышление; активизировать познавательную и творческую деятельность.
Ход урока.
I.Подведение итогов контрольной работы.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
Выразите в процентах следующие числа:1/2; 1/25; 1/5; 0,8; 2; 6,4; 0,175; 0,001; 3/7; 13/11.
1
Какую часть числа составляют: 75%, 50%, 25%, 12,5%, 10%, 5%, 33─%,
2 2 3
66 ─ %, 16 ─ %?
3 3
I I I. Объяснение нового материала.
Определение.Процентом числа а называется сотая его часть.
2% = 0,02; 20% = 0,2.
Слово “процент” происходит от латинского “ центи...” (по – французски “санти”), указывающего на уменьшение единицы измерения в сто раз. Например, сантиметр – сотая доля метра.
Существуют 3 основных вида задач “на проценты”:
1.Нахождение процентов от числа.
п
Решение: а = ── ∙ в
100
2. Обратная задача:нахождение числа по его процентам..
п
Решение: в = а : ── .
100
3. Нахождение процентного отношения чисел..
а
Решение: п = ── ∙ 100.
в
Прежде чем приступать к решению задачи на проценты, следует отвечать на вопросы:
·Какая величина принята за 100%;
·Известна ли эта величина?
·Как найти величину, которая приходится на 1%;
·Что требуется найти – процент от числа или число по его процентам?
Любую задачу на проценты можно решить отдельными действиями путем приведения к единице.
Пример. Сбербанк выплачивал 3% с суммы вклада по истечении года. Сколько было начислено процентных денег на 4000 р вклада?
Решение.4000 : 100 = 40( р ) – составляет 1% вклада.
40 ∙ 3 = 120 (р) – начислено процентных денег.
Эту же задачу можно решить составлением пропорций.
4000 р – 100% 4000 ∙ 3
Х р - 3% Х = ──── = 120 (р)
100
Ответ:120 р.
Пример.С двух участков ежегодно собиралось 500 т пшеницы. После проведения агротехнических мероприятий урожай на первом участке увеличился на 30%, а на втором – на 20%. Поэтому с двух участков собрали 630 т пшеницы. Сколько пшеницы собирали с первого участка первоначально?
Решение.Пусть с первого участка собирали Х т пшеницы, тогда со второго - (500 – Х )т. После проведения агротехнических мероприятий с первого участка стали собирать 1,3Х т пшеницы, а со второго – 1,2(500 – Х) т. С двух участков стали собирать
(1,3Х +1,2(500 – Х)) т, что по условию задачи составляет 630т. Составим и решим уравнение:
1,3Х +1,2(500 – Х) = 630.
Получим: Х = 300.
Таким образом, с первого участка до агротехнических мероприятий собирали 300 т пшеницы.
Ответ: 300.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.Из молока, жирность которого составляет 5%, изготовляют творог жирностью 15,5% , при этом остается сыворотка жирностью 0,5%. Сколько творога получается из 1т молока?
Решение.Пустьполучено Х тонн творога жирностью15,5%, тогда останется 1 – Х тонн сыворотки жирностью 0,5%. Следовательно, в 1т молока содержится
15,5Х 0,5(1 – Х) 15Х + 0,5
──── + ────── = ─────── т жира.
100 100 100
15Х + 0,5 5
По условию, ────── = ─── , откуда Х= 0,3 (т).
100 100
Ответ:300 кг.
Самостоятельная работа.
Пример 1.Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный 15%. Сколько получится сушеных грибов из 17 кг свежих? Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 3,4 кг сушеных?
Решение.100% - 90% = 10% - приходится на сухое вещество в свежих грибах.
17 : 10 =1,7 (кг) – масса сухого вещества в 17 кг свежих грибов и в сушеных грибах.
1,7 : 85 =0,02 (кг) – приходится на 1% массы сушеных грибов.
0,02 ∙ 100 = 2 (кг) –масса сушеных грибов.
Ответ: 2кг.
Пример2.При выполнении контрольной работы по математике 12% учеников не выполнили ни одного задания, 32% допустили ошибки, а остальные 14 человек решили задания верно. Сколько всего учеников в классе?
Решение.Сначала узнаем, сколько процентов учеников выполнило задание верно. 100% - (12% + 32%) = 56%.
14 учеников - 56%
х учеников - 12% 14 ∙ 12
Составляем пропорцию: х = ───── = 3
56
Значит, 3 ученика не выполнили ни одного задания.
14 учеников - 56%
х учеников - 32% 14 ∙ 32
Составляем пропорцию: х = ───── = 8.
56
8 учеников допустили ошибки. Значит, всего в классе 14 + 2 + 8 = 25 учеников.
Ответ:25.
Домашнее задание
Пример 1.В двух залах кинотеатра было 640 мест для зрителей. После замены кресел число мест в первом зале увеличилось на 20%, во втором – на 15%. Сколько новых кресел установили в первом зале, если общее количество мест в двух залах увеличилось на 180?
Ответ: 320.
Пример 2.В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска готовой продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?
Ответ: 7,1%.
Уроки11 -12.
Тема.Торгово – денежные отношения.
Цели:формировать умение решать задачи на торгово – денежные отношения; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации; активизировать познавательную и творческую деятельность.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
1)Спрос на товар увеличился в 5 раз. На сколько процентов увеличился спрос?
2) Объем товаров увеличился на 200%. Во сколько раз произошло увеличение?
3) Квартплата составляла 2000 руб. Какой стала квартплата после ее увеличения на 120%?
4) число непроданных на сеанс билетов в кинотеатре составляет 15% от числа проданных билетов. Сколько продано билетов на сеанс, если всего в кинотеатре 460 мест?
I I I. Объяснение нового материала.
При решении задач на торгово – денежные отношения, как было рассмотрено на прошлых уроках, сначала надо анализировать условия. Анализируя условия, сначала надо определить какая величина принята за целое (за 100%). Далее следует выяснить, известна ли эта величина. После этого уже нетрудно определить, какая величина приходится на одну долю, и выполнить действия, необходимые для нахождения ответа на вопрос задачи. Рассмотрим конкретную задачу.
Пример.Цену товара сперва снизили на 20%, затем новую цену снизили еще на 15%, и, наконец, после перерасчета произвели снижение еще на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?
Эту задачу проще решить чисто арифметически, не составляя уравнение.
Решение.1. Пусть первоначальная цена товара Х рублей, что соответствует 100%.
2. Тогда после первого снижения цена товара будет Х - 0,2Х = 0,8Х (руб).
3. После второго снижения 0,8Х – 0,25 ∙ 0,8Х=0,68Х (руб).
4. После третьего снижения 0,68Х – 0,68Х ∙ 0,2 = 0,612Х (руб).
5.Всего цена товара снизилась на Х- 0,612Х = 0,388Х (руб).
Составим пропорцию: Х – 100%
0,388Х – У%.
0,388Х ∙ 100%
У% = ───────── = 38,8%
Х
Ответ:38,8%.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.Цена товара была понижена на 20%. На сколько процентов ее нужно повысить, чтобы получить исходную цену?
Решение.Пусть исходная цена товара – Хруб. После понижения цена составила 80%, т.е. 0,8Х руб. Теперь
0,8Х - 100%
Х - ?%. 100Х
Старая цена составит ─── = 125% от новой. То есть повысить
0,8Х
цену нужно на 25% .
Ответ:25%.
Пример 2.Две шкурки общей стоимостью в 2250 руб. были проданы на аукционе с прибылью в 40%. Какова стоимость каждой шкурки, если от первой было получено прибыли 25%, а от второй – 50%.
Решение.Пусть Х (руб) – стоимость первой шкурки, тогда 2250-Х (руб) – стоимость второй шкурки. После продажи за первую шкурку было получено 1,25Х (руб), а за вторую – 1,5(2250 – Х) (руб). Согласно условию, составляем уравнение
Пример 1.Апельсины подешевели на 30%. Сколько апельсинов можно теперь купить на те же деньги, на которые раньше покупали 2,8 кг?
Ответ: 4 кг.
Пример 2.Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стгоимость 2000 руб., а окончательная 1805 руб?
Ответ. На 5%.
Домашнее задание.
Пример 1.Цена на фрукты возросла на 15%, за счет чего на сумму в 230 руб было приобретено фруктов на 3 кг меньше. На сколько рублей возросла цена 1 кг фруктов?
Ответ: на 1,5 руб.
Пример 2.Цена товара была дважды повышена на одно и то же число процентов. На сколько процентов повышалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 6000 руб., а окончательная 6615 руб?
Ответ: на 5%.
Урок 13.
Тема:“Вкладывайте деньги...”
Цели:формировать умение решать экономические задачи, т.е. задачи на банковские отношения; формировать умение анализировать; развивать исследовательскую деятельность учащихся.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I.Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
1) Для увеличения данного числа на 30% достаточно умножить это число на ...
2) Для уменьшения данного числа на 20% достаточно умножить это число на ...
3) Для умеьшения данного числа на 12,5% достаточно умножить его на ...
4) вычислите устно: 25% от 3,6; 50% от 63 руб 50 коп; 75% от 600 руб; 15% от 240; 40% от1060; 10% от 1263; 1% от 0,04.
I I I. Объяснение нового материала.
Часто приходится решать экономические задачи, в частности задачи на банковские отношения. Рассмотрим конкретный пример.
Пример.Банк ежегодно увеличивает на одно и то же число процентов сумму, имеющуюся на вкладе к моменту начисления процентов. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма, если за два года она возросла с 2000 до 2420 рублей?
Решение.Пусть ежегодно имеющаяся на счете сумма увеличивается на Х%. В первый раз за 100% мы должны принять сумму, имеющуюся на счете к началу первого года, то есть 2000 рублей. Тогда через год на счете окажется Х
( 2000 + ─── ∙ 2000) = (2000 + 20Х) рублей .
100
Для расчета процентов за второй год мы должны принять за 100% уже сумму, имеющуюся на счете к началу второго года, то есть (2000 + 20Х) рублей. Тогда по происшествии второго года на счете окажется
по условию задачи составляет 2420 рублей. Составим и решим уравнение
0,2Х2 + 40Х + 2000 = 2420.
Находим Х = -210 или Х = 10.
Так как по условию задачи значения Х должны быть положительными, то Х = 10. Итак, ежегодно сумма вклада увеличивалась на 10%.
Ответ:10%.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 1. Клиент внес 3000 рублей на два вклада, один из которых дает годовой доход, равный 8%, а другой – 10%. Через год на двух счетах у него было 3260 рублей. Какую сумму клиент внес на каждый вклад?
Решение.Пусть клиент внес на первый вклад Х рублей, а на второй (3000 – Х) рублей. Через год на первом счете у него окажется (Х + 0,08Х) = 1,08Х рублей, а на втором – (3000 – Х + 0,1(3000 – Х)) = (3300 – 1,1Х) рублей. Составим и решим уравнение
1,08Х + 3300 – 1,1Х = 3260
0,2Х = 400
Х = 2000.
Итак, клиент внес на первый вклад 2000 рублей, а на второй – 3000-2000 = 1000 рублей.
Ответ:2000;1000.
Домашнее задание.
Собрать материал для подготовки и защиты проекта “Вкладывайте деньги...” по одной из проблем:
-вложение в банк (на какой банк и на какой счет);
-вложение в бизнес ( бытовое обслуживание, торговля, общепит, сетевой маркетинг);
-вложение в развитие производства (строительство, промышленность, сельское хозяйство, научно – техническая сфера, искусство).
Урок 14.
Тема.Экскурсии в сбербанки, сберкассы или на предприятия различных отраслей и форм собственности.
Цели.Выяснить, как используются процентные расчеты в банковском деле, на производстве, в бизнесе; сбор материала для защиты проекта “Вкладывайте деньги...”
Уроки 15 – 16.
Тема.Правило начисления сложных процентов.
Цели.Формировать умение решать экономические задачи с использованием формул простого и сложного процентного роста; развивать логическое мышление; умение работать в проблемной ситуации.
Ход урока.
I Проверка домашнего задания.
Защита проекта «Вкладывайте деньги...”
I I . Объяснение нового материала.
Мы на прошлом уроке решили несколько задач на банковские отношения. Эти же задачи можно решить другим способом, используя следующие формулы:
рп
Простой процентный рост: Sп = (1+ ─── ) S,
100
где S – начальная сумма вклада,
р – месячный процент,
п–время хранения вклада. р
Сложный процентный рост: : Sп = (1+ ─── )п S.
100
Рассмотрим тот же пример.
Пример.Банк ежегодно увеличивает на одно и то же число процентов сумму, имеющуюся на вкладе к моменту начисления процентов. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма, если за два года она возросла с 2000 до 2420 рублей?
Решение.Данный пример на сложный процентный рост.
р
Sп = (1+ ─── )п S. Подставляем значения:
100
р
2420 = (1+ ───)2 2000
100
2420 100 +р
─── = ( ──── )2
2000 100
12100 = 10000 + 200р + р2
р2 + 200р – 2100 = 0.
Решая данное квадратное уравнение, получим р = 10 или р = -210.
Ответ:10%.
I I I. Закрепление пройденного материала.
Самостоятельная работа.
Пример.Какая сумма будет на счете через 4 года, если на него положены 2000руб под 30% годовых?
Решение .Данный пример на сложный процентный рост.
30
(1+ ─── )4 ∙ 2000 = 5712,2(руб)
100
Ответ:5712,2.
IV. Домашнее задание.
Пример.Сумма в 1000руб уменьшается ежемесячно на 5%. Через сколько месяцев эта сумма сократится до: 1)750руб; 2)500руб; 3)250руб; 4)50руб?
Ответ: 5мес; 10мес; 15мес;19мес.
Уроки 17 – 18.
Тема.Задачи на смеси (сплавы).
Цели.Формировать умение решать задачи на смеси и сплавы; развивать умение анализировать, сравнивать и обобщать; развивать логическое мышление.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I. Объяснение нового материала.
При решении задач на сплавы и смеси используют следующие допущения:
1) все полученные сплавы, смеси, растворы считаются однородными;
2) не делается различие между литром как мерой вместимости и литром как мерой количества жидкости (или газа).
Если смесь (сплав, раствор) массы т состоит из вещества А,В и С
тА
(имеющих соответственно массы тА,тВ,тС), то величину ──
тВ тС т
(соответственно ── и ── ) называют концентрацией вещества А
т т тА тВ
(В,С) в смеси, а величину ── ∙ 100% (соответственно ── ∙ 100% ,
тСтт
─── ∙ 100%) – процентным содержанием вещества А
т
(соответственно В,С) в смеси. При этом выполняется равенство
тА тВ тС
── + ── + ── = 1.
т т т
В задачах такого типа обычно присутствуют три величины, соотношение между которыми позволяет составлять уравнение:
- концентрация ( доля чистого вещества в смеси);
- количество чистого вещества в смеси (или сплаве);
- масса смеси (сплава).
Соотношение между этими величинами следующее:
Масса смеси ×концентрация = количество чистого вещества.
Пример.Из 40т железной руды выплавляют 20 т стали, содержащей 6% примесей. Каков процент примесей в руде?
20 ∙ 6%
Решение.1) ──── = 1,2т – примеси в стале;
100%
2) 40 – 20 = 20т.
3) 20 + 1,2 =21,2т – примеси в руде;
21,2
4) ─── ∙ 100% =53% - примеси в руде
40
Ответ:53%.
I I I. Закрепление пройденного материала.
Пример1.Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
Решение.1) Пусть 30%-ного раствора взято Х граммов, а 10%-ного раствора взято У граммов.
2) Х+У =600.
3)В полученной смеси 600 ∙ 0,15 = 90г кислоты.
4) 0,3Х + 0,1У = 90.
Составим систему и решим ее.
Х+У = 600
0,3Х + 0,1У = 90.
Х = 150; У = 600 – 150 = 450.
Ответ:150,450.
Пример 2.Сплавили 300г сплава олова и меди, содержащего 60% олова, и 900г сплава олова и меди, содержащего 80% олова. Сколько процентов олова в получившемся сплаве?
Решение.Масса олова в первом сплаве 0,6 ∙ 300 = 180г, во втором –
0,8 ∙900= 720г. Тогда масса олова в новом сплаве 180 + 720 = 900г. Масса нового сплава 300 + 900 = 1200г. Процентное содержание олова в нем 900
─── ∙ 100% = 75%
1200
Ответ:75%.
Самостоятельная работа.
Пример 1.Сплавили 2кг сплава цинка и меди, содержашего 20% цинка, и 6кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве.
Ответ: 65%.
Пример 2.Смешали 300г 60%-ного раствора серной кислоты и 200г 80%-ного раствора серной кислоты. Сколько процентов серной кислоты в получившемся растворе?
Ответ: 68%.
Домашнее задание.
Пример 1.В сплав магния и алюминия, содержащий 22кг алюминия, добавили 15кг магния., после чего содержание магния в сплаве повысилось на 33%. Сколько весил сплав первоначально?
Ответ: 25кг.
Пример 2.Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15кг, содержащий 40% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 30% меди?
Ответ: 5кг.
Уроки 19 – 20.
Тема.Задачи на разбавление.
Цели:формировать умение решать задачи на разбавление; осуществить оперативный контроль учащихся; развивать умение анализировать.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I.Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
-Какие величины присутствуют в задачах на смеси и сплавы?
-Какое соотношение имеется между этими величинами?
-Какие допущения можно использовать при решении задач на смеси и сплавы?
I I I. Объяснение нового материала.
Рассмотрим задачи такого же типа, но где вещество разбавляется водой какого – то количества.
Пример.Сколько литров воды надо добавить к 20л пятипроцентного раствора соли, чтобы получить четырехпроцентный раствор?
Решение.Соль содержится в каждом из растворов. В 20л. пятипроцентного раствора соли содержится 20 ∙ 0,05 = 1 (ед) соли. Ее количество не меняется. Доливается только вода. Узнаем, каково ее количество.
Обозначим Х(л) – количество добавленной воды. Из условия задачи получаем, что 4%-ую концентрацию раствора характеризует уравнение
1
──── = 0,04. Отсюда Х = 5.
20 + Х
Ответ:5.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример.Из бака, наполненного спиртом, отлили часть спирта и долили до прежнего объема водой, затем из бака отлили столько же литров смеси, сколько в первый раз отлили спирта, после чего в баке осталось 49л чистого спирта. Сколько литров спирта отлили из бака в первый раз, если в баке содержалось 64л?
Решение.1) Пусть из бака отлили в первый раз Х литров спирта. В баке осталось (64 – Х) литров спирта.
2) После того, как бак долили водой, в нем осталось 64 л смеси.
64 - Х
Следовательно, в 1л смеси содержалось ─── литров спирта.
64
3) Так как во второй раз отлили Х литров смеси, то спирта отлили во
64 - Х
второй раз ( ──── )Х литров.
64
4) Из условия следует, что из бака отлили всего 64 – 49 = 15 л спирта.
5) Составим уравнение и решим его:
64 - Х
Х + ──── = 15.
64
Откуда Х = 8, Х = 120( не удовлетворяет условию).
(64 – 8)∙8
Во второй раз отлили ──── =7.
64
Ответ. 8л,7л.
Контрольная работа.
Вариант 1.
1)Сколько надо добавить воды к 100г сухого молока с содержанием 7% воды, чтобы получить молоко с содержанием 60% воды?
Ответ: 132,5г.
2) В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных – 20%. На сколько процентов уменьшается масса яблок при сушке?
Ответ: на 75%.
3) При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?
Ответ: 2:1.
Вариант 2.
1) Сколько граммов воды надо добавить к 180г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20%?
Ответ: 45г.
2) Абрикосы при сушке теряют 60% своей массы. Сколько процентов воды содержат свежие абрикосы, если в сушеных абрикосах 25% воды?
Ответ: 70%.
3) Имеется 2 сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 70%, а во втором – 40% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 50% меди?
Ответ: 1:2.
Уроки 21 – 22.
Тема.Задачи, где неизвестные являются членами прогрессии.
Цели.Формировать умение решать задачи, где неизвестные являются членами прогрессии; развивать логическое мышление; развивать навыки самостоятельной работы.
Ход урока.
I . Подведение итогов контрольной работы.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
-Какая числовая последовательность называется арифметической прогрессией?
- Формула п –го члена арифметической прогрессии?
- Формулы суммы п первых членов арифметической прогрессии?
-Какая числовая последовательность называется геометрической прогрессией?
- Формула п –го члена геометрической прогрессии?
- Формулы суммы п первых членов геометрической прогрессии?
I I I. Объяснение нового материала.
Мы вспомнили нужные нам формулы арифметической и геометрической прогрессий.
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
ап = а1 + d(n – 1)
а1 + ап
Sп = ──── ∙ n
2
2 а1 + d(n – 1)
Sп= ──────── ∙ n
2
bп = b1 ∙ gп-1
b1(gп – 1)
Sп = ──────, g‡1
g - 1
bп∙ g - b1
Sп = ───────, g‡1
g - 1
Рассмотрим задачи, где неизвестныеявляютсячленамипрогрессии.
Пример1.Для оплаты пересылки четырех бандеролей понадобилось 4 различные почтовые марки на общую сумму 28 рублей. Определить стоимость марок, приобретенных отправителем, если эти стоимости составляют арифметическую прогрессию, а самая дорогая марка в 2,5 раза дороже самой дешевой.
Решение.1) Пусть Х рублей – стоимость самой дешевой марки.
2) Тогда 2,5Х рублей – стоимость самой дорогой марки.
3) Стоимость всех четырех марок по условию есть сумма членов арифметической прогрессии, т.е.
Х + 2,5Х
───── ∙ 4 = 28, откуда Х = 4.
2
4) Из формулы общего члена арифметической прогрессии имеем:
а4 = а1 + 3d, 2,5Х = Х + 3d, 10 = 4 + 3d, d= 2.
а2 = 4+ 2 = 6, а3 = 6+ 2 = 8.
Ответ:4; 6; 8; 10.
Пример 2.Число посетителей вновь открывшегося кафе в первые 8 дней работы увеличивалось ежедневно в одно и то же число раз. Сколько человек посетило кафе в восьмой день, если в третий день было 288 посетителей, а в пятый – 648?
Решение.Последовательность чисел, равных количеству посетителей кафе в каждый из восьми дней, - геометрическая прогрессия (bп), в которой даныb3= 288 иb5=648, а найти нужноb8.
Найдем знаменатель прогрессииg. Так как
g2 =b5:b3=648 : 288 = 1,5 (g> 0).
Тогдаb8=b5∙g3= 2187.
Итак, в восьмой день кафе посетило 2187 человек.
Ответ:2187.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.В первую неделю работы очистных сооружений после их реконструкции количество вредных выбросов в реку ежедневно уменьшалось в одно и то же число раз. Сколько вредных веществ попало в реку за эту неделю, если во второй день в реку попало 128 м3, а в пятый день - 16 м3 вредных веществ?
Решение.Последовательность объемов выбросов в каждый из семи дней – геометрическая прогрессия (bп), в которой даныb2= 128 иb5=16, а найти нужно сумму первых семи ее членовS7.
Таким образом, за неделю в реку попало 508 м3 вредных веществ.
Ответ:508.
Самостоятельная работа.
Пример 1.Цена костюма снижалась несколько раз на одно и то же число рублей. После третьего снижения она составила 2460 рублей, а после одиннадцатого снижения – 1980 рублей. После скольких снижений цена костюма составит 50% начальной цены?
Ответ: 22.
Пример 2.Производительность линии по производству йогуртов в первые пять дней после конструкции ежедневно увеличивалось в одно и то же число раз. Сколько йогуртов было произведено в пятый день, если во второй день произвели 1200кг йогуртов, а в четвертый – 1728кг йогуртов?
Ответ: 2073,6.
Домашнее задание.
Пример 1. В соревнованиях по стрельбе за каждый промах из 50 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах – два штрафных очка, а за каждый последующий – на одно очко больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 35 штрафных очков?
Ответ: 16.
Пример 2.Себестоимость выпускаемой на новом конвейере продукции в первые полгода ежемесячно уменьшалось в одно и то же число раз. Найдите себестоимость продукции во второй месяц этого полугодия, если в четвертый месяц она составила 512 тыс. рублей, а в последний месяц – 327, 68 тыс. рублей.
Ответ: 800.
Уроки 23 – 24.
Тема. Геометрические задачи.
Цели:формировать умение решать геометрические задачи; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации; активизировать познавательную и творческую деятельность.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
- Формула длины окружности;
- Формула площади круга;
- Формула площади прямоугольника;
- Формула объема прямого параллелепипеда.
I I I. Объяснение нового материала.
Среди текстовых задач встречаются задачи геометрического содержания. В этих задачах может требоваться решить задачу или выбрать среди предложенных уравнений (или выражений) то, которое является математической моделью задачи. Те задачи, которые требуется решить, могут решаться с помощью составления уравнения (системы уравнений) или арифметически. Рассмотрим конкретный пример.
Пример.Переднее колесо движущейся модели на протяжении 120м делает на 6 оборотов больше, чем заднее. Если окружность переднего колеса увеличить на 1/4 ее длины, а окружность заднего – на 1/5 ее длины, то на том же расстоянии переднее колесо сделает на 4 оборота больше, чем заднее. Найти длины окружностей переднего и заднего колес.
Решение.Длина окружности колеса С, число оборотов п и расстояниеSсвязаны формулой Сп =S. Для удобства заполним таблицу значений этих величин.
Колесо
До изменения
После изменения
С
S
п
С
S
п
Переднее
Х
120
120
──
Х
5Х
──
4
120
120∙4
────
5Х
Заднее
У
120
120
──
У
6У
──
5
120
120∙5
────
6У
Согласно условию, получаем систему
120 120
── - ── = 6,
Х У
96 100
── - ── = 4, откуда находим Х = 4(м), У = 5(м).
Х У
Ответ:4 и 5м.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.В некотором механизме три шестеренки разных диаметров связаны между собой так, что большая из них касается обеих меньших, причем все три шестеренки вместе имеют 60 зубцов. Когда большая шестеренка не доходит на 20 зубцов до полных четырех оборотов, вторая и третья делают соответственно 5 и 10 полных оборотов. Сколько зубцов имеет каждая шестеренка в отдельности?
Решение.Пусть Х, У, Z – числа зубцов трех шестеренок, причем
Х >У>Z и Х +У+Z = 60.
Так как шестеренки сцеплены, то за время их вращения придет в соприкосновение одинаковое число зубцов каждой шестеренки, т.е.
10 Z = 5У = 4Х – 20.
Составив из данных уравнений систему и решив ее, находим Х = 30, У = 20, Z = 10.
Ответ:30,20,10.
Самостоятельная работа.
Пример 1.Лист жести имеет форму прямоугольника, длина которого на 20 см больше ширины. По углам этого листа вырезали квадраты со стороной 5 см и сделали коробку. Объем коробки равен 1500 см3. найдите размеры листа жести.
Ответ: 20 см, 40 см.
Пример 2.Длина детской площадки прямоугольной формы на 5 м больше ее ширины. Длину площадки увеличили на 2 м, а ширину – на 5 м, при этом ее площадь увеличилась на 280 м2. Найдите площадь новой детской площадки.
Ответ: 1680 м2
Домашнее задание.
Пример 1.Под строительную площадку отвели участок прямоугольной формы, длина которого на 25 м больше ширины. При утверждении плана застройки длину участка увеличили на 5 м, а ширину – на 4 м, в результате площадь участка увеличилась на 300 м2. Найдите площадь образовавшейся строительной площадки.
Ответ: 1200 м2
Пример 2.Из прямоугольного листа картона, одна сторона которого в 2 раза больше другой, склеили коробку. Для этого по углам этого листа вырезали квадраты со стороной 5 см. найдите размеры листа картона, если объем коробки равен 5000 см2.
Ответ: 30 см, 60 см.
Уроки 25 -26.
Тема.Физические задачи.
Цели:формировать умение решать физические задачи; развивать умение сравнивать и обобщать закономерности; осуществить оперативный контроль учащихся.
Ход урока.
I . Проверка домашнего задания.
I I. Объяснение нового материала.
Среди текстовых задач нередко встречаются задачи физического содержания, которые нужно решить путем составления уравнения или арифметически. Но в любом случае необходимо знать формулы физики. Рассмотрим конкретный пример.
Пример 1.Кристалл, находясь в стадии формирования, равномерно наращивает свою массу. Наблюдая формирование двух кристаллов, заметили, что первый из них за 3 мес. дал такой же прирост массы, как второй за 7 мес. Однако по истечении года оказалось, что первый кристалл увеличил свою первоначальную массу на 4%, второй – на 5%. Найти отношение первоначальных масс этих кристаллов.
Решение.Пусть годовой прирост массы Х равен а, тогда, согласно условию, годовой прирост массы У равен 3а/7. Имеем
3а 4 Х 7
а =0,4Х, ── = 0,5У, ── ∙ ── = ──, Х : У = 35:12.
7 5 У 3
Ответ:35:12.
Пример 2.Известно, что свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Если два тела начали падать с одной высоты спустя 5 с одно после другого, то через какое время они будут друг от друга на расстоянии 220,5 м?
Решение. Воспользуемся формулой S = 4,9 t2.
Ответ: через 7 с после начала падения первого тела.
I I I.Контрольная работа.
Вариант 1.
1)Из пункта А и В, расстояние между которыми равно 450 км, выехали одновременно навстречу друг другу 2 автомобиля. Один автомобиль двигался равномерно со скоростью 60 км/ч, а другой в первый час прошел 45 км, а в каждый следующий проходил на 5 км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов автомобили встретились?
Ответ: 4.
2) В первые 7 дней марта количество продаваемых в парфюмерном магазине подарочных наборов увеличивалось на одно и то же число ежедневно. Сколько продали наборов за 7 дней, если во второй день продали 95 наборов, а в пятый день – 140?
Ответ: 875.
Вариант 2.
1) Из пункта А выехал грузовой автомобиль и двигался со скоростью 40 км/ч. Одновременно в этом же направлении из пункта В отправился легковой автомобиль, который в первый час прошел 50 км, а в каждый следующий проходил на 5 км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов легковой автомобиль догонит грузовой, если известно, что расстояние от пункта В до пункта А равно 135 км?
Ответ: 6 ч.
2) В последнюю неделю мая количество продаваемых в «Детском мире» надувных игрушек для плавания маленьких детей ежедневно увеличивалось в одно и то же число раз. Найдите отношение количества проданных игрушек 31 мая к количеству проданных игрушек 30 мая, если 27 мая было продано 45 игрушек, а 29 мая – 405 игрушек?
Ответ: 3.
Уроки 27 – 28.
Тема.Задачи «на работу».
Цели:формировать умение решать задачи «на работу»; развивать логическое мышление; активизировать познавательную и творческую деятельность.
Ход урока.
I . Анализ контрольной работы.
I I. Объяснение нового материала.
Работу характеризуют три компонента действия:
-время работы;
-объем работы;
-производительность труда (количество
произведенной работы в единицу времени).
Существует следующее соотношение между этими компонентами:
Объем работы = время работы ×производительность.
Пример.Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20 дней. Но завод выпускал ежедневно по 2 машины сверх плана, а поэтому выполнил заказ за 18 дней. Сколько машин выпустил завод?
Решение.Пусть завод должен был выпускать Х машин в день, тогда заказ составляет 20Х машин.
На самом деле завод выпускал (Х + 2) машины в день и за 18 дней выпустил 18(Х + 2) машин. По условию задачи
20Х = 18(Х + 2),
откуда Х = 18. Таким образом, завод выпустил 360 машин.
Ответ:360.
I I I. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.Планом было предусмотрено, что предприятие на протяжении нескольких месяцев изготовит 6000 насосов. Увеличив производительность труда, предприятие стало изготовлять в месяц на 70 насосов больше, чем было предусмотрено, и на один месяц раньше установленного срока перевыполнило задание на 30 насосов. На протяжении скольких месяцев было предусмотрено выпустить 6000 насосов?
Решение.Пусть за Х месяцев было предусмотрено выполнение планового задания. Тогда за (Х – 1) месяцев было выпущено 6030 насосов. В месяц по плану предприятие планировало выпускать 6000/Х насосов, а фактически выпустило в месяц 6030/Х насосов. Из условия задачи следует уравнение:
6030 6000
─── - ─── = 70.
Х Х 60
Решая уравнение, получим Х = 10 или Х = - ── ( не
7
удовлетворяет условию задачи).
Значит, было предусмотрено выпустить 6000 насосов на протяжении 10 месяцев.
Ответ:10.
Решая некоторые задачи «на работу», обычно всю работу принимают за единицу. Рассмотрим это на конкретном примере.
Пример 2.Две копировальные машины печатают рукопись. Если всю рукопись будет печатать первая машина, то работа будет выполнена на 4 мин позже, чем две машины, работая вместе. Если печатать всю рукопись будет вторая машина, то она напечатает на 25 мин позже, чем обе машины, работая вместе. За сколько минут может напечатать эту рукопись вторая машина?
Решение.Примем за единицу работу по печати всей рукописи. Пусть время печати всей рукописи первой машиной – Х (мин), а второй – У (мин). Тогда производительность первой машины 1/Х, производительность второй машины – 1/У, общая их производительность (1/Х + 1/У). Получаем время их общей работы:
1 ХУ
──── = ────.
1 1 Х + У
─ + ─
Х У
Можем составить 2 уравнения относительно времени работы:
ХУ
Х – 4 = ────,
Х + У
ХУ
У – 25 = ────;
Х + У
Решая систему из данных уравнений, получим У = 35, Х = 14 или
У = 15, Х = - 6 (не удовлетворяет условию задачи).
Итак, вторая машина может напечатать рукопись за 35 мин.
Ответ:35.
Самостоятельная работа (тест).
Пример 1.Фермеры должны были закончить сев за 5 дней. Но, узнав о предстоящем ухудшении погоды, они засевали в день на 20 га больше, чем предполагалось по плану, и поэтому закончили сев за 4 дня. Сколько гектаров они засеяли?
А: 400. В: 500. С: 200. Д: 800.
Пример 2.Первая машинистка напечатала 270 страниц, печатая в день на 2 страницы больше второй машинистки, при этом работалаона на 1 день меньше, чем вторая. Сколько страниц в день печатала вторая машинистка, если всего она напечатала 280 страниц?
А: 30. В: 42. С: 28. Д: 25.
Домашнее задание.
Пример 1.Бригада цветоводов должна была высадить в понедельник на центральных площадях города 7200 цветов. Однако три человека заболели, и каждому из вышедших на работу пришлось высадить на 400 цветов больше нормы, чтобы успеть вовремя. Сколько человек вышло на работу в понедельник?
Ответ: 6.
Пример 2.Два помощника депутата так разделили между собой работу по редактированию доклада, что закончили каждый свою часть работы одновременно, через 12 ч. Первый помощник, работая один, мог бы отредактировать доклад на 10 часов быстрее второго. Сколько часов потребовалось бы второму помощнику для выполнения этой работы?
Ответ: 30.
Уроки 29 – 30.
Тема.Задачи на движение.
Цели:формировать умение решать задачи на движение; развивать умение анализировать; развивать умение сравнивать и обобщать закономерности.
Ход урока.
I Проверка домашнего задания.
I I.Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
- По какойформуле находитсяскоростьпри равномерном движении?
- по какой формуле находится время равномерного движения?
- по какой формуле находится пройденное расстояние?
I I I. Объяснение нового материала.
При решении задач на движение принимают такие допущения:
1) движение считается равномерным (если нет специальных оговорок);
2) скорость считается величиной положительной;
3) повороты движущихся тел и переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно;
4) если тело, имеющее собственную скорость u, движется по реке, скорость течения которой равна v, то скорость тела по течению равна u + v, а скорость против течения равна u - v .
Часто при решении таких задач бывает удобно ввести систему координатtОs, где по абсцисс откладывают время, а по оси ординат – путь, пройденный телом. Тогда графиком зависимостиs=v tявляется отрезок прямой, составляющий с осью Оt угол α, тангенс которого равен значению скорости v.
Часто приходится рассматривать задачи, описывающие движение двух участников. В задачах на совместное движение участники не всегда одновременно его заканчивают. Поэтому очень важно выделить участок, на котором движение происходит действительно совместно. Кроме этого, в задачах имеются, как правило, такие участки пути, на которых передвигается один участник, в то время как другой еще не начал или уже закончил движение.
В некоторых задачах полезно найти скорость сближения (или удаления) участников – величину, показывающую, на сколько уменьшается (или увеличивается) расстояние между участниками движения в единицу времени.
Скорость сближения или удаления равна сумме скоростей участников при их движении в противоположных направлениях (навстречу друг другу или друг от друга). При движении участников в одном направлении (один убегает, другой его догоняет) скорость сближения или удаления равна модулю разности их скоростей.
Пример.Из Смоленска в Москву вышел поезд со скоростью 70 км/ч. Спустя 1 ч 40 мин из Москвы в Смоленск отправился поезд, скорость которого равна 60 км/ч. Через сколько часов после выхода поезда из Смоленска произойдет встреча, если расстояние между городами равно 420 км?
Решение.Совместное движение началось в момент выхода из Москвы первого поезда. К этому времени второй поезд прошел
5 350
70 ∙ ─ = ── (км) и расстояние между поездами сократилось до
3 3
350 910
420 - ── = ── (км).
3 3
Закончилось их совместное движение встречей. Итак, на расстоянии
910
── (км) поезда сближались со скоростью 70 + 60 = 130 (км/ч) и
3 910 1
потратили на это ── : 130 = 2─ (ч).
3 3
2 1
тогда поезд из Смоленска шел до встречи 1─ + 2─ = 4 (ч).
3 3
Ответ:4.
I I I. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.Катер, собственная скорость которого равна 15 км/ч, прошел 60 км по реке от одной пристани до другой и вернулся обратно. За это же время спасательный круг, упавший за борт с катера, проплывет 25 км. Найдите время движения катера вверх по реке.
Решение.В данной задаче основные скорости – собственная скорость катера, равная 15 км/ч., и скорость течения, которая не дана. Обозначим скорость течения за Хкм/ч.
Тогда на путь по течению катер со скоростью (15 +Х) км/ч затратит
60
─── ч, а на путь против течения катер со скоростью (15 – Х) км/ч
15 + Х 60
затратит ─── ч.
15 - Х
Спасательный круг проплыл 25 км по течению реки за 25/Х ч. Учитывая, что по условию задачи на путь туда и обратно катер затратил такое же время, за какое спасательный круг проплыл 25 км, составим уравнение: 60 60 25
─── + ─── = ── .
15+ Х 15 – Х Х
Уравнение имеет единственный положительный корень Х =3. Итак, скорость течения равна 3 км/ч. Далее узнаем время движения вверх по реке: 60
─── = 5(ч).
15 – 3
Ответ:5.
Пример 2. Из пункта А в пункт В выехал автоьус со скоростью 40 км/ч. После того как автобус проехал 30 км, из пункта А со скоростью 60 км/ч выехал автомобиль, который прибыл в пункт В на 1/12 ч позже автобуса. Найдите расстояние между пунктами.
Решение.Совместное движение началось в момент выхода автомобиля из пункта А. К этому времени автобус прошел 30 км со скоростью 40 км/ч за 3/4 ч (30: 40 = 3/4) – это первый участок пути автобуса.
Второй участок пути автобуса начинается в 30 км от пункта А и заканчивается в пункте В. Пусть второй участок пути автобус прошел за t ч. Так как скорость движения равна 40 км/ч, то это расстояние рвано 40 t км, а в обшей сложности от пункта А до пункта В автобус прошел (30 + 40 t) км.
Закончилось совместное движение прибытием автобуса в пункт В. За t ч автомобиль со скоростью 60 км/ч прошел 60 t км, и до пункта В ему осталось пройти 60 ∙ 1/12 = 5(км). Таким образом, расстояние от пункта А до пункта В равно (60 t + 5) км.
Составим уравнение:
30 + 40 t = 60 t + 5, откуда t = 5/4. 5
Тогда расстояние от пункта А до пункта В равно 30 + 40 ∙ ─ = 80(км).
4
Ответ:80.
Самостоятельная работа.
Пример 1.Скорость велосипедиста от поселка до станции была на 1 км/ч больше , чем на обратном пути. На обратный путь он затратил на 2 мин больше. Расстояние между пунктами 7 км. Найдите первоначальную скорость велосипедиста.
Пусть Хкм/ч – скорость велосипедиста от поселка до станции. Какое из уравнений соответствует условию задачи?
7 7 1 7 7
А. ─── - ─── = ─── В. ─── + ─── = 2
Х+1 Х 30 Х – 1 Х
7 7 1 7 7
Б. ─── - ─── = ─── Г. ─── - ─── = 1
Х - 1 Х 30 Х-1/30 Х
Пример 2.Катер прошел 20 км по течению реки и такой же путь обратно, затратив на весь путь 1 ч 45 мин. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите собственную скорость катера.
Пусть Хкм/ч – собственная скорость катера. Какое из уравнений соответствует условию задачи?
20 20 20 7
А. ─── = 1,45 В. ─── + ─── = ─
Х+2 Х – 2 Х + 2 4
20 20 20 7 7
Б. ─── - ─── = 1,45 Г. ─── + ─── = ─
Х - 2 Х +2 2 - Х 2 +Х 4
Домашнее задание.
Пример 1.Из Москвы в Киев вышел поезд со скоростью 80 км/ч. Спустя 24 мин из Киева в Москву отправился поезд со скоростью 70 км/ч. Через сколько часов после выхода из Москвы произойдет встреча, если расстояние между городами равна 872 км?
Ответ: 6.
Пример 2.Из пункта А вниз по течению реки движется лодка с собственной скоростью 17 км/ч. Ей навстречу из пункта В движется катер с собственной скоростью 26 км/ч. Лодка до встречи шла 2ч, катер – 1,5ч. Какое расстояние проплывет за 3 ч плот, если расстояние между пунктами А и В равно 74 км?
Ответ: 6.
Уроки 31 – 32.
Тема.Задачи на движение по окружности.
Цели:формировать умение решать задачи на движение по окружности; развивать умение анализировать; использовать полученные навыки для решения более сложных уравнений.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
1)Катер прошел 3 км по течению реки на 30 мин быстрее, чем 8 км против течения реки. Собственная скорость катера 15 км/ч. Пусть Х км/ч - скорость течения реки. Какое из уравнений соответствует условию задачи?
3 8 1 8 3
А. ─── - ─── = ─── В. ─── - ─── = 0,5
15 - Х 15 +Х 2 Х – 15 Х +15
8 3 1 8 3
Б. ─── - ─── = ─── Г. ─── + ─── = 30
15 - Х 15+Х 2 15 – Х 15 + Х
I I I. Объяснение нового материала.
Трудности могут возникнуть при составлении систем уравнений в тех случаях, когда происходит движение по замкнутой траектории, например, по окружности. Часто при решении таких задач картина движения представляется с трудом, и надо приложить некоторые усилия, чтобы видеть те условия, из которых вытекают те или иные уравнения.
Рассмотрим конкретный пример.
Пример 1.По окружности длиной 60 м равномерно и в одном направлении движутся две точки. Одна из них делает полный оборот на 5 с скорее другой. При этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 мин. Определить скорость точек.
Решение.Пусть первая точка проходит полный оборот за Х с, а вторая – за У с. Тогда
60 3600
V 1 = ── м/с = ─── м/мин,
Х Х
60 3600
V 2 = ── м/с = ─── м/мин.
У У
Будем полагать, что Х< У, тогда из условия задачи следует уравнение
У – Х = 5.
Так как точки встречаются каждую минуту и первая движется быстрее, то она должна за 1 мин пройти полный круг 60 м и еще столько, сколько успеет пройти за 1 мин вторая точка, т.е. 3600/У.
Отсюда имеем второе уравнение:
3600 3600
─── = ─── + 60.
Х У
Составим систему и решим ее:
У – Х = 5.
3600 3600
─── = ─── + 60.
Х У
Получим: Х = 15, У = 20.
Тогда 60 60
V 1 = ── = 4 м/с; V 2 = ── = 3 м/с.
15 20
Ответ:4 м/с; 3 м/с.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 2.Два тела, движущиеся в разные стороны по окружности длиной 500 м с постоянными скоростями, встречаются каждые 125 с. При движении в одну сторону первое догоняет второе каждые 12,5с. Найдите скорости каждого тела.
Решение.При движении в одном направлении время, через которое одно тело догонит второе, можно найти по формуле:
s
─── . Пусть скорости тел равны Х м/с и У м/с, тогда получим
v2 - v1
500
первое уравнение: ─── = 125.
У – Х
При движении навстречу друг другу время, через которое тела встретятся, можно найти по формуле:
S 500
─── . Получим второе уравнение: ─── = 12,5.
v2 - v1 У + Х
Из этих двух уравнений составим и решаем систему, решением которой является пара Х = 18 (м/с) и У = 22 (м/с).
Ответ:18 м/с, 22 м/с.
Контрольная работа.
Вариант 1.
1) Две снегоуборочные машины, работая вместе, могут очистить определенную территорию от снега за 4 ч. Если бы сначала первая машина выполнила половину работы, а затем ее сменила вторая, то на всю уборку снега ушло бы 9 ч. За какое время может очистить от снега эту территорию каждая машина в отдельности?
Ответ. 6 ч, 12 ч.
2) Два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20 км. Если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5 часа после своего выхода. Если второй выйдет на 1 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 ч 40 мин после своего выхода. Какова скорость каждого пешехода?
Ответ: 4 км/ч, 5 км/ч.
Вариант 2.
1) На двух принтерах при их одновременном включении можно распечатать рукопись книги за 12 мин. Если бы сначала половину рукописи распечатали на первом принтере, а затем на втором закончили распечатку, то на всю работу ушло бы 25 мин. За сколько минут можно распечатать эту рукопись на каждом принтере в отдельности?
Ответ: 20 мин, 30 мин.
2) Из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км, должны выехать навстречу друг другу два велосипедиста. Если первый велосипедист отправится в путь на 1 ч раньше второго, то он встретит его через 1 ч 48 мин после своего выезда. Если второй отправится в путь на 1 ч раньше первого, то он встретит первого через 1 ч 36 мин после своего выхода. Найдите скорость каждого велосипедиста.
Ответ: 12 км/ч, 18 км/ч.
Уроки 33 – 34.
Тема.Контрольное тестирование по элективным курсам: “Текстовые задачи”.
Цель:осуществить контроль усвоения полученных знаний.
Ход урока.
Вариант 1.
1. Цену товара повысили на 100%, а затем снизили на 50%. Как изменится цена товара?
А. Не изменится В. Возрастет вполовину
Б. Возрастет в 2 раза Г. Снизится на 25%
2. Вкладчик положил в сбербанк 10000 р из расчета 1% годовых. Каким будет его вклад через 1 год?
А. 10001 В. 10010
Б. 10100 Г. 11000
3. Две машины, работая одновременно, могут выполнить некоторую работу за 5 дней. Первая машина может справиться с этой работой на 24 дня быстрее второй. Какой объем работы выполнит первая машина?
Пусть Х дней – время работы первой машины. Какое из уравнений соответствует условию задачи?
1 1 1 1 1
А. ─── + ─── = ── В. ─── - ─── = 0,2
Х Х + 24 5 Х Х +24
1 1 1 1 1
Б. ── + ─── = ── Г. ── - ─── = 0,2
Х Х - 24 5 Х Х - 24
4. Сберегательный банк в конце года начисляет 2% к сумме, находившейся на счету. На сколько рублей увеличится первоначальный вклад в 5000 р через 3 года?
А. 305 р В. 306,04 р
Б. 250 р Г. 500р
5. Сплавили два слитка, содержание цинка в которых было 64% и 84% соответственно. Получился сплав, содержащий 76% цинка. Его вес 50 г. Сколько весил каждый из сплавленных слитков?
А. 20 г, 30 г В. 30г, 50г
Б. 50г, 60г Г. 20г,40г.
6. Какое количество воды надо добавить в 1 литр 9%-ного раствора уксуса, чтобы получить 3%-ный раствор?
А. 5 л В. 3 л
Б. 2 л Г. 1 л.
7. Юноша подарил девушке в первый день знакомства 3 цветка, а в каждый последующий день дарил на 2 цветка больше, чем в предыдущий день. Сколько денег он потратил на цветы за две недели, если 1 цветок стоит 10 рублей?
А. 2500 р В. 2240 р
Б. 3000 р Г. 1750 р
8. Катер прошел 15 км по течению реки и 4 км по озеру, затратив на весь путь 1 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
А. 12 км/ч В. 20 км/ч
Б. 15 км/ч Г. 16 км/ч.
Вариант 2.
1. Цену товара повысили на 50%, а затем снизили на 50%. Как изменится цена товара?
А. Не изменится В. Возрастет на треть
Б. Снизится на четверть Г. Снизится на треть
2. Сбербанк в конце года начисляет 4% годовых к сумме, находящейся на счету в начале года. Каким станет первоначальный вклад в 2500 р через 1 год?
А. 2504 В. 2550
Б. 2580 Г. 2600
3. Две машины, работая одновременно, могут выполнить некоторую работу за 8 мин. Вторая машина может справиться с этой работой на 30 мин быстрее первой. Найдите время работы второй машины.
Пусть Х мин – время работы второй машины. Какое из уравнений соответствует условию задачи?
1 1 1 1 1 1
А. ─── + ─── = ── В. ─── - ─── = ─
Х Х - 30 8 Х Х +30 8
1 1 1 1 1 1
Б. ── + ─── = ── Г. ── - ─── = ─
Х Х + 30 8 Х Х – 30 8
4. Сбербанк в конце года начисляет 5% к сумме, находившейся на счету. На сколько процентов увеличится первоначальный вклад в 2000 р через 2 года?
А. 10, 25% В. 20%
Б. 11% Г. 12%
5. Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди 30% и 55% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив, получить сплав, содержащий 40% меди?
А. 5: 2 В. 3:4
Б. 3: 2 Г. 2: 7.
6. Какое количество воды надо добавить к 2 л 18%-ного соли, чтобы получить 16%-ный раствор?
А. 3 л В. 0,5 л
Б. 1 л Г. 0,25 л.
7. Расстояние между движущимися навстречу автомобилями было равно 22 км 200 м. Через сколько минут они встретятся, если первый автомобиль за каждую минуту проходит 1 км, а второй в первую минуту прошел 300 км, а в каждую последующую минуту – на 100 м больше, чем за предыдущую?
А. 15 мин В. 12 мин
Б. 30 мин Г. 60 мин.
8. Моторная лодка прошла 10 км по озеру и 4 км против течения реки, затратив на весь путь 1 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
А. 18 км/ч В. 15 км/ч
Б. 11 км/ч Г. 20 км/ч.
Ответы:
1
2
3
4
5
6
7
8
Вар 1
А
В
А
В
А
Б
В
Г
Вар2
Б
Г
Б
А
Б
Г
В
В
Пояснительная записка
Элективный курс “Текстовые задачи”, предназначенный для профильной подготовки учащихся 10 -11 классов общеобразовательной школы, является предметно – ориентированным и предназначен для расширения теоретических и практических знаний учащихся. Он расширяет и углубляет базовую программу по математике, не нарушая ее целостности. Программа элективного курса применима для различных групп школьников, независимо от выбора их будущей професии. В основной школе текстовые задачи учащиеся решают, но умением решать задачи экономическо- практического содержания не владеют.
Решения текстовых задач – это деятельность, сложная для учащихся. Сложность ее определяется, прежде всего, комплексным характером работы: нужно ввести переменную и суметь перевести условие на математический язык; соотнести полученный результат с условием задачи и, если нужно, найти значения еще каких – то величин. Каждый из этих этапов – самостоятельная и часто трудно достижимая для учащихся задача.
Предлагаемый курс имеет прикладное и общеобразовательное значение: он способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, творческих способностей, интереса к предмету, данной теме и, что особенно важно, формированию умения решать практические задачи в различных сферах деятельности человека. А решение таких задач способствует приобретению опыта работы с заданием более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, формированию математической культуры учащихся. Текстовые задачи приучают учащихся пользоваться справочным материалом, заставляют глубже изучать теоретический материал, превращают знания в необходимый элемент практической деятельности, а это важный компонент мотивации учения. Выполняя такие задания, учащиеся оказываются в одной из жизненных ситуаций и учатся отвечать на возникающие вопросы с помощью знаний, полученных на уроках математики.
Программа данного элективного курса ориентирована на приобретение определенного опыта решения текстовых задач. Изучение данного курса тесно связано с такими дисциплинами, как алгебра, алгебра и начала анализа, геометрия. Данный курс представляется особенно актуальным и современным, так как расширяет и систематизирует знания учащихся, готовит их к более осмысленному пониманию теоретических сведений.
Цель курса: формирование у учащихся умения решать практические задачи в различных сферах деятельности человека; развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщенных умственных умений.
Задачи курса:
-показать широту применения известного учащимся математического аппарата – процентные вычисления, связь математики с различными направлениями реальной жизни;
-выделять логические приемы мышления и способствовать их осмыслению, развитию образного и ассоциативного мышления;
-развивать у школьников интерес к предмету, к практическому применению знаний и умений;
-приобщить учащихся работать с математической литературой.
Требования к уровню освоения дисциплины.
Курс предназначен для учащихся 10 -11 классов, рассчитан на 34 часа.
Курс призван помочь ученику в овладении навыком решения текстовых задач с помощью уравнений и систем уравнений, расширить спектр решаемых задач, повысить уровень его общей математической культуры.
В результате изучения курса учащиеся должны уметь:
- анализировать условие текстовой задачи, выявлять главное в тексте;
- обосновывать выбор переменной при составлении уравнения;
- свободно оперировать аппаратом алгебры при решении текстовых задач.
Учебно - тематическое планирование
п/п
Тема
Количество часов
В том числе на:
Примерное количество часов на самостоятельные работы учащихся
уроки
практические работы
Контрольные работы
1
Введение
2
2
Тема 1. Задачи на деления на части, отношения.
2
Деление на части
2
1
1
3
Отношения “больше”, “меньше”
2
1
1
4
Соотношения между натуральными числами
2
1
1
Тема 2. Задачи на проценты.
5
Проценты и уравнения
2
1
1
6
Торгово – денежные отношения
2
1
1
7
“Вкладывайте деньги...”
2
1
1
8
Правило начисления “сложных процентов”
2
1
1
Тема 3. Задачи на смеси и сплавы.
9
Задачи на смеси (сплавы)
2
1
1
10
Задачи на разбавление
2
1
1
Тема 4. Арифметическая и геометрическая прогрессия.
11
Задачи, где неизвестные являются членами прогрессии
2
1
1
Тема 5. Геометрические и физические задачи.
12
Геометрические задачи
2
1
1
13
Физические задачи
2
1
1
Тема 6. Задачи на работу.
14
Задачи на конкретную и абстрактную работу
2
1
1
Тема 7. Задачи на движение.
15
Задачи на движение: путь, скорость, время
2
1
1
16
Задачи на движение по окружности
2
1
1
Тема 8. Решение различных типов текстовых задач.
17
Решение различных видов текстовых задач.
Контрольное тестирование.
2
1
1
Содержание тем учебного курса.
Введение (2 часа).Понятие текстовых задач. Виды текстовых задач.
Информация учителя о содержании курса. Решение типовых задач.
Алгоритм решения задач методом составления уравнения.
Тема 1( 6 часов)Задачи на деление на части, отношения.
Задачи на деление на части. Задачи на отношения “меньше” и “больше”. Задачи на соотношения между натуральными числами. Решение задач на числах с постепенным обобщением решения.
Тема 2 (8 часов). Задачи на проценты.
Проценты и уравнения. Понятие процента, основные соотношения на процентные расчеты. Решение типовых задач на проценты. Торгово – денежные отношения. “Вкладывайте деньги...” Экскурсии в сберкассы, банки, на предприятия различных отраслей и форм собственности. Деловая игра по решению проблемы вложения денег в различные банки, на различные счета. Правило начисления “сложных процентов”. Формула начисления “сложных процентов”, формула простого процентного роста. Решение задач на применение этих формул.
Тема 3 (4 часа). Задачи на смеси, сплавы.
Понятие объемной (массовой) концентрации, процентной концентрации. Решение задач, связанных с понятиями “концентрация”, “процентное содержание”. Задачи на смеси (сплавы). Задачи на разбавления.
Тема 4 (2 часа). Арифметическая и геометрическая прогрессия.
Решение задач, где неизвестные являются членами арифметической и геометрической прогрессии.
Тема 5 ( 4 часа). Геометрические и физические задачи.
Решение задач геометрического содержания. Решение физических задач.
Тема 6 ( 2 часа). Задачи на работу.
Задачи на конкретную и абстрактную работу. Решение задач на совместную работу.
Тема 7 (4 часа). Задачи на движение.
Задачи на движение: путь, скорость, время. Движение: план и реальность. Совместное движение. Задачи на закон сложения скоростей. Решение задач на движение по окружности.
Тема 8 (2 часа). Решение различных типов текстовых задач.
Проверка знаний, умений и навыков учащихся. Контрольное тестирование.
Практические занятия.
Содержание курса предполагает работу с различными источниками математической литературы. Желательно использовать такие организационные формы, как выступления с докладами ( в частности, с отчетными докладами по результатам выполнения индивидуального домашнего задания или содокладами, дополняющими лекционные выступления учителя). Возможны и разные формы индивидуальной или групповой деятельности учащихся, такие как “Математика везде и всюду!” или “Эврика!”. Можно собрать материал для подготовки и защиты проекта “Вкладывайте деньги...” по одной из проблем:
-вложение в банк (на какой банк и на какой счет);
-вложение в бизнес ( бытовое обслуживание, торговля, общепит, сетевой маркетинг);
-вложение в развитие производства (строительство, промышленность, сельское хозяйство, научно – техническая сфера, искусство).
Можно дать учащимся домашние задания следующего типа: используя собранный материал, различные источники информации, составлять текстовые задачи и решать их.
Возможно организовать экскурсии, например, в сберкассы, банки, на предприятия различных отраслей и форм собственности.
Контроль уровня обученности.
Контроль уровня знаний, умений и навыков является важнейшим этапом данного элективного курса, так как текстовые задачи входят в задания ЕГЭ и в задания выпускных экзаменов основной и средней общеобразовательной школы.
Содержание каждой темы элективного курса включает в себя самостоятельную работу учащихся. После каждой темы проводится контроль знаний учащихся в виде теста, контрольной работы, самостоятельной работы или зачета. Итоговый контроль осуществляется на последних уроках в форме контрольного тестирования по всему курсу.
2. Балаян Э.Н. Как сдать ЕГЭпо математике на 100 баллов / Э.Н.Балаян. – Ростов –на – Дону: Феникс, 2003
3. Будлянская Н.Л. Решение текстовых задач: пособие для учащихся / Н.Л.Будлянская, Г.Н.Сумина – Комсомольск – на- Амуре, 2004.
4. Денищева Л.О. Учебно – тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену: математика / Л.О.Денищева, Ю.А.Глазков, К.А.Краснянская – М., Интеллект – Центр, 2005.
8. Кочагина М.Н. ГИА – 2009, Математика, сборник заданий / М.Н.Кочагина, В.В.Кочагин, - М., Эксмо, 2009.
9. Кузнецова Л.В. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс / Л.В.Кузнецова, Е.А.Бунимович, Б.П.Пигарев, С.Б.С уворова – М., Дрофа, 2002.
11. Лурье М.В. Задачи на составление уравнений / М.В.Лурье, Б.И.Александров – М., Наука,1990.
12. Ляпин М.П Сборник задач по элементарной математике / М.П.Ляпин, Издательство Казанского университета, 1975.
13. Орехов Ф.А. Решение задач методом составления уравнений / Ф.А.Орехов – М., Просвещение, 1971.
14. Сканави М.И. Сборник задач по математике с решениями. 8-11 классы. / М.И.Сканави, В.К.Егерев, В.В.Зайцев, Б.А.Кордемский, Т.Н.Маслова- М., Оникс 21 век, 2004.
15. Соломоник В.С. Сборник вопросов и задач по математике. / В.С.Соломоник, П.Н.Милов,М., “Высшая школа”,1967.
Уроки 1-2.
Тема:Введение. Решение текстовых задач.
Цели:познакомить с понятием “текстовые задачи”, с видами текстовых задач; формировать осознанный подход к решению текстовых задач; развивать логическое мышление, сообразительность и наблюдательность учащихся.
Ход урока.
I. Объяснение нового материала.
Начиная с 2003 года, в экзаменационные материалы ЕГЭ включаются текстовые задачи. А с 2009 года на текстовые задачи будет выделяться больше внимания, так как эти задачи связаны с различными сферами человеческой деятельности.
Мы называем «текстовыми» задачи, традиционно называющиеся задачами на составление уравнений. Главным, что объединяет задачи такого типа, является лишь то, что условие задано в форме некоторого текста, без формул, даже без буквенных обозначений неизвестных.
Решение текстовых задач обычно осуществляется в несколько этапов:
1) введение неизвестной величины;
2)составление уравнения (или нескольких уравнений) и (при необходимости) неравенств;
3) решение полученных уравнений (неравенств);
4) отбор решений по смыслу задачи – то есть проверка ответа.
Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако, прежде всего, необходимо научиться различать основные типы задач и решать простейшие из них.
Мы будем рассматривать следующие типы текстовых задач:
- задачи на проценты;
- задачи на смеси (сплавы);
- задачи на разбавления;
- задачи на части;
- задачи на отношения;
- задачи на работу;
- задачи на движение;
-задачи, где неизвестные являются членами арифметической и геометрической прогрессии;
- геометрические задачи;
- физические задачи и т.п.
Мы на сегодняшнем уроке будем рассматривать решения простейших текстовых задач.
I I. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.Задача на проценты.
Цистерна вмещает 40т бензина. После заливки в нее некоторого количества бензина осталось незаполненным 6,5% вместимости цистерны. Сколько тонн бензина залили в цистерну?
Решение. Цистерну залили на 100% - 6,5% = 93,5%.
93,5%
Следовательно, в цистерну залили 40 ∙ ──── = 37,4 т бензина.
100%
Ответ: 37,4.
Пример 2.Задача на движение.
На путь между двумя деревнями пешеход затратил на 4 ч 30 мин больше, чем мотоциклист. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, скорость пешехода составляет 1/10 скорости мотоциклиста. Найдите расстояние между деревнями.
1
Решение.Найдем скорость пешехода: ── ∙ 40 = 4 км/ч.
10
Пусть мотоциклист может проехать расстояние между деревнями за Хч, тогда пешеход может пройти это расстояние за (Х + 4,5) ч. Таким образом, пешеход пройдет 4(Х+4,5) км, мотоциклист проедет 40Х км.
Так как по условию задачи эти величины равны, получим уравнение:
4(Х+4,5) = 40Х,
откуда находим Х = 0,5.
Следовательно, расстояние между деревнями равно 0,5 ∙ 40 = 20 (км)
Ответ:20.
Пример 3.Соотношения между натуральными числами.
Сумма цифр между натуральными числами равна 12. Если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти исходное число.
Решение.Пусть искомое число имеет вид 10х + у. Тогда по условию
х + у = 12. (1)
Получим:
10х + у + 36 = 10у + х, т.е.
х – у = -4. (2)
Складывая (1) и(2), получим 2х = 8. Откуда х = 4, а у = 8.
Ответ:48.
Домашнее задание.
1. Весной яблоки продавались по 35 руб. за килограмм, а к осени их цена была снижена сначала на 20%, а затем еще на 15%. Какой стала цена яблок после второго снижения?
Ответ: 23, 80.
2. Расстояние между деревней и поселком мотоциклист проезжает на 0,4 ч быстрее велосипедиста. Скорость мотоциклиста 18км/ч, а скорость велосипедиста составляет 8/9 скорости мотоциклиста. Найдите расстояние между деревней и поселком.
Ответ: 57,6.
Уроки3-4.
Тема. Деление на части.
Цели.Формироватьумение решатьзадачи на деление на части; развивать логическое мышление; активизировать познавательную и творческую деятельность.
Ход урока.
I .Проверка домашнего задания.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
Найдите значения х и у такие, чтобы каждое из двух равенств было верным.:
х 3 у 6,4
1) ── = ── и ── = ──
у 8 25 5
2 1
2)х : 1─ = у : 3 ─ и у : 1,5 = 0,2 : 0,75
3 3
I I I. Объяснение нового материала.
Определение. Пропорцией называется равенство двух отношений. Пропорции записывают следующим способом:
а с
─ = ─
в д
Определение.Две величины называются пропорциональными, если при изменении одной из них в несколько раз другая изменяется в такое же количество раз.
Определение.Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается в такое же количество раз.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.Числители трех дробей пропорциональны числам 1,2,5, а знаменатели соответственно числам 1,3,7. Среднее арифметическое
200
этих дробей равно ── . Найти эти числа.
441
Решение.Числители дробей: х, 2х, 5х.
Знаменатели дробей: у, 3у, 7у.
х 2х 5х
Дроби: ─ , ─ , ─ .
у 3у 7у
Из условия задачи следует:
х 2х 5х 200
﴾ ─ + ─ + ─ ﴿ : 3 = ──
у 3у 7у 441
50х 200
── = ───
63у 441
х 4
─ = ─ - первая дробь
у 7
2х 8
── = ── - вторая дробь;
3у 21
5х 20
─ = ── - третья дробь.
7у 49
4 8 20
Ответ: ─ , ── , ── .
7 21 49
Пример 2.Площади трех участков земли находятся в отношении
11 11 11
─ , ─ , ─ . Известно, что с первого участка собрано зерна на
4 6 8
72 ц больше, чем со второго. Найти площадь всех трех участков, если средняя урожайность составляет 18 ц с 1га.
Х 6 у 4
Решение.Пусть х, у, z – плoщади участков.Тогда ─ =─ , ─ = ─ у 4 z 3
Откуда х = 6к, у = 4к, z = 3к. По условию,
(6к - 4к) ∙ 18 = 72,
к = 2.
Значит, площадь всех участков составляет
х + у + z = 2(6 + 4 + 3) = 26 (га).
Ответ:26.
Пример 3.Для полировки медных изделий пользуются следующим составом: 10 частей воды, 5 частей нашатырного спирта, 2 части мела (по массе). Сколько граммов каждого вещества надо взять для приготовления 680 г состава?
Значит, надо взять воду – 400 г, нашатырный спирт – 200 г, мел – 80г.
Ответ:400,200,80.
Задания для самостоятельной работы.
Пример 1. Латунь представляет собой сплав меди и цинка, массы которых пропорциональны соответственно числам 7 и 3. Сколько меди и сколько цинка в 500 г латуни?
Ответ: 350 г,150 г.
Пример 2.Для получения крахмала берут рис и ячмень: 4 части ячменя и 1 часть риса (по массе). Сколько килограммов ячменя и сколько килограммов риса надо взять, чтобы получить 45 кг крахмала?
Ответ: 36 кг, 9 кг.
Домашнее задание.
Пример 1.Сплав железа с углеродом – сталь. Массы железа и углерода в сплаве пропорциональны числам 49 и 1. Сколько железа и сколько углерода в 1т стали?
Ответ:980 кг, 20 кг.
Пример 2.Проехав 120 км, что составляло половину всего пути, пассажир лег спать и спал до тех пор, пока не осталось ехать половину того пути, который он проехал спящим. Сколько километров пути пассажир проехал спящим?
Ответ: 80 км.
Урок 5-6.
Тема.Отношения «больше», «меньше».
Цели:формировать умение решать текстовые задачи на отношения «больше», «меньше»; формировать умение сравнивать и анализировать.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
Какие из приведенных формул являются прямой пропорциональностью, обратной пропорциональностью или не являются ни тем, ни другим:
Р = 5,2b a = 8q + 1
К = п/2 c = 4: d
а = 8/b S = vt
М = m : S ab = 18
G =1 /4k S = a2
I I I. Объяснение нового материала.
Среди текстовых задач нередко встречаются задачи “ на сравнение”, то есть какие – либо величины сравниваются. Рассмотрим конкретный пример.
Пример. Один фермер получил средний урожай гречихи 21ц с 1га, а другой, у которого под гречихой было на 12га меньше, добился среднего урожая 25ц с 1га. В результате второй фермер собрал на 300ц гречихи больше, чем первый. Сколько центнеров гречихи было собрано каждым фермером?
Решение.Составим следующую таблицу.
Фермер
Площадь (га)
Урожайность (ц/га)
Масса (ц)
Первый
Х
21
21х
второй
Х - 12
25
25(х – 12)
По условию, 25(х – 12) – 21х = 300, откуда х = 150.
Тогда 21х = 3150(ц), а 25(х – 12) = 3450(ц).
Ответ:3150, 3450.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример.Два парка общей площадью 110 га разбиты на равные количества участков. Участки каждого парка по площади равны между собой, но отличаются от участков другого. Если бы первый парк был разбит на участки такой же площади, как второй, то он имел бы 75 участков, а если бы второй был разбит на такие же участки, то он содержал бы 108 участков. Определить площадь каждого парка.
Решение.Пусть S - площадь парка, n - число равновеликих участков, Q - площадь участка. Тогда S/n = Q. Данными и искомыми значениями заполним таблицу.
Парк
первоначально
При новом разбиении
S
n
Q
S
n
Q
первый
х
108х
───
110-х
110-х
───
108
х
75
х
──
75
второй
110-х
75(110-х)
─────
х
х
─
75
110-х
108
110-х
───
108
По условию, 108х 75(110-х)
─── = ────── ,
110-х х
откуда х = 50.
Ответ: 50 и 60 га.
Задание для самостоятельной работы.
Пример 1.Длины сторон двух квадратов пропорциональны числам 5 и 4. Если стороны каждого из квадратов уменьшить на 2см, то разность площадей полученных квадратов будет равна 28 см2 . найдите сторону большего квадрата.
Решение.Пусть сторона первого квадрата будет рвана 5х см, тогда сторона второго квадрата равна 4х см. После уменьшения стороны квадратов стали равными (5х – 2)см и (4х – 2)см соответственно, а их площади (5х – 2)2 и (4х -2)2 см2 . По условию задачи
(5х – 2)2 - (4х -2)2 =28.
Решая уравнение, получим
14
х = 2 или х = - ── .
9
Так как по смыслу задачи значения х положительные, то х = 2. Тогда сторона большего квадрата равна 5 ∙ 2 = 10(см).
Ответ:10.
Домашнее задание.
Пример 1.Найдите двузначное число, если число его десятков на 3 меньше числа единиц, а сумма квадратов цифр этого числа равна 89.
Ответ: 58.
Пример 2.Отношение сторон прямоугольника равно 3: 2. Если каждую из них увеличить на 1см, то площадь прямоугольника увеличится на 3см. Найдите периметр первого прямоугольника.
Ответ: 4.
Уроки 7-8.
Тема.Соотношения между натуральными числами.
Цель.Формировать умение решать задачи на соотношения между натуральными числами; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации; осуществить контроль усвоения полученных знаний.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
1) Найти делитель, если делимое равно 6045, частное 15, и остаток -15.
2) Пятую часть числа 20280 увеличить на 4 и полученный результат уменьшить в 4 раза.
3) Как изменится отношение, если: предыдущий член его увеличить в 3 раза, а последующий – в 2 раза; предыдущий член увеличить в 3 раза, а последующий уменьшить в 2 раза?
4) Определить отношение веса сухого вещества к весу воды, если сухое вещество растворено в 12 л воды, а весь раствор весит 15 кг.
I I I. Объяснение нового материала.
При решении задач на соотношения между натуральными числами используют следующие утверждения:
1) если к натуральному числу х приписать справа n - значное число у, то получится число 10nх + у;
2) если а и в - натуральные числа, причем а >в и а не кратно в, то существует и при том единственная пара натуральных чиселg и r таких, что а =в g + r, где r < g.
Пример.Запись шестизначного числа начинается цифрой 2. Если эту цифру перенести с первого места на последнее, сохранив порядок остальных пяти цифр, то вновь полученное число будет втрое больше первоначального. Найти первоначальное число.
Решение.Первоначальное шестизначное число имеет вид 2∙ 105 + х. После перенесения цифры 2 на последнее место получим число
10х + 2. Согласно условию,
10х + 2 = 3(2∙ 105 + х), откуда х = 85714.
Итак, первоначальное число 285714.
Ответ:285714.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.Задумано целое положительное число. К его записи присоединили справа цифру 7 и из полученного нового числа вычли квадрат задуманного числа. Остаток уменьшили на 75% этого остатка и еще вычли задуманное число. В окончательном результате получили 0. Какое число задумано?
Решение.Пусть задумано число х. Далее, следуя условию, получим числа 10х + 7, 10х + 7 – х2 и остаток
25
─── (10Х + 7 – х2 ).
100 1
Тогда ─ (10Х + 7 – х2 ) – х = 0, или х2 - 6х – 7 = 0.
4
Решая данное уравнение, получим х = 7 и х = - 1.
Годится лишь значение х = 7.
Ответ:7.
Контрольная работа.
Вариант 1.
1) Трехзначное число оканчивается цифрой 2. Если ее перенести в начало записи числа, то полученное число будет на 18 больше первоначального. Найти исходное число.
Ответ: 202.
2) Найдите полусумму трех чисел, если первое относится к второму как 4,5: 3,75, и составляет 40% третьего, а сумма второго и третьего равна 400.
Ответ: 260.
Вариант 2.
1) При умножении двух чисел, из которых одно на 10 больше другого, ученик допустил ошибку, уменьшив цифру десятков произведения на 4. При делении полученного произведения на меньший множитель для проверки ответа он получил в частном 39, а в остатке 22. Найти множители.
Ответ 31, 41.
2) Числители четырех дробей пропорциональны числам 1, 2, 1, 6, а знаменатели соответственно пропорциональны числам 1, 5, 3, 7. Найдите наибольшее из этих чисел, если их среднее арифметическое равно 17/35.
Ответ: 0, 75.
Уроки 9-10.
Тема.Проценты и уравнения.
Цели:формировать умение решать задачи на проценты; развивать логическое мышление; активизировать познавательную и творческую деятельность.
Ход урока.
I.Подведение итогов контрольной работы.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
Выразите в процентах следующие числа:1/2; 1/25; 1/5; 0,8; 2; 6,4; 0,175; 0,001; 3/7; 13/11.
1
Какую часть числа составляют: 75%, 50%, 25%, 12,5%, 10%, 5%, 33─%,
2 2 3
66 ─ %, 16 ─ %?
3 3
I I I. Объяснение нового материала.
Определение.Процентом числа а называется сотая его часть.
2% = 0,02; 20% = 0,2.
Слово “процент” происходит от латинского “ центи...” (по – французски “санти”), указывающего на уменьшение единицы измерения в сто раз. Например, сантиметр – сотая доля метра.
Существуют 3 основных вида задач “на проценты”:
1.Нахождение процентов от числа.
п
Решение: а = ── ∙ в
100
2. Обратная задача:нахождение числа по его процентам..
п
Решение: в = а : ── .
100
3. Нахождение процентного отношения чисел..
а
Решение: п = ── ∙ 100.
в
Прежде чем приступать к решению задачи на проценты, следует отвечать на вопросы:
·Какая величина принята за 100%;
·Известна ли эта величина?
·Как найти величину, которая приходится на 1%;
·Что требуется найти – процент от числа или число по его процентам?
Любую задачу на проценты можно решить отдельными действиями путем приведения к единице.
Пример. Сбербанк выплачивал 3% с суммы вклада по истечении года. Сколько было начислено процентных денег на 4000 р вклада?
Решение.4000 : 100 = 40( р ) – составляет 1% вклада.
40 ∙ 3 = 120 (р) – начислено процентных денег.
Эту же задачу можно решить составлением пропорций.
4000 р – 100% 4000 ∙ 3
Х р - 3% Х = ──── = 120 (р)
100
Ответ:120 р.
Пример.С двух участков ежегодно собиралось 500 т пшеницы. После проведения агротехнических мероприятий урожай на первом участке увеличился на 30%, а на втором – на 20%. Поэтому с двух участков собрали 630 т пшеницы. Сколько пшеницы собирали с первого участка первоначально?
Решение.Пусть с первого участка собирали Х т пшеницы, тогда со второго - (500 – Х )т. После проведения агротехнических мероприятий с первого участка стали собирать 1,3Х т пшеницы, а со второго – 1,2(500 – Х) т. С двух участков стали собирать
(1,3Х +1,2(500 – Х)) т, что по условию задачи составляет 630т. Составим и решим уравнение:
1,3Х +1,2(500 – Х) = 630.
Получим: Х = 300.
Таким образом, с первого участка до агротехнических мероприятий собирали 300 т пшеницы.
Ответ: 300.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.Из молока, жирность которого составляет 5%, изготовляют творог жирностью 15,5% , при этом остается сыворотка жирностью 0,5%. Сколько творога получается из 1т молока?
Решение.Пустьполучено Х тонн творога жирностью15,5%, тогда останется 1 – Х тонн сыворотки жирностью 0,5%. Следовательно, в 1т молока содержится
15,5Х 0,5(1 – Х) 15Х + 0,5
──── + ────── = ─────── т жира.
100 100 100
15Х + 0,5 5
По условию, ────── = ─── , откуда Х= 0,3 (т).
100 100
Ответ:300 кг.
Самостоятельная работа.
Пример 1.Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный 15%. Сколько получится сушеных грибов из 17 кг свежих? Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 3,4 кг сушеных?
Решение.100% - 90% = 10% - приходится на сухое вещество в свежих грибах.
17 : 10 =1,7 (кг) – масса сухого вещества в 17 кг свежих грибов и в сушеных грибах.
1,7 : 85 =0,02 (кг) – приходится на 1% массы сушеных грибов.
0,02 ∙ 100 = 2 (кг) –масса сушеных грибов.
Ответ: 2кг.
Пример2.При выполнении контрольной работы по математике 12% учеников не выполнили ни одного задания, 32% допустили ошибки, а остальные 14 человек решили задания верно. Сколько всего учеников в классе?
Решение.Сначала узнаем, сколько процентов учеников выполнило задание верно. 100% - (12% + 32%) = 56%.
14 учеников - 56%
х учеников - 12% 14 ∙ 12
Составляем пропорцию: х = ───── = 3
56
Значит, 3 ученика не выполнили ни одного задания.
14 учеников - 56%
х учеников - 32% 14 ∙ 32
Составляем пропорцию: х = ───── = 8.
56
8 учеников допустили ошибки. Значит, всего в классе 14 + 2 + 8 = 25 учеников.
Ответ:25.
Домашнее задание
Пример 1.В двух залах кинотеатра было 640 мест для зрителей. После замены кресел число мест в первом зале увеличилось на 20%, во втором – на 15%. Сколько новых кресел установили в первом зале, если общее количество мест в двух залах увеличилось на 180?
Ответ: 320.
Пример 2.В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска готовой продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?
Ответ: 7,1%.
Уроки11 -12.
Тема.Торгово – денежные отношения.
Цели:формировать умение решать задачи на торгово – денежные отношения; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации; активизировать познавательную и творческую деятельность.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
1)Спрос на товар увеличился в 5 раз. На сколько процентов увеличился спрос?
2) Объем товаров увеличился на 200%. Во сколько раз произошло увеличение?
3) Квартплата составляла 2000 руб. Какой стала квартплата после ее увеличения на 120%?
4) число непроданных на сеанс билетов в кинотеатре составляет 15% от числа проданных билетов. Сколько продано билетов на сеанс, если всего в кинотеатре 460 мест?
I I I. Объяснение нового материала.
При решении задач на торгово – денежные отношения, как было рассмотрено на прошлых уроках, сначала надо анализировать условия. Анализируя условия, сначала надо определить какая величина принята за целое (за 100%). Далее следует выяснить, известна ли эта величина. После этого уже нетрудно определить, какая величина приходится на одну долю, и выполнить действия, необходимые для нахождения ответа на вопрос задачи. Рассмотрим конкретную задачу.
Пример.Цену товара сперва снизили на 20%, затем новую цену снизили еще на 15%, и, наконец, после перерасчета произвели снижение еще на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?
Эту задачу проще решить чисто арифметически, не составляя уравнение.
Решение.1. Пусть первоначальная цена товара Х рублей, что соответствует 100%.
2. Тогда после первого снижения цена товара будет Х - 0,2Х = 0,8Х (руб).
3. После второго снижения 0,8Х – 0,25 ∙ 0,8Х=0,68Х (руб).
4. После третьего снижения 0,68Х – 0,68Х ∙ 0,2 = 0,612Х (руб).
5.Всего цена товара снизилась на Х- 0,612Х = 0,388Х (руб).
Составим пропорцию: Х – 100%
0,388Х – У%.
0,388Х ∙ 100%
У% = ───────── = 38,8%
Х
Ответ:38,8%.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.Цена товара была понижена на 20%. На сколько процентов ее нужно повысить, чтобы получить исходную цену?
Решение.Пусть исходная цена товара – Хруб. После понижения цена составила 80%, т.е. 0,8Х руб. Теперь
0,8Х - 100%
Х - ?%. 100Х
Старая цена составит ─── = 125% от новой. То есть повысить
0,8Х
цену нужно на 25% .
Ответ:25%.
Пример 2.Две шкурки общей стоимостью в 2250 руб. были проданы на аукционе с прибылью в 40%. Какова стоимость каждой шкурки, если от первой было получено прибыли 25%, а от второй – 50%.
Решение.Пусть Х (руб) – стоимость первой шкурки, тогда 2250-Х (руб) – стоимость второй шкурки. После продажи за первую шкурку было получено 1,25Х (руб), а за вторую – 1,5(2250 – Х) (руб). Согласно условию, составляем уравнение
Пример 1.Апельсины подешевели на 30%. Сколько апельсинов можно теперь купить на те же деньги, на которые раньше покупали 2,8 кг?
Ответ: 4 кг.
Пример 2.Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стгоимость 2000 руб., а окончательная 1805 руб?
Ответ. На 5%.
Домашнее задание.
Пример 1.Цена на фрукты возросла на 15%, за счет чего на сумму в 230 руб было приобретено фруктов на 3 кг меньше. На сколько рублей возросла цена 1 кг фруктов?
Ответ: на 1,5 руб.
Пример 2.Цена товара была дважды повышена на одно и то же число процентов. На сколько процентов повышалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 6000 руб., а окончательная 6615 руб?
Ответ: на 5%.
Урок 13.
Тема:“Вкладывайте деньги...”
Цели:формировать умение решать экономические задачи, т.е. задачи на банковские отношения; формировать умение анализировать; развивать исследовательскую деятельность учащихся.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I.Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
1) Для увеличения данного числа на 30% достаточно умножить это число на ...
2) Для уменьшения данного числа на 20% достаточно умножить это число на ...
3) Для умеьшения данного числа на 12,5% достаточно умножить его на ...
4) вычислите устно: 25% от 3,6; 50% от 63 руб 50 коп; 75% от 600 руб; 15% от 240; 40% от1060; 10% от 1263; 1% от 0,04.
I I I. Объяснение нового материала.
Часто приходится решать экономические задачи, в частности задачи на банковские отношения. Рассмотрим конкретный пример.
Пример.Банк ежегодно увеличивает на одно и то же число процентов сумму, имеющуюся на вкладе к моменту начисления процентов. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма, если за два года она возросла с 2000 до 2420 рублей?
Решение.Пусть ежегодно имеющаяся на счете сумма увеличивается на Х%. В первый раз за 100% мы должны принять сумму, имеющуюся на счете к началу первого года, то есть 2000 рублей. Тогда через год на счете окажется Х
( 2000 + ─── ∙ 2000) = (2000 + 20Х) рублей .
100
Для расчета процентов за второй год мы должны принять за 100% уже сумму, имеющуюся на счете к началу второго года, то есть (2000 + 20Х) рублей. Тогда по происшествии второго года на счете окажется
по условию задачи составляет 2420 рублей. Составим и решим уравнение
0,2Х2 + 40Х + 2000 = 2420.
Находим Х = -210 или Х = 10.
Так как по условию задачи значения Х должны быть положительными, то Х = 10. Итак, ежегодно сумма вклада увеличивалась на 10%.
Ответ:10%.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 1. Клиент внес 3000 рублей на два вклада, один из которых дает годовой доход, равный 8%, а другой – 10%. Через год на двух счетах у него было 3260 рублей. Какую сумму клиент внес на каждый вклад?
Решение.Пусть клиент внес на первый вклад Х рублей, а на второй (3000 – Х) рублей. Через год на первом счете у него окажется (Х + 0,08Х) = 1,08Х рублей, а на втором – (3000 – Х + 0,1(3000 – Х)) = (3300 – 1,1Х) рублей. Составим и решим уравнение
1,08Х + 3300 – 1,1Х = 3260
0,2Х = 400
Х = 2000.
Итак, клиент внес на первый вклад 2000 рублей, а на второй – 3000-2000 = 1000 рублей.
Ответ:2000;1000.
Домашнее задание.
Собрать материал для подготовки и защиты проекта “Вкладывайте деньги...” по одной из проблем:
-вложение в банк (на какой банк и на какой счет);
-вложение в бизнес ( бытовое обслуживание, торговля, общепит, сетевой маркетинг);
-вложение в развитие производства (строительство, промышленность, сельское хозяйство, научно – техническая сфера, искусство).
Урок 14.
Тема.Экскурсии в сбербанки, сберкассы или на предприятия различных отраслей и форм собственности.
Цели.Выяснить, как используются процентные расчеты в банковском деле, на производстве, в бизнесе; сбор материала для защиты проекта “Вкладывайте деньги...”
Уроки 15 – 16.
Тема.Правило начисления сложных процентов.
Цели.Формировать умение решать экономические задачи с использованием формул простого и сложного процентного роста; развивать логическое мышление; умение работать в проблемной ситуации.
Ход урока.
I Проверка домашнего задания.
Защита проекта «Вкладывайте деньги...”
I I . Объяснение нового материала.
Мы на прошлом уроке решили несколько задач на банковские отношения. Эти же задачи можно решить другим способом, используя следующие формулы:
рп
Простой процентный рост: Sп = (1+ ─── ) S,
100
где S – начальная сумма вклада,
р – месячный процент,
п–время хранения вклада. р
Сложный процентный рост: : Sп = (1+ ─── )п S.
100
Рассмотрим тот же пример.
Пример.Банк ежегодно увеличивает на одно и то же число процентов сумму, имеющуюся на вкладе к моменту начисления процентов. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма, если за два года она возросла с 2000 до 2420 рублей?
Решение.Данный пример на сложный процентный рост.
р
Sп = (1+ ─── )п S. Подставляем значения:
100
р
2420 = (1+ ───)2 2000
100
2420 100 +р
─── = ( ──── )2
2000 100
12100 = 10000 + 200р + р2
р2 + 200р – 2100 = 0.
Решая данное квадратное уравнение, получим р = 10 или р = -210.
Ответ:10%.
I I I. Закрепление пройденного материала.
Самостоятельная работа.
Пример.Какая сумма будет на счете через 4 года, если на него положены 2000руб под 30% годовых?
Решение .Данный пример на сложный процентный рост.
30
(1+ ─── )4 ∙ 2000 = 5712,2(руб)
100
Ответ:5712,2.
IV. Домашнее задание.
Пример.Сумма в 1000руб уменьшается ежемесячно на 5%. Через сколько месяцев эта сумма сократится до: 1)750руб; 2)500руб; 3)250руб; 4)50руб?
Ответ: 5мес; 10мес; 15мес;19мес.
Уроки 17 – 18.
Тема.Задачи на смеси (сплавы).
Цели.Формировать умение решать задачи на смеси и сплавы; развивать умение анализировать, сравнивать и обобщать; развивать логическое мышление.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I. Объяснение нового материала.
При решении задач на сплавы и смеси используют следующие допущения:
1) все полученные сплавы, смеси, растворы считаются однородными;
2) не делается различие между литром как мерой вместимости и литром как мерой количества жидкости (или газа).
Если смесь (сплав, раствор) массы т состоит из вещества А,В и С
тА
(имеющих соответственно массы тА,тВ,тС), то величину ──
тВ тС т
(соответственно ── и ── ) называют концентрацией вещества А
т т тА тВ
(В,С) в смеси, а величину ── ∙ 100% (соответственно ── ∙ 100% ,
тСтт
─── ∙ 100%) – процентным содержанием вещества А
т
(соответственно В,С) в смеси. При этом выполняется равенство
тА тВ тС
── + ── + ── = 1.
т т т
В задачах такого типа обычно присутствуют три величины, соотношение между которыми позволяет составлять уравнение:
- концентрация ( доля чистого вещества в смеси);
- количество чистого вещества в смеси (или сплаве);
- масса смеси (сплава).
Соотношение между этими величинами следующее:
Масса смеси ×концентрация = количество чистого вещества.
Пример.Из 40т железной руды выплавляют 20 т стали, содержащей 6% примесей. Каков процент примесей в руде?
20 ∙ 6%
Решение.1) ──── = 1,2т – примеси в стале;
100%
2) 40 – 20 = 20т.
3) 20 + 1,2 =21,2т – примеси в руде;
21,2
4) ─── ∙ 100% =53% - примеси в руде
40
Ответ:53%.
I I I. Закрепление пройденного материала.
Пример1.Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
Решение.1) Пусть 30%-ного раствора взято Х граммов, а 10%-ного раствора взято У граммов.
2) Х+У =600.
3)В полученной смеси 600 ∙ 0,15 = 90г кислоты.
4) 0,3Х + 0,1У = 90.
Составим систему и решим ее.
Х+У = 600
0,3Х + 0,1У = 90.
Х = 150; У = 600 – 150 = 450.
Ответ:150,450.
Пример 2.Сплавили 300г сплава олова и меди, содержащего 60% олова, и 900г сплава олова и меди, содержащего 80% олова. Сколько процентов олова в получившемся сплаве?
Решение.Масса олова в первом сплаве 0,6 ∙ 300 = 180г, во втором –
0,8 ∙900= 720г. Тогда масса олова в новом сплаве 180 + 720 = 900г. Масса нового сплава 300 + 900 = 1200г. Процентное содержание олова в нем 900
─── ∙ 100% = 75%
1200
Ответ:75%.
Самостоятельная работа.
Пример 1.Сплавили 2кг сплава цинка и меди, содержашего 20% цинка, и 6кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве.
Ответ: 65%.
Пример 2.Смешали 300г 60%-ного раствора серной кислоты и 200г 80%-ного раствора серной кислоты. Сколько процентов серной кислоты в получившемся растворе?
Ответ: 68%.
Домашнее задание.
Пример 1.В сплав магния и алюминия, содержащий 22кг алюминия, добавили 15кг магния., после чего содержание магния в сплаве повысилось на 33%. Сколько весил сплав первоначально?
Ответ: 25кг.
Пример 2.Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15кг, содержащий 40% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 30% меди?
Ответ: 5кг.
Уроки 19 – 20.
Тема.Задачи на разбавление.
Цели:формировать умение решать задачи на разбавление; осуществить оперативный контроль учащихся; развивать умение анализировать.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I.Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
-Какие величины присутствуют в задачах на смеси и сплавы?
-Какое соотношение имеется между этими величинами?
-Какие допущения можно использовать при решении задач на смеси и сплавы?
I I I. Объяснение нового материала.
Рассмотрим задачи такого же типа, но где вещество разбавляется водой какого – то количества.
Пример.Сколько литров воды надо добавить к 20л пятипроцентного раствора соли, чтобы получить четырехпроцентный раствор?
Решение.Соль содержится в каждом из растворов. В 20л. пятипроцентного раствора соли содержится 20 ∙ 0,05 = 1 (ед) соли. Ее количество не меняется. Доливается только вода. Узнаем, каково ее количество.
Обозначим Х(л) – количество добавленной воды. Из условия задачи получаем, что 4%-ую концентрацию раствора характеризует уравнение
1
──── = 0,04. Отсюда Х = 5.
20 + Х
Ответ:5.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример.Из бака, наполненного спиртом, отлили часть спирта и долили до прежнего объема водой, затем из бака отлили столько же литров смеси, сколько в первый раз отлили спирта, после чего в баке осталось 49л чистого спирта. Сколько литров спирта отлили из бака в первый раз, если в баке содержалось 64л?
Решение.1) Пусть из бака отлили в первый раз Х литров спирта. В баке осталось (64 – Х) литров спирта.
2) После того, как бак долили водой, в нем осталось 64 л смеси.
64 - Х
Следовательно, в 1л смеси содержалось ─── литров спирта.
64
3) Так как во второй раз отлили Х литров смеси, то спирта отлили во
64 - Х
второй раз ( ──── )Х литров.
64
4) Из условия следует, что из бака отлили всего 64 – 49 = 15 л спирта.
5) Составим уравнение и решим его:
64 - Х
Х + ──── = 15.
64
Откуда Х = 8, Х = 120( не удовлетворяет условию).
(64 – 8)∙8
Во второй раз отлили ──── =7.
64
Ответ. 8л,7л.
Контрольная работа.
Вариант 1.
1)Сколько надо добавить воды к 100г сухого молока с содержанием 7% воды, чтобы получить молоко с содержанием 60% воды?
Ответ: 132,5г.
2) В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных – 20%. На сколько процентов уменьшается масса яблок при сушке?
Ответ: на 75%.
3) При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?
Ответ: 2:1.
Вариант 2.
1) Сколько граммов воды надо добавить к 180г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20%?
Ответ: 45г.
2) Абрикосы при сушке теряют 60% своей массы. Сколько процентов воды содержат свежие абрикосы, если в сушеных абрикосах 25% воды?
Ответ: 70%.
3) Имеется 2 сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 70%, а во втором – 40% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 50% меди?
Ответ: 1:2.
Уроки 21 – 22.
Тема.Задачи, где неизвестные являются членами прогрессии.
Цели.Формировать умение решать задачи, где неизвестные являются членами прогрессии; развивать логическое мышление; развивать навыки самостоятельной работы.
Ход урока.
I . Подведение итогов контрольной работы.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
-Какая числовая последовательность называется арифметической прогрессией?
- Формула п –го члена арифметической прогрессии?
- Формулы суммы п первых членов арифметической прогрессии?
-Какая числовая последовательность называется геометрической прогрессией?
- Формула п –го члена геометрической прогрессии?
- Формулы суммы п первых членов геометрической прогрессии?
I I I. Объяснение нового материала.
Мы вспомнили нужные нам формулы арифметической и геометрической прогрессий.
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
ап = а1 + d(n – 1)
а1 + ап
Sп = ──── ∙ n
2
2 а1 + d(n – 1)
Sп= ──────── ∙ n
2
bп = b1 ∙ gп-1
b1(gп – 1)
Sп = ──────, g‡1
g - 1
bп∙ g - b1
Sп = ───────, g‡1
g - 1
Рассмотрим задачи, где неизвестныеявляютсячленамипрогрессии.
Пример1.Для оплаты пересылки четырех бандеролей понадобилось 4 различные почтовые марки на общую сумму 28 рублей. Определить стоимость марок, приобретенных отправителем, если эти стоимости составляют арифметическую прогрессию, а самая дорогая марка в 2,5 раза дороже самой дешевой.
Решение.1) Пусть Х рублей – стоимость самой дешевой марки.
2) Тогда 2,5Х рублей – стоимость самой дорогой марки.
3) Стоимость всех четырех марок по условию есть сумма членов арифметической прогрессии, т.е.
Х + 2,5Х
───── ∙ 4 = 28, откуда Х = 4.
2
4) Из формулы общего члена арифметической прогрессии имеем:
а4 = а1 + 3d, 2,5Х = Х + 3d, 10 = 4 + 3d, d= 2.
а2 = 4+ 2 = 6, а3 = 6+ 2 = 8.
Ответ:4; 6; 8; 10.
Пример 2.Число посетителей вновь открывшегося кафе в первые 8 дней работы увеличивалось ежедневно в одно и то же число раз. Сколько человек посетило кафе в восьмой день, если в третий день было 288 посетителей, а в пятый – 648?
Решение.Последовательность чисел, равных количеству посетителей кафе в каждый из восьми дней, - геометрическая прогрессия (bп), в которой даныb3= 288 иb5=648, а найти нужноb8.
Найдем знаменатель прогрессииg. Так как
g2 =b5:b3=648 : 288 = 1,5 (g> 0).
Тогдаb8=b5∙g3= 2187.
Итак, в восьмой день кафе посетило 2187 человек.
Ответ:2187.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.В первую неделю работы очистных сооружений после их реконструкции количество вредных выбросов в реку ежедневно уменьшалось в одно и то же число раз. Сколько вредных веществ попало в реку за эту неделю, если во второй день в реку попало 128 м3, а в пятый день - 16 м3 вредных веществ?
Решение.Последовательность объемов выбросов в каждый из семи дней – геометрическая прогрессия (bп), в которой даныb2= 128 иb5=16, а найти нужно сумму первых семи ее членовS7.
Таким образом, за неделю в реку попало 508 м3 вредных веществ.
Ответ:508.
Самостоятельная работа.
Пример 1.Цена костюма снижалась несколько раз на одно и то же число рублей. После третьего снижения она составила 2460 рублей, а после одиннадцатого снижения – 1980 рублей. После скольких снижений цена костюма составит 50% начальной цены?
Ответ: 22.
Пример 2.Производительность линии по производству йогуртов в первые пять дней после конструкции ежедневно увеличивалось в одно и то же число раз. Сколько йогуртов было произведено в пятый день, если во второй день произвели 1200кг йогуртов, а в четвертый – 1728кг йогуртов?
Ответ: 2073,6.
Домашнее задание.
Пример 1. В соревнованиях по стрельбе за каждый промах из 50 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах – два штрафных очка, а за каждый последующий – на одно очко больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 35 штрафных очков?
Ответ: 16.
Пример 2.Себестоимость выпускаемой на новом конвейере продукции в первые полгода ежемесячно уменьшалось в одно и то же число раз. Найдите себестоимость продукции во второй месяц этого полугодия, если в четвертый месяц она составила 512 тыс. рублей, а в последний месяц – 327, 68 тыс. рублей.
Ответ: 800.
Уроки 23 – 24.
Тема. Геометрические задачи.
Цели:формировать умение решать геометрические задачи; развивать логическое мышление, умение работать в проблемной ситуации; активизировать познавательную и творческую деятельность.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
- Формула длины окружности;
- Формула площади круга;
- Формула площади прямоугольника;
- Формула объема прямого параллелепипеда.
I I I. Объяснение нового материала.
Среди текстовых задач встречаются задачи геометрического содержания. В этих задачах может требоваться решить задачу или выбрать среди предложенных уравнений (или выражений) то, которое является математической моделью задачи. Те задачи, которые требуется решить, могут решаться с помощью составления уравнения (системы уравнений) или арифметически. Рассмотрим конкретный пример.
Пример.Переднее колесо движущейся модели на протяжении 120м делает на 6 оборотов больше, чем заднее. Если окружность переднего колеса увеличить на 1/4 ее длины, а окружность заднего – на 1/5 ее длины, то на том же расстоянии переднее колесо сделает на 4 оборота больше, чем заднее. Найти длины окружностей переднего и заднего колес.
Решение.Длина окружности колеса С, число оборотов п и расстояниеSсвязаны формулой Сп =S. Для удобства заполним таблицу значений этих величин.
Колесо
До изменения
После изменения
С
S
п
С
S
п
Переднее
Х
120
120
──
Х
5Х
──
4
120
120∙4
────
5Х
Заднее
У
120
120
──
У
6У
──
5
120
120∙5
────
6У
Согласно условию, получаем систему
120 120
── - ── = 6,
Х У
96 100
── - ── = 4, откуда находим Х = 4(м), У = 5(м).
Х У
Ответ:4 и 5м.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.В некотором механизме три шестеренки разных диаметров связаны между собой так, что большая из них касается обеих меньших, причем все три шестеренки вместе имеют 60 зубцов. Когда большая шестеренка не доходит на 20 зубцов до полных четырех оборотов, вторая и третья делают соответственно 5 и 10 полных оборотов. Сколько зубцов имеет каждая шестеренка в отдельности?
Решение.Пусть Х, У, Z – числа зубцов трех шестеренок, причем
Х >У>Z и Х +У+Z = 60.
Так как шестеренки сцеплены, то за время их вращения придет в соприкосновение одинаковое число зубцов каждой шестеренки, т.е.
10 Z = 5У = 4Х – 20.
Составив из данных уравнений систему и решив ее, находим Х = 30, У = 20, Z = 10.
Ответ:30,20,10.
Самостоятельная работа.
Пример 1.Лист жести имеет форму прямоугольника, длина которого на 20 см больше ширины. По углам этого листа вырезали квадраты со стороной 5 см и сделали коробку. Объем коробки равен 1500 см3. найдите размеры листа жести.
Ответ: 20 см, 40 см.
Пример 2.Длина детской площадки прямоугольной формы на 5 м больше ее ширины. Длину площадки увеличили на 2 м, а ширину – на 5 м, при этом ее площадь увеличилась на 280 м2. Найдите площадь новой детской площадки.
Ответ: 1680 м2
Домашнее задание.
Пример 1.Под строительную площадку отвели участок прямоугольной формы, длина которого на 25 м больше ширины. При утверждении плана застройки длину участка увеличили на 5 м, а ширину – на 4 м, в результате площадь участка увеличилась на 300 м2. Найдите площадь образовавшейся строительной площадки.
Ответ: 1200 м2
Пример 2.Из прямоугольного листа картона, одна сторона которого в 2 раза больше другой, склеили коробку. Для этого по углам этого листа вырезали квадраты со стороной 5 см. найдите размеры листа картона, если объем коробки равен 5000 см2.
Ответ: 30 см, 60 см.
Уроки 25 -26.
Тема.Физические задачи.
Цели:формировать умение решать физические задачи; развивать умение сравнивать и обобщать закономерности; осуществить оперативный контроль учащихся.
Ход урока.
I . Проверка домашнего задания.
I I. Объяснение нового материала.
Среди текстовых задач нередко встречаются задачи физического содержания, которые нужно решить путем составления уравнения или арифметически. Но в любом случае необходимо знать формулы физики. Рассмотрим конкретный пример.
Пример 1.Кристалл, находясь в стадии формирования, равномерно наращивает свою массу. Наблюдая формирование двух кристаллов, заметили, что первый из них за 3 мес. дал такой же прирост массы, как второй за 7 мес. Однако по истечении года оказалось, что первый кристалл увеличил свою первоначальную массу на 4%, второй – на 5%. Найти отношение первоначальных масс этих кристаллов.
Решение.Пусть годовой прирост массы Х равен а, тогда, согласно условию, годовой прирост массы У равен 3а/7. Имеем
3а 4 Х 7
а =0,4Х, ── = 0,5У, ── ∙ ── = ──, Х : У = 35:12.
7 5 У 3
Ответ:35:12.
Пример 2.Известно, что свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Если два тела начали падать с одной высоты спустя 5 с одно после другого, то через какое время они будут друг от друга на расстоянии 220,5 м?
Решение. Воспользуемся формулой S = 4,9 t2.
Ответ: через 7 с после начала падения первого тела.
I I I.Контрольная работа.
Вариант 1.
1)Из пункта А и В, расстояние между которыми равно 450 км, выехали одновременно навстречу друг другу 2 автомобиля. Один автомобиль двигался равномерно со скоростью 60 км/ч, а другой в первый час прошел 45 км, а в каждый следующий проходил на 5 км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов автомобили встретились?
Ответ: 4.
2) В первые 7 дней марта количество продаваемых в парфюмерном магазине подарочных наборов увеличивалось на одно и то же число ежедневно. Сколько продали наборов за 7 дней, если во второй день продали 95 наборов, а в пятый день – 140?
Ответ: 875.
Вариант 2.
1) Из пункта А выехал грузовой автомобиль и двигался со скоростью 40 км/ч. Одновременно в этом же направлении из пункта В отправился легковой автомобиль, который в первый час прошел 50 км, а в каждый следующий проходил на 5 км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов легковой автомобиль догонит грузовой, если известно, что расстояние от пункта В до пункта А равно 135 км?
Ответ: 6 ч.
2) В последнюю неделю мая количество продаваемых в «Детском мире» надувных игрушек для плавания маленьких детей ежедневно увеличивалось в одно и то же число раз. Найдите отношение количества проданных игрушек 31 мая к количеству проданных игрушек 30 мая, если 27 мая было продано 45 игрушек, а 29 мая – 405 игрушек?
Ответ: 3.
Уроки 27 – 28.
Тема.Задачи «на работу».
Цели:формировать умение решать задачи «на работу»; развивать логическое мышление; активизировать познавательную и творческую деятельность.
Ход урока.
I . Анализ контрольной работы.
I I. Объяснение нового материала.
Работу характеризуют три компонента действия:
-время работы;
-объем работы;
-производительность труда (количество
произведенной работы в единицу времени).
Существует следующее соотношение между этими компонентами:
Объем работы = время работы ×производительность.
Пример.Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20 дней. Но завод выпускал ежедневно по 2 машины сверх плана, а поэтому выполнил заказ за 18 дней. Сколько машин выпустил завод?
Решение.Пусть завод должен был выпускать Х машин в день, тогда заказ составляет 20Х машин.
На самом деле завод выпускал (Х + 2) машины в день и за 18 дней выпустил 18(Х + 2) машин. По условию задачи
20Х = 18(Х + 2),
откуда Х = 18. Таким образом, завод выпустил 360 машин.
Ответ:360.
I I I. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.Планом было предусмотрено, что предприятие на протяжении нескольких месяцев изготовит 6000 насосов. Увеличив производительность труда, предприятие стало изготовлять в месяц на 70 насосов больше, чем было предусмотрено, и на один месяц раньше установленного срока перевыполнило задание на 30 насосов. На протяжении скольких месяцев было предусмотрено выпустить 6000 насосов?
Решение.Пусть за Х месяцев было предусмотрено выполнение планового задания. Тогда за (Х – 1) месяцев было выпущено 6030 насосов. В месяц по плану предприятие планировало выпускать 6000/Х насосов, а фактически выпустило в месяц 6030/Х насосов. Из условия задачи следует уравнение:
6030 6000
─── - ─── = 70.
Х Х 60
Решая уравнение, получим Х = 10 или Х = - ── ( не
7
удовлетворяет условию задачи).
Значит, было предусмотрено выпустить 6000 насосов на протяжении 10 месяцев.
Ответ:10.
Решая некоторые задачи «на работу», обычно всю работу принимают за единицу. Рассмотрим это на конкретном примере.
Пример 2.Две копировальные машины печатают рукопись. Если всю рукопись будет печатать первая машина, то работа будет выполнена на 4 мин позже, чем две машины, работая вместе. Если печатать всю рукопись будет вторая машина, то она напечатает на 25 мин позже, чем обе машины, работая вместе. За сколько минут может напечатать эту рукопись вторая машина?
Решение.Примем за единицу работу по печати всей рукописи. Пусть время печати всей рукописи первой машиной – Х (мин), а второй – У (мин). Тогда производительность первой машины 1/Х, производительность второй машины – 1/У, общая их производительность (1/Х + 1/У). Получаем время их общей работы:
1 ХУ
──── = ────.
1 1 Х + У
─ + ─
Х У
Можем составить 2 уравнения относительно времени работы:
ХУ
Х – 4 = ────,
Х + У
ХУ
У – 25 = ────;
Х + У
Решая систему из данных уравнений, получим У = 35, Х = 14 или
У = 15, Х = - 6 (не удовлетворяет условию задачи).
Итак, вторая машина может напечатать рукопись за 35 мин.
Ответ:35.
Самостоятельная работа (тест).
Пример 1.Фермеры должны были закончить сев за 5 дней. Но, узнав о предстоящем ухудшении погоды, они засевали в день на 20 га больше, чем предполагалось по плану, и поэтому закончили сев за 4 дня. Сколько гектаров они засеяли?
А: 400. В: 500. С: 200. Д: 800.
Пример 2.Первая машинистка напечатала 270 страниц, печатая в день на 2 страницы больше второй машинистки, при этом работалаона на 1 день меньше, чем вторая. Сколько страниц в день печатала вторая машинистка, если всего она напечатала 280 страниц?
А: 30. В: 42. С: 28. Д: 25.
Домашнее задание.
Пример 1.Бригада цветоводов должна была высадить в понедельник на центральных площадях города 7200 цветов. Однако три человека заболели, и каждому из вышедших на работу пришлось высадить на 400 цветов больше нормы, чтобы успеть вовремя. Сколько человек вышло на работу в понедельник?
Ответ: 6.
Пример 2.Два помощника депутата так разделили между собой работу по редактированию доклада, что закончили каждый свою часть работы одновременно, через 12 ч. Первый помощник, работая один, мог бы отредактировать доклад на 10 часов быстрее второго. Сколько часов потребовалось бы второму помощнику для выполнения этой работы?
Ответ: 30.
Уроки 29 – 30.
Тема.Задачи на движение.
Цели:формировать умение решать задачи на движение; развивать умение анализировать; развивать умение сравнивать и обобщать закономерности.
Ход урока.
I Проверка домашнего задания.
I I.Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
- По какойформуле находитсяскоростьпри равномерном движении?
- по какой формуле находится время равномерного движения?
- по какой формуле находится пройденное расстояние?
I I I. Объяснение нового материала.
При решении задач на движение принимают такие допущения:
1) движение считается равномерным (если нет специальных оговорок);
2) скорость считается величиной положительной;
3) повороты движущихся тел и переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно;
4) если тело, имеющее собственную скорость u, движется по реке, скорость течения которой равна v, то скорость тела по течению равна u + v, а скорость против течения равна u - v .
Часто при решении таких задач бывает удобно ввести систему координатtОs, где по абсцисс откладывают время, а по оси ординат – путь, пройденный телом. Тогда графиком зависимостиs=v tявляется отрезок прямой, составляющий с осью Оt угол α, тангенс которого равен значению скорости v.
Часто приходится рассматривать задачи, описывающие движение двух участников. В задачах на совместное движение участники не всегда одновременно его заканчивают. Поэтому очень важно выделить участок, на котором движение происходит действительно совместно. Кроме этого, в задачах имеются, как правило, такие участки пути, на которых передвигается один участник, в то время как другой еще не начал или уже закончил движение.
В некоторых задачах полезно найти скорость сближения (или удаления) участников – величину, показывающую, на сколько уменьшается (или увеличивается) расстояние между участниками движения в единицу времени.
Скорость сближения или удаления равна сумме скоростей участников при их движении в противоположных направлениях (навстречу друг другу или друг от друга). При движении участников в одном направлении (один убегает, другой его догоняет) скорость сближения или удаления равна модулю разности их скоростей.
Пример.Из Смоленска в Москву вышел поезд со скоростью 70 км/ч. Спустя 1 ч 40 мин из Москвы в Смоленск отправился поезд, скорость которого равна 60 км/ч. Через сколько часов после выхода поезда из Смоленска произойдет встреча, если расстояние между городами равно 420 км?
Решение.Совместное движение началось в момент выхода из Москвы первого поезда. К этому времени второй поезд прошел
5 350
70 ∙ ─ = ── (км) и расстояние между поездами сократилось до
3 3
350 910
420 - ── = ── (км).
3 3
Закончилось их совместное движение встречей. Итак, на расстоянии
910
── (км) поезда сближались со скоростью 70 + 60 = 130 (км/ч) и
3 910 1
потратили на это ── : 130 = 2─ (ч).
3 3
2 1
тогда поезд из Смоленска шел до встречи 1─ + 2─ = 4 (ч).
3 3
Ответ:4.
I I I. Закрепление пройденного материала.
Пример 1.Катер, собственная скорость которого равна 15 км/ч, прошел 60 км по реке от одной пристани до другой и вернулся обратно. За это же время спасательный круг, упавший за борт с катера, проплывет 25 км. Найдите время движения катера вверх по реке.
Решение.В данной задаче основные скорости – собственная скорость катера, равная 15 км/ч., и скорость течения, которая не дана. Обозначим скорость течения за Хкм/ч.
Тогда на путь по течению катер со скоростью (15 +Х) км/ч затратит
60
─── ч, а на путь против течения катер со скоростью (15 – Х) км/ч
15 + Х 60
затратит ─── ч.
15 - Х
Спасательный круг проплыл 25 км по течению реки за 25/Х ч. Учитывая, что по условию задачи на путь туда и обратно катер затратил такое же время, за какое спасательный круг проплыл 25 км, составим уравнение: 60 60 25
─── + ─── = ── .
15+ Х 15 – Х Х
Уравнение имеет единственный положительный корень Х =3. Итак, скорость течения равна 3 км/ч. Далее узнаем время движения вверх по реке: 60
─── = 5(ч).
15 – 3
Ответ:5.
Пример 2. Из пункта А в пункт В выехал автоьус со скоростью 40 км/ч. После того как автобус проехал 30 км, из пункта А со скоростью 60 км/ч выехал автомобиль, который прибыл в пункт В на 1/12 ч позже автобуса. Найдите расстояние между пунктами.
Решение.Совместное движение началось в момент выхода автомобиля из пункта А. К этому времени автобус прошел 30 км со скоростью 40 км/ч за 3/4 ч (30: 40 = 3/4) – это первый участок пути автобуса.
Второй участок пути автобуса начинается в 30 км от пункта А и заканчивается в пункте В. Пусть второй участок пути автобус прошел за t ч. Так как скорость движения равна 40 км/ч, то это расстояние рвано 40 t км, а в обшей сложности от пункта А до пункта В автобус прошел (30 + 40 t) км.
Закончилось совместное движение прибытием автобуса в пункт В. За t ч автомобиль со скоростью 60 км/ч прошел 60 t км, и до пункта В ему осталось пройти 60 ∙ 1/12 = 5(км). Таким образом, расстояние от пункта А до пункта В равно (60 t + 5) км.
Составим уравнение:
30 + 40 t = 60 t + 5, откуда t = 5/4. 5
Тогда расстояние от пункта А до пункта В равно 30 + 40 ∙ ─ = 80(км).
4
Ответ:80.
Самостоятельная работа.
Пример 1.Скорость велосипедиста от поселка до станции была на 1 км/ч больше , чем на обратном пути. На обратный путь он затратил на 2 мин больше. Расстояние между пунктами 7 км. Найдите первоначальную скорость велосипедиста.
Пусть Хкм/ч – скорость велосипедиста от поселка до станции. Какое из уравнений соответствует условию задачи?
7 7 1 7 7
А. ─── - ─── = ─── В. ─── + ─── = 2
Х+1 Х 30 Х – 1 Х
7 7 1 7 7
Б. ─── - ─── = ─── Г. ─── - ─── = 1
Х - 1 Х 30 Х-1/30 Х
Пример 2.Катер прошел 20 км по течению реки и такой же путь обратно, затратив на весь путь 1 ч 45 мин. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите собственную скорость катера.
Пусть Хкм/ч – собственная скорость катера. Какое из уравнений соответствует условию задачи?
20 20 20 7
А. ─── = 1,45 В. ─── + ─── = ─
Х+2 Х – 2 Х + 2 4
20 20 20 7 7
Б. ─── - ─── = 1,45 Г. ─── + ─── = ─
Х - 2 Х +2 2 - Х 2 +Х 4
Домашнее задание.
Пример 1.Из Москвы в Киев вышел поезд со скоростью 80 км/ч. Спустя 24 мин из Киева в Москву отправился поезд со скоростью 70 км/ч. Через сколько часов после выхода из Москвы произойдет встреча, если расстояние между городами равна 872 км?
Ответ: 6.
Пример 2.Из пункта А вниз по течению реки движется лодка с собственной скоростью 17 км/ч. Ей навстречу из пункта В движется катер с собственной скоростью 26 км/ч. Лодка до встречи шла 2ч, катер – 1,5ч. Какое расстояние проплывет за 3 ч плот, если расстояние между пунктами А и В равно 74 км?
Ответ: 6.
Уроки 31 – 32.
Тема.Задачи на движение по окружности.
Цели:формировать умение решать задачи на движение по окружности; развивать умение анализировать; использовать полученные навыки для решения более сложных уравнений.
Ход урока.
I. Проверка домашнего задания.
I I. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
1)Катер прошел 3 км по течению реки на 30 мин быстрее, чем 8 км против течения реки. Собственная скорость катера 15 км/ч. Пусть Х км/ч - скорость течения реки. Какое из уравнений соответствует условию задачи?
3 8 1 8 3
А. ─── - ─── = ─── В. ─── - ─── = 0,5
15 - Х 15 +Х 2 Х – 15 Х +15
8 3 1 8 3
Б. ─── - ─── = ─── Г. ─── + ─── = 30
15 - Х 15+Х 2 15 – Х 15 + Х
I I I. Объяснение нового материала.
Трудности могут возникнуть при составлении систем уравнений в тех случаях, когда происходит движение по замкнутой траектории, например, по окружности. Часто при решении таких задач картина движения представляется с трудом, и надо приложить некоторые усилия, чтобы видеть те условия, из которых вытекают те или иные уравнения.
Рассмотрим конкретный пример.
Пример 1.По окружности длиной 60 м равномерно и в одном направлении движутся две точки. Одна из них делает полный оборот на 5 с скорее другой. При этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 мин. Определить скорость точек.
Решение.Пусть первая точка проходит полный оборот за Х с, а вторая – за У с. Тогда
60 3600
V 1 = ── м/с = ─── м/мин,
Х Х
60 3600
V 2 = ── м/с = ─── м/мин.
У У
Будем полагать, что Х< У, тогда из условия задачи следует уравнение
У – Х = 5.
Так как точки встречаются каждую минуту и первая движется быстрее, то она должна за 1 мин пройти полный круг 60 м и еще столько, сколько успеет пройти за 1 мин вторая точка, т.е. 3600/У.
Отсюда имеем второе уравнение:
3600 3600
─── = ─── + 60.
Х У
Составим систему и решим ее:
У – Х = 5.
3600 3600
─── = ─── + 60.
Х У
Получим: Х = 15, У = 20.
Тогда 60 60
V 1 = ── = 4 м/с; V 2 = ── = 3 м/с.
15 20
Ответ:4 м/с; 3 м/с.
IV. Закрепление пройденного материала.
Пример 2.Два тела, движущиеся в разные стороны по окружности длиной 500 м с постоянными скоростями, встречаются каждые 125 с. При движении в одну сторону первое догоняет второе каждые 12,5с. Найдите скорости каждого тела.
Решение.При движении в одном направлении время, через которое одно тело догонит второе, можно найти по формуле:
s
─── . Пусть скорости тел равны Х м/с и У м/с, тогда получим
v2 - v1
500
первое уравнение: ─── = 125.
У – Х
При движении навстречу друг другу время, через которое тела встретятся, можно найти по формуле:
S 500
─── . Получим второе уравнение: ─── = 12,5.
v2 - v1 У + Х
Из этих двух уравнений составим и решаем систему, решением которой является пара Х = 18 (м/с) и У = 22 (м/с).
Ответ:18 м/с, 22 м/с.
Контрольная работа.
Вариант 1.
1) Две снегоуборочные машины, работая вместе, могут очистить определенную территорию от снега за 4 ч. Если бы сначала первая машина выполнила половину работы, а затем ее сменила вторая, то на всю уборку снега ушло бы 9 ч. За какое время может очистить от снега эту территорию каждая машина в отдельности?
Ответ. 6 ч, 12 ч.
2) Два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20 км. Если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5 часа после своего выхода. Если второй выйдет на 1 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 ч 40 мин после своего выхода. Какова скорость каждого пешехода?
Ответ: 4 км/ч, 5 км/ч.
Вариант 2.
1) На двух принтерах при их одновременном включении можно распечатать рукопись книги за 12 мин. Если бы сначала половину рукописи распечатали на первом принтере, а затем на втором закончили распечатку, то на всю работу ушло бы 25 мин. За сколько минут можно распечатать эту рукопись на каждом принтере в отдельности?
Ответ: 20 мин, 30 мин.
2) Из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км, должны выехать навстречу друг другу два велосипедиста. Если первый велосипедист отправится в путь на 1 ч раньше второго, то он встретит его через 1 ч 48 мин после своего выезда. Если второй отправится в путь на 1 ч раньше первого, то он встретит первого через 1 ч 36 мин после своего выхода. Найдите скорость каждого велосипедиста.
Ответ: 12 км/ч, 18 км/ч.
Уроки 33 – 34.
Тема.Контрольное тестирование по элективным курсам: “Текстовые задачи”.
Цель:осуществить контроль усвоения полученных знаний.
Ход урока.
Вариант 1.
1. Цену товара повысили на 100%, а затем снизили на 50%. Как изменится цена товара?
А. Не изменится В. Возрастет вполовину
Б. Возрастет в 2 раза Г. Снизится на 25%
2. Вкладчик положил в сбербанк 10000 р из расчета 1% годовых. Каким будет его вклад через 1 год?
А. 10001 В. 10010
Б. 10100 Г. 11000
3. Две машины, работая одновременно, могут выполнить некоторую работу за 5 дней. Первая машина может справиться с этой работой на 24 дня быстрее второй. Какой объем работы выполнит первая машина?
Пусть Х дней – время работы первой машины. Какое из уравнений соответствует условию задачи?
1 1 1 1 1
А. ─── + ─── = ── В. ─── - ─── = 0,2
Х Х + 24 5 Х Х +24
1 1 1 1 1
Б. ── + ─── = ── Г. ── - ─── = 0,2
Х Х - 24 5 Х Х - 24
4. Сберегательный банк в конце года начисляет 2% к сумме, находившейся на счету. На сколько рублей увеличится первоначальный вклад в 5000 р через 3 года?
А. 305 р В. 306,04 р
Б. 250 р Г. 500р
5. Сплавили два слитка, содержание цинка в которых было 64% и 84% соответственно. Получился сплав, содержащий 76% цинка. Его вес 50 г. Сколько весил каждый из сплавленных слитков?
А. 20 г, 30 г В. 30г, 50г
Б. 50г, 60г Г. 20г,40г.
6. Какое количество воды надо добавить в 1 литр 9%-ного раствора уксуса, чтобы получить 3%-ный раствор?
А. 5 л В. 3 л
Б. 2 л Г. 1 л.
7. Юноша подарил девушке в первый день знакомства 3 цветка, а в каждый последующий день дарил на 2 цветка больше, чем в предыдущий день. Сколько денег он потратил на цветы за две недели, если 1 цветок стоит 10 рублей?
А. 2500 р В. 2240 р
Б. 3000 р Г. 1750 р
8. Катер прошел 15 км по течению реки и 4 км по озеру, затратив на весь путь 1 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
А. 12 км/ч В. 20 км/ч
Б. 15 км/ч Г. 16 км/ч.
Вариант 2.
1. Цену товара повысили на 50%, а затем снизили на 50%. Как изменится цена товара?
А. Не изменится В. Возрастет на треть
Б. Снизится на четверть Г. Снизится на треть
2. Сбербанк в конце года начисляет 4% годовых к сумме, находящейся на счету в начале года. Каким станет первоначальный вклад в 2500 р через 1 год?
А. 2504 В. 2550
Б. 2580 Г. 2600
3. Две машины, работая одновременно, могут выполнить некоторую работу за 8 мин. Вторая машина может справиться с этой работой на 30 мин быстрее первой. Найдите время работы второй машины.
Пусть Х мин – время работы второй машины. Какое из уравнений соответствует условию задачи?
1 1 1 1 1 1
А. ─── + ─── = ── В. ─── - ─── = ─
Х Х - 30 8 Х Х +30 8
1 1 1 1 1 1
Б. ── + ─── = ── Г. ── - ─── = ─
Х Х + 30 8 Х Х – 30 8
4. Сбербанк в конце года начисляет 5% к сумме, находившейся на счету. На сколько процентов увеличится первоначальный вклад в 2000 р через 2 года?
А. 10, 25% В. 20%
Б. 11% Г. 12%
5. Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди 30% и 55% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив, получить сплав, содержащий 40% меди?
А. 5: 2 В. 3:4
Б. 3: 2 Г. 2: 7.
6. Какое количество воды надо добавить к 2 л 18%-ного соли, чтобы получить 16%-ный раствор?
А. 3 л В. 0,5 л
Б. 1 л Г. 0,25 л.
7. Расстояние между движущимися навстречу автомобилями было равно 22 км 200 м. Через сколько минут они встретятся, если первый автомобиль за каждую минуту проходит 1 км, а второй в первую минуту прошел 300 км, а в каждую последующую минуту – на 100 м больше, чем за предыдущую?
А. 15 мин В. 12 мин
Б. 30 мин Г. 60 мин.
8. Моторная лодка прошла 10 км по озеру и 4 км против течения реки, затратив на весь путь 1 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
