Cегодня наш урок ребята, посвящен решению задач ЕГЭ по теме логика. Наша цель сегодня вспомнить и повторить тему логика. Давайте сейчас вспомним таблицы истинности логических функций.

А сейчас ребята давайте вспомним основные законы алгебры логики:

1) переместительный

А v В = В v А

А Λ В = В Λ А

2) сочетательный

(А v В) v C = А v (В v C)

(А Λ В) Λ C = А Λ (В Λ C)

3) распределительный

(А v В) Λ C = (А Λ C) v (В Λ C)

(А Λ В) v C = (А v C) Λ (В v C)

4) законы де Моргана

¬(А v В) = ¬(А) Λ ¬(В)

¬(А Λ В) = ¬(А) v ¬(В)

5) закон склеивания

(А Λ В) v (¬А Λ В) = В

(А v В) Λ (¬А v В) = В

6) закон поглощения

А v (А Λ В) = А

А Λ (А v В) = А

7) закон двойного отрицания

¬(¬А) = А

8) закон исключения третьего

А v ¬А = 1

9) закон противоречия

А Λ ¬А = 0

10) законы исключения констант

А v 1 = 1

А v 0 = А

А Λ 1 = А

А Λ 0 = 0

А сейчас самое время решать задачи. Задачи на тему логика в ЕГЭ – это задачи А7, А8, А9, В4, В6.

Задача №1 (А7):

Для какого имени истинно высказывание:

¬(Первая буква имени гласная → Четвертая буква имени согласная)

1)     Елена

2)     Вадим

3)     Антон

4)     Федор

Решение задачи: Обозначим гласную букву – Г, согласную букву – С и запишем данное выражение с помощью наших обозначений:

¬( Г1 → С4) = 1

Поскольку данное высказывание истинно, а его отрицание – ложно.

Г1 → С4 = 0, это высказывание является импликацией и ложно только в том случае, когда Г1 = 1, а С4 = 0, т.е. первая и четвертая буквы – гласные. Этому условию удовлетворяет ответ 4, имя Антон.

Задача №2 (А7):

Для какого имени истинно высказывание:

Первая буква имени согласная  Λ (¬ Вторая буква имени согласная → Четвертая буква имени гласная)

1)     Иван

2)     Петр

3)     Павел

4)     Елена

Решение задачи: Запишем выражение с помощью наших обозначений:

С1 Λ (¬ С2 → Г4) = 1, это высказывание является конъюнкцией и истинно только, когда

С1 =1 и (¬ С2 → Г4) =1, а это высказывание является импликацией и истинно,

когда ¬ С2 = 1 и Г4=1, т.е. первая буква – согласная, вторая и четвертая буквы – гласные, этому условию соответствует ответ 3, имя Павел

или ¬ С2 = 0 и Г4=1, т.е. первая и вторая буквы – согласная, четвертая буква – гласная,

или ¬ С2 = 0 и Г4=0, т.е. первая, вторая и четвертая буквы – согласные,

последние два условия не удовлетворяют ни одному из ответов.

Задача №3 (А8):

Укажите какое логическое выражение равносильно выражению ¬(¬АvВ)v¬С?

1)     (А Λ ¬В) v ¬С

2)     ¬А v В v ¬С

3)     А v ¬В v ¬С

4)     (¬А Λ В) v ¬С

Решение задачи:

Используя закон де Моргана ¬(АvВ) = (¬А Λ ¬В) и закон двойного отрицания ¬(¬А)=А упростим выражение ¬(¬АvВ)v ¬С =( ¬(¬А) Λ ¬В)v ¬С = (А Λ ¬В)v ¬С, ответ 1.

Задача №4 (А8):

Укажите какое логическое выражение равносильно выражению ¬(А Λ ¬В)v С?

1)     (А v В) v ¬С

2)     (¬А Λ В) v С

3)     (¬А v В) v С

4)     (¬А v В) v ¬С

Решение задачи:

Используя закон де Моргана ¬(А Λ В) = (¬А v ¬В) и закон двойного отрицания ¬(¬В)=В упростим выражение ¬(А Λ ¬В)v С = (¬А v ¬(¬В))v С = (¬А v В) v С, ответ 3.

Задача №5 (А9):

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

1)     ¬X Λ ¬Y v ¬Z

2)     X Λ ¬Y Λ ¬Z

3)     (X v Y) Λ Z

4)     X Λ Y Λ Z

Решение задачи:

Решение сводится к проверке приведенных функций на их соответствие фрагменту таблицы истинности.

Построим четыре таких фрагмента и затем сравним:

1)

2)

3)

4)

В результате таблица истинности третьего выражения соответствует заданной.

Ответ 3.

Задача №6 (В4):

Дано логическое выражение

(K → M) V (L Λ ¬M Λ K) V N

Укажите значение переменных K, L, M, N, при которых логическое выражение ложно.

Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M, N (в указанном порядке). Так, например, строка 0101 соответствует тому, что K=0, L=1, M=0, N=1.

Решение задачи:

Дизъюнкция (a v b v c) ложна тогда и только тогда, когда a - ложно, b- ложно, c- ложно,  a= (K → M), b= (L Λ ¬M Λ K), c= N

a ложно лишь при (К,М)=(1,0) => К=1, М=0

b ложно при (L, M, K)=(0, 0, 1) => L=0, а К и М мы определили раньше

c ложно при N=0.

Поэтому ответ 1000.

Задача №7 (В4):

Сколько различных решений имеет уравнение

(K V L V M) Λ (¬L V M V N) = 0

Где K, L, M, N – логические переменные?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M, N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать количество таких наборов.

Решение задачи:

Построим таблицу истинности для этой функции:

Из таблицы истинности видим, что функция ложна 4 раза.

Ответ: 4.

Задача №8 (В6):

Пятеро одноклассников – Аня, Саша, Лена, Вася и Миша – стали победителями олимпиад школьников по физике, математике, литературе, информатике и географии. Известно, что:

1)     победитель олимпиады по информатике учит Аню и Сашу работе на компьютере;

2)     Лена и Вася тоже заинтересовались информатикой;

3)     Саша всегда побаивался физики;

4)     Лена, Саша и победитель олимпиады по литературе занимаются плаванием;

5)     Саша и Лена поздравили победителя олимпиады по математике;

6)     Аня сожалеет о том, что у нее остается мало времени на литературу.

Победителем какой олимпиады стал каждый из этих ребят? В ответе перечислите подряд без пробелов заглавные буквы названий предметов соответствующие именам Аня, Саша, Лена, Вася и Миша).

Решение задачи:

Задачу будем решать рассуждениями.

Из условия 1 и 2 задачи следует, что Аня, Саша, Лена и Вася участвовали в олимпиаде не по информатике, значит победитель по информатике – Миша.

Из условия 3 задачи следует, что Саша участвовал в олимпиаде не по физике. Из условия 4 следует, что и не по литературе, а из условия 5 – не по математике, значит Саша победитель по географии.

Из условий 4 и 5 задачи следует, Лена победитель по физике.

Из условия 6 задачи следует, что Аня победитель по математике.

А Вася победитель по литературе.

Ответ: МГФЛИ

Домашнее задание:

1. Сколько различных решений имеет уравнение (K Λ LΛ M) V (¬L Λ ¬M Λ N) = 1?
2. Для какого числа X истинно высказывание ¬((X>3)→(X>4))

1) 1          2) 2          3) 3          4) 4

3.   Мама, прибежавшая на звон разбившейся вазы, застала всех трех сыновей в совершенно невинных позах: Саша, Ваня и Коля делали вид, что произошедшее к ним не относится. Однако футбольный мяч среди осколков явно говорил об обратном.

- Кто это сделал? – спросила мама.

- Коля не бил по мячу, - сказал Саша. – Это сделал Ваня.

Ваня ответил: - Разбил Коля, Саша не играл в футбол дома. – Так я и знала, что вы друг на дружку сваливать будете, - рассердилась мама. – Ну, а ты что скажешь? – спросила она Колю. – Не сердись, мамочка! Я знаю, что Ваня не мог этого сделать. А я сегодня еще не сделал уроки, - сказал Коля. Оказалось, что один из мальчиков оба раза солгал, а двое в каждом из своих заявлений говорили правду. Кто разбил вазу?