ТЕМА УРОКА. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК.

Цели урока:

Образовательные: повторение и закрепление учебного материала, коррекция, углубление, расширение знаний по теме «Показательная функция, ее свойства и график», включение в активную познавательную деятельность.

Развивающие: развитие графической культуры, математической речи, формирование алгоритма рефлексивного мышления.

Воспитательные: воспитание активности, самостоятельности, толерантности.

                                          Ход урока.

                                                Некоторые наиболее часто

                                                                 встречающиеся виды трансцендентных

                                                                функций, прежде всего показательные,

                                                 открывают доступ ко многим

                          исследованиям.

                                    Л.Эйлер.

1. Самоопределение к деятельности, стимулирующее начало.

- Здравствуйте, ребята! Поразительна быстрота, с которой размножаются животные и растения, если они попадают в благоприятные условия, т.е. почти не имеют естественных врагов и находят вдоволь пищи. Достаточно было выпустить в Австралии на волю пару кроликов (раньше они там не водились), чтобы  через некоторое время их потомство стало национальным бедствием. А когда один южноамериканский ученый выпустил несколько экземпляров выведенного им гибрида африканских и местных пчел, рои новой породы стали занимать одну территорию за другой, распространились по всей Южной Америке и сейчас почти полностью вытеснили ранее существовавшие там виды пчел.

? Неужели это все связано с математикой? Причем здесь показательная функция? На эти и другие вопросы мы узнаем ответ в течение урока.

-Вспомните, чем мы занимались на прошлом уроке. Чему мы научились?

- Вы хорошо работали на прошлых уроках, но вы можете сказать, что у вас, у всех все получалось, вы не допускали ошибок при выполнении заданий? (Нет)

-Сегодня мы продолжим работать с показательной функцией, исследовать ее свойства, применять их для сравнения выражений, учиться строить более сложные графики показательной функции (графики с модулем), узнаем о применении показательной функции в физике, биологии, экономике и других областях. Если кто-то из вас будет допускать ошибки, ваша задача: найти эти ошибки, понять, почему вы их допустили, и исправить их.

-Для успешной работы на уроке повторим основные понятия и алгоритмы, которые мы сегодня будем использовать.

2. Актуализация знаний, локализация затруднений.

Учебный диалог.   

·        Расширение понятия какой функции привело к появлению показательной функции? (степенной функции)

·        Какая функция называется показательной?

·        Назовите область определения и множество значений функции  .

·        Укажите промежутки монотонности функции при а>1, при 0 < а <1.

Устная работа.

·        Какие из перечисленных функций являются показательными:

у = 2^х   ;  у = х ;  у = (-5)^х   ;  у = π^х  ;  у = (2х-7)²               ?

·        Какие из показательных функций являются возрастающими, а какие убывающими:

  ;    ;      ;     ?

·        Есть ли среди всех значений функции   у = 3^х    наибольшее?

·        Сравните значения выражений:

 ;    ;  

·        Укажите график функции  у = 0,5^х  ;  у =  2^х 

Какие затруднения были при выполнении заданий? Каковы их причины?

3. Включение в систему знаний (отработка имеющихся умений и формирование новых)

Задание 1. Построить графики функций   (работа в парах на месте и два ученика у доски работают на откидных досках)

1 вариант   у =  2^х   ;  у =  2^х+1   ;  у =  2^х  +1

2 вариант  ; ; 

По окончании работы проверка правильности построения графиков и обобщение результатов.

- Что произошло с графиками функций?

- Укажите множество значений функций.

- Укажите точку пересечения каждой функции с осью ординат.

- Какой сдвиг испытают графики функций      у =  2^х-1   ;   у =  2^х  -1 вдоль осей координат ?

Задание 2. Построим график функции    у =  2 ^{׀‌‌‌‌х׀}  (учитель показывает на доске решение)

По определению модуля

                      у =  2^х  , если  х ≥ 0

       2 ^{׀‌‌‌‌х׀}  =

                            у =  2 ^-х  , если х < 0

Задание 3. (Групповая работа с последующей самопроверкой по образцу) Построить графики функций  

1 и 3 группы: у =  3 ^{׀‌‌‌‌х׀}   ;  у =  3 ^{׀‌‌‌‌х-2׀}  ;  у =  ׀‌‌‌‌3^х - 2 ׀ 

                               1б.                2б.                         3б.

2 и 4 группы :  ;  ;

1б.                2б.                         3б.

у =  ׀‌‌‌‌3^х - 2׀

4. Расширение информационного поля учащихся, установление межпредметных связей.

Применение показательной функции.

Рост народонаселения. Изменение числа людей в стране на небольшом отрезке времени описывается формулой     , где  N₀  - число людей  в момент времени t=0, N – число людей в момент времени t,  a – константа.

Диагностика заболеваний. При диагностике почечных болезней часто определяют способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, причем их количество в крови падает по показательному закону.

Барометрическая формула. При постоянной температуре давление воздуха убывает с убыванием высоты над уровнем моря по закону

, где  p₀ – давление на уровне моря (h =0), p – давление на высоте  h, H -  константа, зависящая от температуры воздуха.

Формула разрядки конденсатора. Если начальное напряжение на конденсаторе равно U₀, то конденсатор будет разряжаться по закону 

      , где  t – время, в течение которого разряжается конденсатор,  R – сопротивление, C – электроемкость конденсатора.

Радиоактивный распад.

После открытия радиоактивности в опытах Беккереля и супругов Кюри возник вопрос, по какому закону происходит распад атомов? Оказалось, что количество распадающегося за единицу времени вещества всегда пропорционально имеющемуся количеству вещества.

Физики назвали промежуток времени, в течение которого распадается половина всех имеющихся атомов, периодом полураспада данного вещества. Этот период различен для разных веществ: для урана-238 он равен 4,5 млрд лет, для радия – 1620 лет, для полония – 84 года, для цезия-137 – 31 год, для иода-131 – 8 суток.

Например, за время равное 4,5∙10⁹ лет при распаде урана-238 распадается половина от начального числа атомов, т.е. при увеличении времени на 4,5 миллиарда лет число атомов уменьшается в 2 раза.

Задание. Сделать аналитическую запись формулы радиоактивного распада, обозначив начальную массу вещества М. Изобразить схематически график функции.

  За правильно записанную формулу и верно выполненный график по  0,5б.

Потери силы тока. При передаче электроэнергии по подводному кабелю потери в силе тока за счет утечки в воду пропорциональны длине кабеля.

Например, на каждом километре сила тока уменьшается на 0,5%. Тогда при увеличении расстояния от источника энергии на 1 км сила тока будет изменяться в отношении 1: 0,995

Задание. Сделать аналитическую запись формулы, выражающей зависимость силы тока от расстояния. Изобразить схематически график функции.

Органический рост

·       При искусственном выращивании каких-либо микроорганизмов (например, при разведении дрожжей или кефирных грибков на заводах, при изготовлении пенициллина, при выращивании в лаборатории какого-либо  вида клеток для научных исследований), когда обеспечиваются особо благоприятные условия для жизни организмов (постоянная температура, наличие достаточного количества питательных веществ, «жизненное пространство» и т.д.), размножение клеток идет так, что за некоторый  определенный промежуток времени (длина митотического цикла) каждая клетка делится на две дочерние клетки.

Поэтому за равные отрезки времени число клеток в колонии увеличивается в одном и том же отношении, рост колонии идет постепенно, причем, когда время увеличивается  на длину митотического цикла, число клеток увеличивается в два раза

Задание. Сделать аналитическую запись формулы размножения клеток. Изобразить схематически график функции.

Ответ.        

·       Если однолетнее растение дает 100 семян и из них прорастает половина, то за каждый год,  т.е. при увеличении времени на единицу, число растений увеличивается в 50 раз. (Конечно, в естественных условиях погибает большая часть растений, но в идеальных условиях, которые иногда возникают в природе или создаются искусственно человеком, рост числа особей идет именно так.)

Задание. Сделать аналитическую запись формулы размножения растений. Изобразить схематически график функции.

Рост вклада в банке.

Еще в древнем мире было широко распространено ростовщичество – отдача денег взаймы под проценты. Крестьянин, которого постиг неурожай, ремесленник, имущество которого уничтожил пожар, разорившийся мелкий торговец были вынуждены идти  к ростовщику, обещая вернуть на следующий год сумму, значительно большую, чем взятая в долг.

В XIV-XV веках в Западной Европе появляются банки – учреждения, которые давали деньги в рост князьям и купцам, финансировали за большие проценты дальние путешествия и завоевательные походы. Чтобы облегчить расчеты сложных процентов, взимаемых по займам, составили таблицы, по которым сразу можно было узнать, какую сумму надо было уплатить через  п лет, если была взята взаймы сумма  а  по  р%  годовых.

Эта сумма выражается формулой:

Иными словами, такие таблицы давали значения показательной функции.

Пример. Банк выплачивает вкладчикам проценты по вкладам в размере 4% в год, т.е. за каждый год вклад увеличивается в 1,04 раза.

Задание. Сделать аналитическую запись формулы, выражающей зависимость величины вклада от времени. Изобразить схематически график функции.

За каждую правильно записанную формулу и верно изображенный график ученики получают по 0,5 балла.

5. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу, (контроль знаний и умений).

Предлагается тестовое задание и самостоятельная работа дифференцированного характера с правом выбора вида работы.

ТЕСТ.

Вариант 1.

1б.1. Какие из перечисленных функций являются показательными:

а) у=2^х      б)  (-3)^х     в)  у=х   г) у = π ^х

1б.2.Какая функция является возрастающей?

а) у=0,2^х      б)  у=3^х     в)    г) у=2^-х

 1б.3. Найдите область значения функции  у = 3^х  - 6

 а) (- ∞; +∞)   б) (0; +∞)  ;   в) [-6; +∞)   г) ( -6; +∞)

1б.4. Определите наибольшее из чисел.

а)  б)      в)  1        г)

1б.5. При каком значении а график функции у = а^х  проходит через точку  Р (1;2)

а) 1    б)   2       в)           г)

-----------------------------------------------------------------------

3б.6. Построй график функции  у = 3^{х +׀х׀}

Вариант 2.

1б.1. Какие из перечисленных функций являются показательными:

а) у=х²      б)  у =( )^х     в)  у =(х-2)³  г) у = 3 ^–х

1б.2. Какая функция является убывающей?

а) у=0,2^-х      б)  у=3^х     в)      г) у=22^х

1б.3. Найдите область значения функции  у = 2^х  + 2

 а) (- ∞; +∞)   б) (2; +∞)  ;   в) (-2; +∞)   г) ( 0; +∞)

1б.4. Определите наименьшее из чисел.

а)  б)      в)          г) 1

1б.5. При каком значении а график функции у= а^х  проходит через точку  М (2;9)

а) 3    б)   2       в)          г) 4,5

------------------------------------------------------------------

3б.6. Построй график функции  у = 2^{х -׀х׀}

Коды правильных ответов.

1 вариант.

2 вариант.

у = 3^{х +׀х׀}     3б.                                  у = 2^{х –׀х׀}

                                                    3б.

Самостоятельная работа.

Вариант 1.

2б.1. Сравните с единицей:

а)  б)      в)          г)

1б.2. Сравните значения выражений:

а)       б)  

1б.3. Сравните х и у, если известно, что верно неравенство:

а)       б)  

1б.4. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций  f  и  g , если:

  а) f (х) = 2^х ,   g(х) = 2           б) f (х) =  , g (х) =  

----------------------------------------------------------------

3б.5. Построй график  функции:   у = 2- 3^х

Вариант 2.

2б.1. Сравните с единицей:

а)  б)      в)           г) 0,21²

1б.2. Сравните значения выражений:

а)       б)  

1б.3. Сравните х и у, если известно, что верно неравенство:

а)       б)  

1б.4. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций  f  и  g , если:

  а) f (х) = 4^х ,   g(х) = 4²           б) f (х) =  , g (х) =  

--------------------------------------------------------------

3б.5. Построй график  функции:   у = 3- 2^х

Ответы :

Вариант 1.

2б.1. а) < 1 б)  < 1   в)   < 1      г) >1

1б.2. а)       б)  

1б.3. Сравните х и у, если известно, что верно неравенство:

а)       б)   

1б.4. а) х=1           б) х=3

----------------------------------------------------------------

3б.5.    у = 2- 3^х

Вариант 2.

2б.1. а)  б) <1     в)    >1      г) 0,21²<1

1б.2. а)       б)  

1б.3. а)х < у      б)  х < у     

1б.4.  а) х=2          б) х=4

--------------------------------------------------------------

3б.5. Построй график  функции:   у = 3- 2^х

Критерии оценки за урок:

«3»  -   7-10 баллов

«4»  -  11-15 баллов

«5»  -  16-19 баллов

ЛИСТ САМОКОНТРОЛЯ.

Фамилия, имя __________________________________________________

6. Рефлексия. Подведение итогов.                                             

·        Какой материал повторяли на уроке?

·        Что нового узнали?

·        С какими трудностями столкнулись на уроке?

·        Дайте оценку своей работы на уроке.

·        Что необходимо повторить для успешной работы на последующих уроках?

7. Домашнее задание.

Стандарт математического образования. Обязательный уровень усвоения.

Продвинутый уровень. №257(2), №263(3)

Список литературы.

1.     Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобраз. учреждений/ Ш.А.Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.- М.: Просвещение, 2004.

2.     Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: Кн. для внеклассного чтения  IX-X кл. – М.: Просвещение, 1985.

3.     Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе: Сб.статей / сост. Е.Г.Глаголева, О.С. Ивашев-Мусатов. – М.: Просвещение, 1980.

4.     Панишева О.В. Применение показательной функции. Журнал «Математика в школе», №5 2001.

5.     Удальцова А. Диктанты по алгебре и началам анализа. Газета «Математика» №2, 2005 с.21; №3, 2005 с.20