" Начисление простых и сложных процентов в банковских операциях ".

Цели урока:

·         осознанное понятие формул простого и сложного процентного роста;

·         формирование умений решать задачи практической направленности;

·         развитие логического мышления, интереса к предметам математики и экономики;

·         создание условий для формирования информационной культуры учащихся.

Методы: проблемно-диалогический, частично-поисковый.

Оборудование: компьютер, видеопроектор, экран, калькуляторы.

Предполагаемый результат:

·         знание формул простого и сложного процентного роста;

·         знание смысла параметров в формулах простого и сложного процентного роста;

·         знание отличия формулы простого процентного роста от формулы сложного процентного роста;

·         умения начисления простого и сложного процентов;

·         умения использовать экономический способ при решении задач, связанных с банковскими операциями.

Ход урока

 

1.Организационный момент.

Учитель математики: Сообщение темы, целей урока, практической значимости рассматриваемой темы.

Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимо каждому человеку.

 Проценты творят чудеса. Зная их, бедный может стать богатым. Обманутый вчера в торговой сделке покупатель сегодня обоснованно требует процент торговой скидки. Вкладчик сбережений

учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело.

На сегодняшнем уроке вместе со мной и Н.Е. вы вспомните основные задачи на проценты, научитесь решать задачи, связанные с банковскими операциями, а так же попытаетесь ответить на вопрос: - как выгоднее оформить вклад?

2.Актуализация опорных знаний.

Учитель математики:

Вспомним связь между дробями и процентами.

Задание 1. Заполнить таблицу:

 

В хозяйственных и статистических расчетах, а так же во многих отраслях науки части величин принято выражать в процентах.

Задачи простейшего вида рассматриваются в 5 классе, затем при изучении прямой пропорциональной зависимости в 6 классе. Далее с задачами на проценты учащиеся встречаются при подготовке к экзамену по алгебре за курс основной школы т.к. в сборнике заданий   для проведения экзамена включены задачи таких видов.

 

Задание 2.

Систематизируем знания по данному вопросу.

Неизвестную величину обозначим через Х, тогда

·                                 чтобы найти 20% от нее, надо 0,2Х;

·                                 чтобы увеличить ее, например, на 10%, надо Х+0,1Х=1,1Х;

·                                 чтобы уменьшить ее, например, на 30%, надо Х-0,3Х=0,7Х,

 

 

-        Что такое процент? (Процентом (от лат. “pro cento”) числа называется сотая часть этого числа.)

-        Что значит увеличить величину на 50 %, на 10 %? (увеличить величину в 1,5 раза; увеличить величину в 1,1 раза)

-        Что значит уменьшить величину на 50 %, на 10 %? (уменьшить величину в 0,5 раза;

        Х- 0,1Х

Увеличьте 60р. на 20% ( 60∙1,2=72р.)

Увеличьте 80р. на 40% ( 80∙1,4=112р.)

уменьшить 300р. на 30% (300- 0,3∙300=0,7∙300=210)

-        Что значит найти 10 %, 20 % от величины?

Умножить на 0,1; на 0,2

Найти 70% от 18 (18∙0,7=12,6)

 

3.Формирование новых знаний учащихся.

Учитель математики:

Тема «Проценты» является универсальной в том смысле, что она связывает между собой многие точные и естественные науки, бытовые и производственные сферы жизни. Решим задачу:

За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 9 % годовых. Вкладчик положил на счёт 10000 р. и решил в течение пяти лет не снимать деньги со счёта и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счете вкладчика через год? через два года? через пять лет?

Решение.

I способ (математический)

Сколько рублей составляют 9 % от 10000 рублей?

10000 ∙ 0, 09 = 900 (р.)

Сколько денег окажется на счете через один год?

10000 + 900 = 10900 (р.)

Сколько рублей составляют 9 % от 10900 рублей?

10900 ∙ 0, 09 = 981 (р.)

Сколько денег окажется на счете через два года?

10900 + 981 = 11881 (р.)

 

Учитель экономики:

II способ (экономический).

Обозначим :

Первоначальный капитал, р -    PV

Процентная ставка -                     k

Прибыль, р. -                              PV∙k

Конечный капитал -                   FV

Число промежутков времени -    n

 

Учитель экономики:          Полученная формула зависимости    FV = PV∙(1+k)         дает возможность решать три типа задач на денежные расчеты (нахождение РV, k, FV) и называется формулой “сложных процентов”.

n = 1, FV =10000∙(1+0,09) =10000∙1,09 = 10900(p.)

Сколько денег будет в конце второго года хранения?

n = 2, FV =10000∙(1+0,09)² =10000∙1,09² = 11881(p.)

Сколько денег будет в конце пятого года хранения?

n = 5, FV =10000∙(1+0,09)⁵ =10000∙1,09⁵ = 15386,24(p.)

Сколько денег будет в конце n - го года хранения?   

FV = PV∙(1+k)ⁿ

         - множитель наращения сложных процентов, а процедура наращения                          называется капитализацией процентов.

             Что означают параметры РV, k, FV в полученной формуле?

             РV - начальный капитал;

             k - процентная ставка прибыли за определённый промежуток времени;

            n – число промежутков времени.

Наряду с формулой сложного процентного роста существует формула простого процентного роста: FV = PV∙(1+k∙n) , где параметры РV, k, n имеют тот же смысл, что и в формуле сложного процентного роста.

                              ( 1+k∙n)   - множитель наращения простых процентов.

Т.o. в зависимости от способа начисления проценты бывают двух видов: простые и сложные. Напомним, в чём главное различие между ними. Всякий раз по истечении установленного срока хранения (например, одного года) простые проценты начисляются лишь на исходную сумму, а сложные — на наращенный капитал, то есть не только на основную сумму, но и на полагающиеся с неё проценты за предыдущие периоды времени.

                                         

4.Формирование умений учащихся.

Учитель математики:

    Рассмотрим применение формул на конкретной задаче.

Немалые состояния наживали ростовщики, одалживая деньги другим. Вспомним новеллу Оноре де Бальзака «Гобсек». Одному из её героев, стряпчему Дервилю, однажды пришлось просить у старика-ростовщика немалую сумму, чтобы выкупить дело у своего разорившегося патрона. «Если бы вы согласились ссудить мне сто пятьдесят тысяч франков, необходимых для покупки конторы, я в десять лет расплатился бы с вами», — обратился он к Гобсеку. «Ну что ж, давайте торговаться, — сказал тот. — Я беру за кредит по-разному, самое меньшее — пятьдесят процентов, сто, двести, а когда и пятьсот. Ну, а с вас по знакомству я возьму только двенадцать с половиной процентов… Нет, не так, — с вас я возьму тринадцать процентов в год». Но потом передумал и, пообещав снабжать Дервиля клиентурой, добавил: «Пожалуй, надо бы взять с вас пятнадцать процентов годовых… Сверх процентов вы будете бесплатно, пока я жив, вести мои дела. Хорошо?» На том и условились.

В книге не уточняется, о каких именно процентах шла речь. Однако, зная характер старого скряги и учитывая срок договора, можно предположить, что о сложных.

 

 

 

Задание:

 Подсчитайте, какую сумму должен был выплатить ростовщику Дервиль, взяв в долг 150 тысяч франков сроком на 10 лет под 15% годовых, если бы выплачивал сложные проценты от исходной суммы:

FV= 150 000 ∙ (1 + 0, 15)¹⁰ ≈ 606 834 франка, что в четыре раза больше самого кредита!

Для сравнения вычислим, какую сумму полагалось вернуть в случае, если бы расчёты велись по формуле простых процентов:

FV = 150 000 ∙ (1 + 0, 15 ∙ 10) = 375 000 франков.

Сравните получившиеся результаты.

Разница весьма ощутимая: более 230 тысяч франков.

Как видим, надолго брать деньги взаймы лучше под простые проценты — возвращать придётся меньше. А вот одалживать их кому-то или отдавать сбережения на хранение в банк, да ещё на длительный срок, выгоднее тогда, когда при прочих равных условиях расчёт ведётся по формуле сложных процентов.

Чтобы понять, почему это так, достаточно сравнить значения выражений и ( 1+k∙n) и    ( 1+k)ⁿ При фиксированном проценте годовых  с увеличением срока вклада (кредита), то есть числа n, значение второго выражения растёт быстрее, чем первого (как известно, показательная функция y =  при n > 1 растёт быстрее линейной y =( 1+i∙n). И чем больше n, тем заметнее разница их значений. Это наглядно иллюстрируют графики зависимости конечного капитала - FV от промежутка времени- n.

 

Итак, сложные проценты принесут обладателю капитала больший доход, чем простые, причём этот доход будет существенно зависеть от сроков вклада (выданного кредита), не говоря уже о проценте годовых. Случай с ростовщиком служит тому ярким подтверждением: одолжив Дервилю деньги за малый (по меркам самого Гобсека) процент, через десять лет он должен был получить обратно вчетверо большую сумму.

 

5. Банковские операции.

Учитель экономики:

        Для чего человек несет свои сбережения в банк? Конечно же, чтобы обеспечить их сохранность, и самое главное - получить доходы. И вот здесь знание и умение составить предварительный расчет процентов по депозиту нужно, как никогда.

Надо с настороженностью и пониманием относиться к многочисленным рекламным объявлениям, обещающим большие проценты на вклад, которые, к сожалению, не всегда корректны. А все дело в том, что процент можно считать по-разному. Принято различать простые и сложные проценты.

Формула расчета сложных процентов выглядит так:

y = (1+x)^t-1

 где x– величина месячных процентов ( в десятичной форме, то есть величина процентов, поделенная на 100),

y – величина годовых процентов ( в десятичной форме).

Учитель математики:

Выразим из этой формулы x:

                                                  y + 1= (1+x)^t

                                       (1+x) =

                                            x =  

Так как же выгоднее оформить вклад?

Для этого проведём небольшое исследование в группах, для этого решите несколько задач и сравните различные варианты вкладов.

Решение задач.

 

 

 

Выводы:

•          Доход владельца сбережений будет выше, если процент и срок вклада будет больше.

•          Брать деньги в долг лучше по ставке простого процента, а отдавать сбережения на хранение под сложные проценты.

•          Надо с осторожностью относиться к рекламным объявлениям, обещающим большие проценты, т.к. рассчитать их можно по-разному.

 

 

6.Итог урока.

 

Учитель математики:

Что узнали на уроке?

Что позволяют узнать формулы простого и сложного процентного роста?

Как называется величина    FV?  PV   ?

В чём состоит отличие формулы простого процентного роста от формулы сложного процентного роста?

Какие способы используются при решении задач, связанных с банковскими операциями?

Какой способ наиболее рациональный?

 

При подготовке к ЕГЭ вы ещё не раз встретитесь с задачами на проценты и сумеете применить формулы простого и сложного процентного роста.

СПАСИБО ЗА УРОК! ЖЕЛЕМ ВАМ ВСЕГДА «ДРУЖИТЬ С ПРОЦЕНТАМИ»!