Тема урока «Квадратные уравнения и  способы их решения»

Цели урока:

•Обобщение и систематизация знаний по теме «Решение квадратных уравнений разными способами».

• Систематизировать приёмы устного решения квадратных уравнений.

•Развитие внимания и логического мышления.                                                                                                                                      

Задачи урока

 * повторить способы решения квадратных уравнений;

 * выработка умения выбирать наиболее рациональный способ решения;

 * развитие памяти, внимания, умения сравнивать и обобщать;

 * проверка уровня усвоения темы путем дифференцированного    опроса учащихся;

 * воспитание навыков контроля и самоконтроля;

 * подготовка содержательной базы для успешной сдачи ЕГЭ.

Ход урока

1. Орг. момент. Тема, цели.

 

 

(устно найдите их корни, вспоминая приёмы решения)

Какими могут быть решения квадратных уравнений в зависимости от значения дискриминанта?

3. Новые способы решения уравнений

Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, иррациональных уравнений и неравенств.

Мы изучили формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения.

Однако имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.

(Повторим один из основных способов, позволяющий решать квадратные уравнения рациональней)

 

 

 

                                       Теорема Виета.

Если х₁ и х₂ корни приведённого квадратного уравнения   х² + px + q = 0,

                 то   x₁ + x₂ = - p,    а     x₁x₂ = q.

Если взять уравнение общего вида ах² + bх + с = 0, где      а ≠ 0 и разделить его почленно на а, то получим уравнение х² + х +  = 0 и тогда по теореме Виета

x₁ + x₂ = -, а  x₁x₂ =.

 

В каких случаях эффективнее применять теорему Виета?

•Проверка правильности найденных корней.

•Определение знаков корней квадратного уравнения.

• Устное нахождение целых корней приведённого квадратного уравнения.             

 

Решите следующие задания:

1. Верно ли, что числа 15 и 7 являются корнями уравнения

          x² – 22x + 105 = 0 ?

2. Определите знаки корней уравнения x² + 5x – 36 = 0, x² + 5x + 36 = 0,

3. Найдите устно корни уравнения   x² – 9x + 20 = 0.

 

4.Рассмотрим другие приёмы устного решения квадратных уравнений

ax² + bx + c = 0.

    1.Если a + b + c = 0, то один корень уравнения x₁ = 1, а второй x₂ = c/a.

(Докажем это, используя определение корня уравнения.)

      2.Если a + c = b, то один корень уравнения x₁ = - 1, а второй x₂ = - c/a (доказательство аналогичное)

 

Решите уравнения, используя свойства коэффициентов:

2x² + 3x + 1 = 0;        5x² – 4x – 9 = 0;       7x² + 2x – 5 = 0;

х² + 17x – 18 = 0;       100x² – 97x – 197 = 0

Особенно удобно пользоваться этим способом при решении квадратных уравнений с большими коэффициентами

1. 319х² + 1988х + 1669 = 0;    2. 313х² + 326х + 13 = 0;    3. 345х² – 137х – 208 = 0;           4. 339х² + 978х + 39 = 0;          5. 83х² – 448х – 391 = 0;        придумайте про наступающий год аналогичное уравнение (например, 2009х² + 2010х +1 = 0).

 

 

5. А если а + b + с ≠ 0 и  a + c ≠ b?

На этот случай тоже есть несколько способов устного решения квадратных уравнений, так называемый приём «переброски» коэффициентов

2х² – 11х + 5 = 0; «перебрасываем 2 к 5 как множитель» х² – 11х + 10 = 0 корни уравнения 10 и 1 и теперь их обратно делим на 2, получаем 5 и ½. (Проверьте, правильно ли решено уравнение?)

(сами решите следующее уравнение таким же способом)

6х² – 7х – 3 = 0    х² – 7х - 18 = 0 корни уравнения 9 и - 2 и теперь их обратно делим на 6, получаем 1,5 и -1/3.

 

 

в) решите уравнения устно одним из изученных способов

х² – 12x + 27 = 0,  х² – 14x + 40 = 0,   3х²  – 18x + 15 = 0,   4х² – 24x + 32 = 0,  2х² – 6x – 56 = 0,   

 

6. Другие способы решения квадратных уравнений устно

(обозначить их на доске и предложить самим детям определиться с необходимостью применять указанные способы устного приёма решения квадратных уравнений)

А) ах² + (а²+1)х + а = 0; х₁= - а, х₂=-1/а    6х²+37х + 6=0; х₁ = - 6, х₂ = - 1/6;

Б) ах² – (а²+1)х + а = 0; х₁= а, х₂= 1/а       15х² – 226х + 15=0; х₁ = 15, х₂ = 1/15;

В) ах² + (а²-1)х – а=0; х₁= - а, х₂= 1/а       17х² + 288х – 17=0; х₁ = - 17, х₂ = 1/17;

Г) ах² - (а²-1)х - а=0; х₁= а, х₂= -1/а        10х² - 99х – 10 = 0; х₁ = 10, х₂ = - 1/10.

(Попытайтесь найти обоснование приёмов решения этих уравнений дома.)

Наберитесь храбрости и приобретите новые знания, приумножая их вы станете мудрее, что позволит вам более умело применять ваши знания на практике.

 

 1. 2х² – 16x = 0,                 2. 5х² – 125 = 0,                     3. х²– 4x – 32 = 0,    

 4. х²+ 12x + 32 = 0,            5. х²+ 11x – 26 = 0,               6. 5х² – 40x = 0,                                                           7. х²– 11x + 24 = 0,            8. 4х² – 12x – 40 = 0,             9. 2х² + 13x – 24 = 0.

 

7.При каких значениях а уравнение х² – (2 а- 1) х +а²-2 а = 0 имеет:

                    а) два различных действительных корня?

                    б) два действительных положительных корня?

                    в) два действительных отрицательных корня?

                    г) два действительных корня разного знака?

                    д) один корень?

 

 

Как вы думаете, какое из уравнений каждой группы является лишним и почему?
•             x² – 16x = 0,                            •             2x² – х -5 = 0, •             16 – x² = 0, •             4x² = 0. (полное)	•             x² – 5x + 1 = 0, •             x² + 3x – 5 = 0, •             2x² – 7x – 4 = 0, •             x² + 2x - 1 = 0. (неприведённое)	(особое отличие - новый вопрос урока) •             5x² – 2x – 3 = 0, •             x² + 2x – 35 = 0, •             2x² + 9x – 11 = 0, •             x² – 6x + 15 = 0. (дискриминант ˂0)