Теория вероятностей.

Тема: Статистическое определение вероятности.

Цели урока:

• Дать определение частоты и вероятности случайного события, познакомить с формулой вероятности события.
• Научить понимать вероятностный характер случайного события.
• Развивать умения решать задачи.
• Способствовать удовлетворению потребностей и запросов учащихся, проявляющих интерес и способности к изучению математики.
• Воспитывать аккуратность, внимательность, самостоятельность.

Оборудование: презентация, карточки с заданиями, перчатки, монеты

Ход урока.

I.                  Организационный момент.

II.               Проверка домашнего задания.

Сообщения учащихся о развитии теории вероятностей как науки, основных понятиях ТВ

 

III.           Самостоятельная работа.

Тестовые задания проецируются на экране, учащиеся записывают ответы в «листах ответов» под копирку; затем «лист ответов» сдается учителю на проверку, а самопроверка проводится с экрана.

IV.           Повторение (с элементами нового). ПРОЕКТ «Статистическое определение вероятности»

Ошибка Даламбера.

Для вычисления классической вероятности нужно лишь знать все возможные исходы события и благоприятные исходы. Однако в жизни чаще встречаются события, сравнить и оценить которые, основываясь только на интуиции,  невозможно и трудно.

       Классическое определение вероятности применимо только к событиям с равновозможными исходами, что ограничивает область его применения.

     Великий французский философ и математик Даламбер вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте всего с двумя монетами!

Опыт (ошибка Даламбера).Подбрасываем две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что они упадут на одну и ту же сторону?

Решение Даламбера:Опыт имеет три равновозможных исхода:

1)    обе монеты упадут на «орла»;

2)    обе монеты упадут на «решку»;

3)    одна из монет упадет на «орла», другая на «решку».

Из них благоприятными будут два исхода. 

 

Правильное решение:

Опыт имеет четыре равновозможных исхода:

1) обе монеты упадут на «орла»;

2) обе монеты упадут на «решку»;

3) первая монета упадет на «орла», вторая на «решку»;

4) первая монета упадет на «решку», вторая на «орла».

Из них благоприятными будут два исхода.

Даламбер допустил одну из самых распространенных ошибок: он объединил два элементарных исхода в один, тем самым, сделав его не равным по вероятности оставшимся исходам.

      Рассмотрим еще один пример, иллюстрирующий эту ошибку.

Опыт «Выбор перчаток».В коробке лежат 3 пары одинаковых перчаток. Из нее, не глядя, вынимаются две перчатки. Перечислите все равновозможные исходы.

 

Какой вариант решения правильный:

1-ый вариант:  3 исхода: 1) «обе перчатки на левую руку», 2) «обе перчатки на правую руку»,  3) «перчатки на разные руки».

2-ой вариант: 4 исхода: 1) «обе перчатки на левую руку», 2) «обе перчатки на правую руку»,  3) «первая перчатка на левую руку, вторая на правую»,

4) первая перчатка на правую руку, вторая на левую».

Правильный второй вариант.

Чтобы не повторять эту ошибку, помните, что природа различает все предметы, даже если внешне они для нас неотличимы.

V.               Лекция с необходимым минимумом задач. (С применением проекта)

ПРОБЛЕМНЫЙ ВОПРОС 1: А можно ли вычислить вероятность события с помощью ряда экспериментов?

Вероятность попасть под дождь в Лондоне гораздо выше, чем в пустыне Сахара.

Весь наш жизненный опыт подсказывает, что любое событие считается тем более вероятным, чем чаще оно происходит. Значит, вероятность должна быть каким-то образом связана с частотой.

1.     Частота случайного события.

|| Относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов:

 

где А – случайное событие по отношению к некоторому испытанию

Nраз проведено испытание и при этом событие А наступило в N_Aслучаях.

 

Пример 1. Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков. . Частота рождения мальчика в такой серии наблюдений равна 0,515.

Пример 4. Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно в лабораторных условиях 1000 штук. 980 семян дали нормальный всход. Найдите частоту нормального всхода семян.

ПРБЛЕМНЫЙ ВОПРОС 2: Может быть, относительную частоту и нужно принять за вероятность?

К сожалению, такое определение приводит к одному неудобству – значение частоты зависит от конкретной серии опытов и от их количества.

 

Фундаментальным свойством относительных частот (если хотите – законом природы) является тот факт, что с увеличением числа опытов относительная частота случайного события постепенно стабилизируется и приближается к вполне определенному числу, которое и следует считать его вероятностью.

Пример 5. Подбрасывание монеты. Классическая вероятность: всего 2 исхода, А – выпадает герб, 1 исход, .

Пример 3. Французский естествоиспытатель Бюффон  (XVIIIв.) бросил монету 4040 раз,  и при этом герб выпал в 2048 случаях. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна: 0,50629...

Пример 5. Английский математик Карл Пирсон (1857-1936) бросал монету 24000 раз, причем герб выпал 12012 раз. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:0,505...

Пример 5 подтверждает естественное предположение о том, что вероятность выпадения герба при одном бросании монеты равна 0,5.

 

2.     Статистическая вероятность.

|| Вероятность случайного события приближенно равна частоте этого события, полученной при проведении большого числа случайных экспериментов, где m - число испытаний, в которых наступило событие А, N – общее число испытаний.

 

VI. Решение задач.

Задача №1.Индивидуальная работа на местах.

Чтобы определить, как часто встречаются в лесопарке деревья разных пород, ребята провели следующие эксперименты. Каждый выбрал свою тропинку и по пути следования записывал породу каждого десятого дерева.

Результаты были занесены в таблицу:

Породы	Сосна	Дуб	Береза	Ель	Осина	Всего
Число деревьев	315	217	123	67	35	757

Оцените вероятность того, что выбранное наугад в этом парке дерево будет:

а) сосной;
б) хвойным;
в) лиственным.

Указание.Ответ запишите в виде десятичной дроби с тремя знаками после запятой.

Решение.

а) A={выбранное наугад в парке дерево - сосна}

N_А= 315, N = 757, Р(А) = 315/757 »0,416;

б) В ={выбранное наугад в парке дерево - хвойное}  

N_А= 315 + 67 = 382, N = 757.
Р(А) = 382/757 »0,505;

в) C= {выбранное наугад в парке дерево - лиственное}

N_А= 217 + 123 + 35 = 375, N = 757.
Р(А) = 375/757 »0,495.

Задача №2.По статистике, на каждые 1000 лампочек приходится 3 бракованные. Какова вероятность купить исправную лампочку?

Решение.

3/1000=0,003

1 – 0,003=0,997

Задача №3.

Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов равна 0,012. В скольких случаях из 10 000 рождений можно ожидать появление близнецов?

Ответ: в 120 случаях.

Задача №4. За лето на Черноморском побережье было 67 солнечных дней. Какова частота солнечных дней на побережье за лето? Частота пасмурных дней?

Задача №5. Отдел технического контроля обнаружил 5 бракованных изделий в партии из 1000 изделий. Найдите частоту изготовления бракованных изделий.

 

VII. Обобщение изученного материала. Итог урока.

1.     Запишите формулу вычисления вероятности случайного события в классической модели. Поясните, что означает каждая буква в этой формуле.

2.     Запишите формулу вычисления вероятности случайного события в статистической модели. Поясните, что означает каждая буква в этой формуле.

3.     Какому условию должны удовлетворять исходы опыта, чтобы можно было воспользоваться классическим определением вероятности?

4.     Чему равна частота достоверного события?

5.     Что  такое абсолютная частота? относительная частота?

6.     Как частота связана с вероятностью?

7.     После 100 опытов частота события А оказалась равна 0, а частота события В равна 1. Можно ли сказать, что событие А невозможное, а событие В – достоверное?

 

VIII. Домашнее задание.

Задача №1. По статистике в городе Новинске за год из каждой 1000 автомобилистов два попадают в аварию. Какова вероятность того, что автомобилист в этом городе весь год проездит без аварий?

ние.

 

адача №2. Чтобы определить, какой цвет волос встречается в городе чаще, а какой реже, студенты за полчаса провели следующий эксперимент. Каждый выбрал свой маршрут и записывал по пути следования цвет волос каждого пятого встречного. Результаты были занесены в следующую таблицу:

Цвет волос	Брюнеты	Шатены	Рыжие	Блондины	Всего
Число людей	198	372	83	212	865

Оцените вероятность того, что выбранный наугад житель этого города будет:

а) шатеном;
б) рыжим;
в) не рыжим.

Указание. Ответ запишите в виде десятичной дроби с двумя знаками после запятой.

Решение.

а)

б)

в)

IХ. Итоги занятия.