1) Еще раз о кодировании чисел. Сколько кодов чисел может быть в компьютере?
2) Почему вещественные числа называют числами с плавающей запятой или точкой?
3) Какое самое большое число может запомнить компьютер?
II. Проверка домашнего задания. Актуализация знаний
Выполняется у доски.
Задания для индивидуального опроса.
Составить кроссворд, используя следующие термины: частота, дискретизация, звук, моно, стерео, Герц, разряд, аудиоадаптер.
¾ Какую систему счисления для представления чисел использует человек?
¾ Какая система счисления используется для представления чисел в компьютере? Почему?
Рассчитайтесь по порядку в двоичной системе счисления.
Вспомните алгоритм перевода десятичных чисел в двоичную систему счисления.
III. Изложение нового материала
1. Кодирование целых чисел
Для работы с числами человек использует в основном две формы для их записи - естественная и экспоненциальная. Естественной формой называется более привычная для нас, обычная запись числа, например, 1000 или 3,5. Экспоненциальная же форма записи чисел обычно используется для обозначения очень больших или очень маленьких чисел, т. к. в естественной форме в записи таких чисел используется большое количество незначащих нулей (например, 0,000002 = 0,2.10-5 или 1000 = 103).
Подробнее рассмотрим, как в памяти компьютера представляются целые числа.
Не забывайте, что числа в компьютере представлены в двоичной системе счисления, поэтому речь будет идти именно о таких числах.
Запятая в таких числах фиксируется строго в конце и остается строго фиксированной. Поэтому этот формат называется форматом с фиксированной точкой.
Все целые числа в компьютере разделяются на числа без знака (только положительные) и со знаком (положительные и отрицательные). Для хранения чисел в памяти отводится определенное количество разрядов, в совокупности представляющих собой k-разрядную сетку.
Пояснение: предложите учащимся при готовить следующую таблицу и по ходу изложения материала заполните ее.
Формат с фиксированной точкой
Формат
Количество разрядов (n), отводимое для хранения числа
Минимальное число
Максимальное число
Интервал чисел
Целые числа без знака
1 байт(n=8)
0
2n-1=255
0…255
2байта(n=16)
0
2n-1=65535
0…65535
Целые числа со знаком
2 байта(n=16)
-2n-1=-32768
2n-1-1=-2767
-32768…32767
4 байта(n=32)
2n-1=
=-2 147 483 648
2n-1-1=
=-2 147 483 647
-2147483648…2147483647
Обычно целые числа занимают в памяти ЭВМ 1, 2 или 4 байта. Поэтому легко вычислить диапазон чисел, которые можно сохранить в такой разрядной сетке:
¾ Диапазон чисел без знака – в однобайтовой разрядной сетке от 0 до 28-1=255, в двухбайтовой – от 0 до 216-1=65535;
¾ Диапазон чисел со знаком (с учетом того, что старший разряд отводится под знак) – в двухбайтовой разрядной сетке от -215=-32 768 до 215-1=32 767, в четырехбайтовой разрядной сетке от -232=-2 147 483 648 до 232‑1=2 147 483 647.
Обратим внимание на кодирование знака числа. Знак положительного числа «+» кодируется нулем, а знак отрицательного числа «-» кодируется единицей.
Число в разрядной сетке располагается так, что его младший двоичный разряд записывается в крайний правый бит. Если количество разрядов в разрядной сетке превышает количество разрядов числа, оставшиеся ряды заполняются нулями.
Пример 1
Представить число 2110 в однобайтовой разрядной сетке.
1. Переведем число 2110 в двоичную систему счисления (2110= 101012).
Примечание: переводите числа с помощью Калькулятора
4. Найдем обратный код числа, заменив в прямом коде нули на единицы, а единицы на нули:
1111 1111 1110 1010 – обратный код.
5. Найдем дополнительный код числа, прибавив к обратному коду единицу:
1111 1111 1110 1010
+
1
____________________
1111 1111 1110 1011 – дополнительный код
6. Впишем дополнительный код в разрядную сетку.
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
Код знака
2. Кодирование вещественных чисел
Недостатком представления чисел в формате с фиксированной запятой является конечный диапазон представления величин, недостаточный для решения математических, физических, экономических и других задач, в которых используются как очень малые, так и очень большие числа. Поэтому для представления вещественных чисел (конечных и бесконечных десятичных дробей) используется другой формат - формат с плавающей точкой (запятой).
Формат чисел с плавающей точкой основывается на экспоненциальной форме записи чисел, в которой любое число может быть представлено в следующей форме:
A=mqn,
m– мантисса (отвечает условию 1/n≤ │m│ < 1, мантисса должна быть правильной дробью и иметь после запятой цифру отличную от нуля),
q– основание СС,
n– порядок числа.
Число в формате с плавающей точкой занимает в памяти компьютера четыре (число обычной точности) байта или восемь (число двойной точности) байта. Для записи в разрядной сетке выделяются разряды для знака порядка и мантиссы, для порядка и для мантиссы.
31
1 байт
2 байт
3 байт
4 байт
0
Знак порядка
порядок
мантисса
Пример 3
Представить число 250,187510 в формате с плавающей точкой в 4-байтовой разрядной сетке:
1. Переведем число в двоичную систему счисления с 23 значащими цифрами:
Примечание: напомните детям, что оставшиеся разряды порядка заполняются нулями.
IV. Закрепление изученного
Решите задачи
№1. Представьте следующие числа без знака в формате с фиксированной точкой в однобайтовой разрядной сетке: А) 1510; Б) 3010.
Ответ: А) 00001111; Б) 00011110
№2. Представьте следующие числа со знаком в двухбайтовой разрядной сетке в формате с фиксированной точкой. А) +1510, -1510; Б) +3010, -3010.
Ответ: А) 0000000000001111; 1111111111110001;
Б) 0000000000011110; 1111111111100010
№3. Представьте следующие числа в формате с плавающей точкой и нормализованной мантиссой:
1) 0,00128910 (ответ: 0,1289 ·10-2);
2) 987,230110 (ответ: 0,9872301 ·103);
3) 0,010112 (ответ: 0,1011 ·10-1);
4) 1101,00112 (ответ: 0,11010011 ·10100).
№4. Представьте двоичные числа из задачи №3 в четырехбайтовой разрядной сетке:
1) 0,1011 ·10-1; 2) 0,11010011 ·10100.
Ответ: 1)
2)
№5. Заполните таблицу интервалов чисел различных форматов:
Формат с плавающей точкой
Количество разрядов (n), отводимое для хранения числа
Количество разрядов отводимое под порядок
Количество разрядов отводимое под мантиссу
Точность вычислений (количество значащих цифр)
Максимальное значение порядка
Максимальное число
4 байта (32 разряда)
8 разрядов
24 разряда
223-1≈107
(7 разрядов)
011111112=12710
2127 = =1,701411·1038
8 байтов (64 разряда)
11 разрядов
53 разряда
252-1≈1015,6
(15 или 16 разрядов)
011111111112 = = 102310
21023 = =8,98846567431157·10307
Пояснение: количество разрядов, отведенных для хранения порядка числа, определяет диапазон изменения чисел, а количество значащих цифр определяется количеством разрядов, отводимое для хранения мантиссы.
Домашнее задание
Уровень знания:
1. Какие форматы представления чисел в памяти компьютера вам известны.
2. Назовите интервалы изменения целых чисел различных форматов.
3. Какова форма представления вещественных чисел: что такое мантисса, нормализованная мантисса.
Уровень понимания:решите задачи:
1. Запишите числа 100,01110110 и 100,0111012 в форме с плавающей запятой и нормализованной мантиссой.
2. Для записи вещественных чисел используется 32-разрядная сетка. Количество разрядов, используемых для записи - порядка и мантиссы одинаковое. Каково будет максимальное значение числа, представляемогo в таком формате?
Уровень применения:в псевдокомпьютере для представления вещественных Чисел используется двухбайтовая разрядная сетка. Количество разрядов, используемых для записи порядка и мантиссы, одинаковое. Число, превышающее максимальное значение, представимое в таком компьютере, вызывает переполнение. Определить для псевдокомпьютера три числа, которые вызовут переполнение
