Когда уравнение решаешь , дружок,

                                              Ты должен найти у него корешок.

                                              Значение буквы проверить несложно,

                                              Поставь в уравнение его осторожно.

                                              Коль верное равенство выйдет у вас,

                                              То корнем значение зовите тот час.

Квадратные уравнения – это фундамент , на  котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные  уравнения  находят  широкое применение при  решении  тригонометрических,  показательных , логарифмических ,  иррациональных   уравнений , неравенств и их систем . Мы все умеем решать квадратные  уравнения, начиная со школьной программы 8 класса.

В школьном курсе изучают не полные квадратные уравнения, формулы корней полного квадратного уравнения , с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения .  Однако  имеются  и другие способы решения , которые позволяют очень быстро  и  рационально  находить  корни  уравнения  или  доказать  что их  нет.

Конечно же ,на своих уровнях учитель  должен  познакомить  учащихся с этими способами , тем самым облегчая прохождение многих тем курса математики.

      Данный дидактический материал  по теме  «Решение квадратных уравнений»  целесообразно использовать  на заключительных уроках при рассмотрении различных  способов  решения  квадратных уравнений с целью отработки  навыков решения  ;  выработки умения определять вид квадратного уравнения ; отбор рационального решения ; работа с алгоритмом решения квадратного уравнения и многое другое .

                              Желаю успеха.

Дидактический материал по теме «СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ» состоит из четырёх листов .

                            Лист 1

Представляет собой таблицу из 100 квадратных уравнений следующих десяти видов:

- неполные квадратные уравнения

1 )   а х² + в х = 0       левую часть удобно представить в виде 

 2 )   а х² + с = 0          разности квадратов двух выражений 

  3 )   а х² + с = 0 

- полные квадратные уравнения , в которых

4 )   а + в + с = 0

5 )    а – в + с = 0

6 )   левая часть уравнения представима в виде  квадрата двучлена.

7 )    приведённое квадратное уравнение

8 )    в = 2k       ,     в = чётное

9 )    в = 2k– 1  ,     в = нечётное

10 )    Д < 0

Помимо перечисленных уравнений в таблице имеются уравнения , в которых :

а )    переменная обозначена латинской буквой , отличной от Х ;

б )    записанные не в стандартном виде ;

в )    уравнения , которые можно упростить , разделив левую и правую части на число , отличное от нуля.

   Лист 2

     Представляет собой алгоритм решения квадратного уравнения , с учётом   тех же десяти видов квадратных уравнений , что и на первом листе. Он предназначен для работы со средними и сильными  учащимися.

I. Опр.        Квадратным уравнением , или уравнением 2^йстепени , называется  уравнение ,  содержащее  переменную Х в  1^й    и  2^й степени  или  только  во  2^й    степени.            

 II.        Если переменная  Х содержится в уравнении только во 2^й степени , то это уравнение – неполное квадратное.                      

III.       Если переменная  Хсодержится в уравнении  и 1^йи  во 2^й степени , то это уравнение – полное квадратное.

IV.        Если коэффициент при квадрате переменной равен 1 ,то это уравнение называют приведённым .

Решение квадратных уравнений

             Неполные квадратные  уравнения

1.     ах² + вх = 0

        х ( ах + в ) = 0

        х = 0    или        ах + в = 0

                                  ах = - в

                                  х = - ^в/_а

 2.     ах²  + с = 0

        ах² = - с

        х² = -^с/_а

             х  _1,2 = =   - ^с/_а

3.      Данное уравнение можно решить другим способом. Если левую часть удобно представить в виде разности квадратов двух выражений , то её раскладывают на множители 1^йстепени с помощью формулы сокращённого умножения   

а² – в² = ( а – в ) ( а + в ).                         

Полные квадратные  уравнения

Рассмотрим некоторые свойства коэффициентов квадратного уравнения.

4.       Если   а + в + с = 0 ,        то                х₁= 1 ,   х₂= ^с/_а

5.       Если   а – в + с = 0 ,         то                х₁=- 1 ,   х₂= - ^с/_а

6.        Если левая часть полного квадратного уравнения представима в виде квадрата  двучлена , то его рациональнее решить, применяя формулы сокращённого умножения :                                    

а² - 2ав + в² = ( а – в )^{2     квадрат разности двух выражений}

а² +2ав + в² = ( а + в )^{2     квадрат суммы двух выражений}

        Зависимость между коэффициентами и корнями приведённого квадратного уравнения.

7.      Для квадратного уравнения       х²  + рх + q=0 , где  р , q  действительные числа

           справедлива теорема  Виeта

8.      Уравнение вида  ах² + вх + с = 0, где  а,в,с действительные числа, а не равно 0

         с чётным коэффициентом   в  решается по формуле Д₁ =( ^в₂)² – ас

Пусть   в = 2 R,   т. е  уравнение имеет вид    ах² +2Rх + с = 0 . Находим его корни

х _1,2  =^{- k=}_а ^{k- ас}     

9.      При решении уравнения вида      ах² + вх + с = 0  с нечётным вторым коэффициентом находят   Д = в² – 4 ас.

Пусть   в = 2 k- 1,  тогда корни уравнения    х _1,2  =^{- в =}_2а^{в - 4ас}  

10.   Величина  Д = в² – 4 ас,  играющая решающую роль при вопросе о корнях квадратного уравнения  , называется дискриминантом квадратного уравнения .

Если Д > 0 , то квадратное уравнение имеет два вещественных , различных корня .

Если Д = 0 , то получается одно решение . В этом случае говорят , что корень двукратный или что корни равны.

Если  Д< 0 , то вещественных решений не существует. (это случай комплексных корней или мнимых корней).

Лист 3.

Представляет собой  алгоритм  решения  квадратного уравнения на конкретном примере уравнения с полным его решением  к  каждому  из  десяти  представленных видов. Этот лист предназначен  для работы со слабыми учащимися.

1.      ах² + вх = 0                  Выносим  Х за скобки.

         х ( ах + в ) = 0

               х = 0                 или            ах + в = 0

                                                  ах = - в

                                                   х = -^в/_а

пример:         2х² – 7х = 0

                           х ( 2х – 7 ) = 0

                           х = 0               или      2х – 7 = 0

                                                                 2х =7

                                                       х = 7 : 2

                                                        х =3,5

     Ответ:      0 ; 3,5

2.    ах² + с = 0

       ах² = - с

       х² = - ^с/_а

пример:       6х² +18 = 0               6х² -18 = 0  

                       6х² = -18                  6х² = 18

                         х² = -3                      х² = 3

                            корней нет                     х₁ =V3 ,  х₂ =-V3.

      Ответ:      нет корней               Ответ: х₁ =V3 ,  х₂ =-V3.

3.        ах² + с = 0                 Иногда данное неполное квадратное

                                                уравнение удобно решить, представив левую

                                                левую часть в виде разности квадратов двух

                                                выражений и применяя формулу  С У.

ПРИМЕР:

                9х² – 4 = 0

              ( 3х – 2 )( 3х + 2 ) = 0

               3х – 2 = 0          или     3х + 2 = 0

               3х =2                           3х =-2

               х = ²/₃                                          х = -²/₃

   ОТВЕТ:    - ²/_{3 ;}    ²/_3.

4.      ах² + вх + с = 0.          Полное квадратное уравнение можно решить

        Если а + в + с =0,то   быстро и правильно , зная свойства коэффи-

          х₁ = 1  ,   х₂ =^с/_а             циентов квадратного уравнения.

ПРИМЕР:       15х² – 19х + 4 = 0

        так как   15 – 19 + 4 = 0 ,

то           х₁  = 1 ,   х₂ =⁴/₁₅

     ОТВЕТ:    1_;    ⁴/_{15  .}

5.    ах² + вх + с = 0.          

        Если   а - в + с =0,   ( или  а + с = в )                     

          то     х₁ =- 1  ,   х₂ =-^с/_а             

ПРИМЕР:       11х² + 27х + 16 = 0

        так как   11 – 27 + 16 = 0

то           х₁ = - 1  ,   х₂ =- 1⁵/₁₁             

     ОТВЕТ:    -1_;    -1⁵/_{11  .}

6.   ах² + вх + с = 0.                    Иногда  легко заметить , что левая часть

                                                      уравнения представляет собой квадрат

 ПРИМЕР: 4х² - 12х + 9 = 0     разности   или квадрат суммы двух выра-

                    ( 2х – 3 )² = 0           жений. Такое уравнение решают , пред-

                    2х – 3  = 0                ставив левую часть в виде квадрата дву-

                     2х = 3                      члена. В таких случаях , когда квадратное

                      х = 1,5                   уравнение будет удовлетворяться только

      ОТВЕТ:    1,5                         одним значением неизвестного , мы будем

                                                      говорить,что оно допускает два равных корня.

 х² + 24х + 144 = 0

         ( х + 12 )² = 0

         х + 12 = 0

         х = - 12

         ОТВЕТ:- 12.

7.                                              Рассмотрим приведённое квадратное уравнение 

        х² + рх + q= 0,               где р  и q– любые числа отличные  от нуля.

                                                  Корни данного уравнения удовлетворяют

                                                  теореме      Виета, которая имеет вид

х₁ хх₂ = q

х₁ +х₂ = - р.

Если свободный член  qприведённого квадратного уравнения положителен ( q> 0 ) , то уравнение  имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента р.Если   р > 0 , то оба корня отрицательны , если р <0, то оба корня положительны

ПРИМЕР:

х² – 14х + 48 = 0                               х² + 19х + 90 = 0                             

х₁= 6 , х₂ =8 , так как                      х₁= -9 , х₂ =-10 , так как

6х 8 = 48                                           -9х (-10) = 90

 6+ 8 = 14                                           -9+ (-10) = -19

ОТВЕТ :  6 ; 8 .                           ОТВЕТ :  - 9 ;  - 10.

 Если свободный член  qприведённого квадратного уравнения отрицателен ( q< 0 ) , то уравнение  имеет два различных  по знаку корня  , причём больший по модулю корень будет положителен , если  р < 0,если   р > 0 - отрицателен.

х² – 2х - 15 = 0                                 х² + 2х - 8 = 0

х₁ хх₂ = -15   тогда                         х₁ хх₂ = - 8          тогда

х₁ +х₂ = 2                                          х₁ +х₂ = -2

х₁= 5 , х₂ =-3                                    х₁=-4 , х₂ =2

ОТВЕТ :  5 ; -3 .                           ОТВЕТ :  - 4 ;  2. 

При подборе корней приведённого квадратного уравнения можно пользоваться следующей таблицей для распознавания знаков корней            

8.    ах² + вх + с = 0                         Самый распространённый способ решения

                                                             полного квадратного уравнения – по формуле

     3х² – 14х - 49 = 0                         корней квадратного уравнения .

  Так как  в = - 14– чётное, то    Таких формул две . В тех случаях , когда

   Д₁ =( ^в/₂ )²- ас                                 второй коэффициент в – чётный формула

Д₁ =7² - 3 ^х( - 49 )                               корней имеет вид:       Д₁  =  (^в/₂ )² – ас

Д₁ = 196                                                 

х₁= 7          ^,    х₂ = -2¹/₃          

9.        ах² + вх + с = 0.              Формула корней квадратного уравнения

2х² – 5х + 2 = 0                                

 а = 2 , в = -5 , с = 2                   позволяет решить любое квадратное

 Д = в² -4 ас                                уравнение. Выражение  в² – 4ас = Д

                                                     называют дискриминантом квадратного уравнения.

Д = 25 - 4^х2 ^х2                    

Д = 9

х₁= 2              х₂= 0,5

ОТВЕТ:     х₁= 2 ,   х₂= 0,5.                   

10.   Применяя формулу корней квадратного  уравнения , можно получить Д < 0   (Д<0 ).     В данном случае говорят , что квадратное уравнение вещественных  корней не имеет .  ( Пока мы условимся , что корней нет . Однако квадратным уравнением всегда приписывают 2 корня во всех случаях , при этом корни могут быть иногда равными , иногда мнимыми ).

5х² + 7х + 3 = 0

а = 5 , в = 7 , с = 3

Д = в² – 4 ас

Д = 49 – 4 ^х5 ^х3

Д = - 11

Д<0

              ОТВЕТ :  корней нет 

ЗАДАНИЯ К ДИДАКТИЧЕСКОМУ МАТЕРИАЛУ

1.  Назовите коэффициенты квадратных уравнений данной строки ( данного столбца ).

2.  Все ли  уравнения данной строки ( данного столбца )  записаны в стандартном виде?

3.  Назовите квадратные уравнения данной строки (данного столбца ), которые не записаны в стандартном виде . Приведите эти уравнения к стандартному виду квадратного уравнения.

4.  Назовите неполные квадратные уравнения данной строки ( данного столбца ).

5.  Назовите  в неполных  квадратных уравнениях  данной строки ( данного столбца )коэффициенты.

6.  Решите  все неполные  квадратные уравнения  данной  строки  (данного столбца ).

7.  Назовите полные квадратные уравнения данной строки( данного столбца ).

8.  Запишите  все  полные  квадратные уравнения  данной  строки (данного столбца ) в стандартном виде.

9.  Какие из полных квадратных уравнений данной строки (данного столбца ) можно упростить, разделив обе  части  уравнения на одно и то же число , отличное от нуля?

10.Назовите квадратные уравнения данной строки (данного столбца ) , левая часть которых является квадратом двучлена. Решите эти уравнения.

11.Найдите дискриминанты всех полных квадратных уравнений данной строки (данного столбца ).

12.Решите все полные квадратные уравнения данной строки (данного столбца ).

13. Решите неполные квадратные уравнения данной строки (данного столбца );если можно , укажите несколько способов решения.

14.Назовите уравнения данной строки (данного столбца ) с чётным вторым коэффициентом и решите их.

15.Из данной строки (данного столбца ) выпишите уравнения в следующем порядке : неполные квадратные уравнения ;

уравнения, левая часть которых представима в виде квадрата двучлена ;

полные квадратные уравнения с чётным вторым коэффициентом ;

полные квадратные уравнения с нечётным вторым коэффициентом.

16.Назовите приведённые квадратные уравнения данных строк ( данных столбцов ). Решите эти уравнения.

17.Назовите уравнения данной строки (данного столбца ),корнями которых являются данные числа.

18.Составте квадратные уравнения , зная его корни.( Корни  учитель приводит из таблицы 4 ).

19.Назовите уравнения данной строки (данного столбца ), сумма коэффициентов которых ровна нулю. Решите эти уравнения.

20.Назовите  квадратные уравнения данной строки (данного столбца ).для которых  коэффициенты удовлетворяют равенству а – в + с = 0. Решите эти уравнения.

21.Назовите уравнения данной строки (данного столбца ), которая соответствует уравнению данного вида ( указать номер ) алгоритма решения квадратного уравнения  таблицы 2.

22.Перепишите данную строку ( столбец ), расположив уравнения по порядку согласно алгоритму таблицы 2.

23.Самостоятельные работы по решению квадратных уравнений.