Взаимно простые числа

Тип урока: «открытие» нового знания.

1.   Самоопределение к деятельности (организационный момент).

-          Ребята, какую тему мы изучали на прошлом уроке? ( - Нахождение наибольшего общего
делителя чисел.)

-          Сегодня мы продолжим работать с наибольшими общими делителями чисел.

2.   Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.

2.1.- Найдите значение выражений:

а)  15 • (325 - 325) + 405 * 1 - 30:1:

б)163 : 1 + (0-4367-0 : 587> +1;

в)  (42 - 0 :42) + (2268 :1 - 58 * 0);

г)  (707:707 + 170-1):1-0:17.

Учащиеся самостоятельно выполняют задание.

-          Что позволило так быстро найти значения выражений? (- Используются частные случаи действий с 0 и 1.)

-          Почему выделили частные случаи действий с 0 и 1? {- Это особые случаи, они позволяют быстро находить значения числовых выражений.)

-          А чем интересно число 1 с точки зрения делимости? (- Число Iявляется делителем всех чисел.)

2.2. На доске остаются числа: 375, 164, 2310, 171.

-     Разложите, получившиеся числа на простые множители.

Четверым учащимся предлагается разложить данные числа на простые множители. Они рабо­тают у доски, каждый со своим числом.

Остальные учащиеся в это время отвечают на вопросы:

-          На какие группы можно разбить все натуральные числа по количеству делителей? (- Простые числа, составные числа, число 1.)

-          Какие числа называются простыми? (- Простые числа- это числа, имеющие только два де­лителя.)

-          Перечислите несколько первых простых чисел. (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...)

-          Сформулируйте признаки делимости, которые используются при разложении числа на простые множители. (Дети дают формулировки признаков делимости на 2, 3, 5.)

Учащиеся, выполнив свои задания на доске, садятся на место и включаются в работу, а кон­сультанты проверяют их решение на доске.

-          Скажите, пожалуйста, а для решения каких задач используется разложение чисел на про­стые множители? (Среди ответов детей - нахождение НОД.)

-          Каков алгоритм нахождения наибольшего общего делителя? (Формулируется алгоритм на­хождения НОД чисел с помощью разложения их на простые множители.)

-          Откройте свои тетради. Пользуясь записанными на доске разложениями, найдите: НОД (375; 2310); НОД (375; 171); НОД (171; 164).

164= 2-2-41;        171 = 3-3-19                       375= 3-5-5-5;                   2310 = 2-5-3-7-11

НОД (375; 2310)= 3-5=15                   НОД (375; 171) = 3          НОД (171; 164) = ?

В завершение этапа актуализации знаний учащиеся фиксируют затруднение в ответе на вопрос последнего задания.

3.   Выявление причин затруднения и постановка цели деятельности (постановка учебной задачи).

Если кто-либо из учащихся догадается, что наибольшим общим делителем данных чисел явля­ется 1, то учитель предлагает ему обосновать свой ответ и просит выявить существенный признак, отличающий последнее задание от остальных.

Если никто из учащихся не сможет предложить ответа на вопрос, то учитель спрашивает их, почему возникло затруднение и также просит определить, чем последнее задание отличается от остальных.

В обоих случаях фиксируется, что появился новый случай, когда два числа не имеют общих простых делителей, поэтому он требует специального рассмотрения.

Далее учитель просит учащихся предложить свое название для этих чисел, а после этого зна­комит их с названием, принятым в культуре: взаимно простые числа. Тему и цель урока он может либо назвать сам, попросить это сделать учащихся:

-     Итак, сформулируйте тему нашего сегодняшнего урока. (- Взаимно простые числа.)

-     Какова цель урока? (- Выявить существенные свойства взаимно простых чисел, научиться находить их НОД.)

4.  Построение проекта выхода из затруднения («открытие» нового знания).

На данном этапе урока прежде всего фиксируется, что наибольший общий делитель чисел 171 и 164 равен 1. Если учащиеся на предыдущем этапе не предложили сами этого, то можно предло­жить им следующий подводящий диалог.

-          Каким способом можно найти НОД чисел, кроме разложения на множители? (-Перебрать
все делители чисел и найти их общий делитель.)

-          Какие существуют классы чисел по числу делителей? (- Простые числа, оставные числа и 1).

Работа в группах:

-     Попробуйте найти делители чисел 171 и 164 в каждом из этих классов.

Через 2-3 минуты выслушиваются мнения представителей групп. Поскольку в разложении данных чисел на множители общих делителей нет, то у них нет общих ни простых, ни составных делителей. Зато 1 - это общий делитель всех чисел, и для взаимно простых чисел он будет являть­ся наибольшим общим делителем.

В итоге в обоих случаях делается вывод о том, что существенным признаком взаимно простых чисел является то, что их наибольший общий делитель равен 1:

-          Дайте определение взаимно простых чисел. (- Это числа, у которых наибольший общий делитель равен единицы.)

-          Запишите определение взаимно простых чисел на математическом языке, используя знак равносильности(Учащимся даётся возможность выполнить задание самостоятельно, рассматриваются вариан­ты.)

На доске появляется табличка с определением взаимно простых чисел. Числа а и bвзаимно простые равносильноНОД {a, b}= 1

-     Как определить, будут ли числа взаимно простыми? (- Надо разложить их на простые множители и посмотреть, есть ли у них общие простые множители,)

Полученный вывод можно зафиксировать в виде алгоритма:

1.Разложить на простые множителию 2.Проверить, есть ли у них общие простые множители.

-          Какие числа всегда являются взаимно простыми? (- Простые числа, соседние числа.)

-          Молодцы!

5.   Первичное закрепление во внешней речи.

№ 657 (2) - задание выполняется с комментированием в соответствии с выведенным алгорит­мом.

4 = 2-2;         15 = 3-5;         22 = 2' 11;                      77 = 7- 11

НОД (4; 15) = 1, значит, 4 и 15 - взаимно простые числа; НОД (4; 77) = 1, значит, 4 и 7 - взаимно простые числа; НОД (15; 22)= 1, значит, 15 и 22 - взаимно простые числа; НОД (15; 77)= 1, значит, 15 и 77-взаимно простые числа.

6.   Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Учащиеся выполняют в тетрадях № 658 (на выбор два задания). Далее они проверяют работу по готовому образцу, выставляя «+» за верно решенное задание, исправляют допущенные ошибки. В завершение, выявляются и проговариваются причины ошибок.

1)57-3-19;       86=2-43

НОД (57; 86) = 1, значит, 57 и 86 - взаимно простые числа. 2)28=2-2.7;     45-3-3-5;    60=2-2-3-5;

НОД (28; 60) = 4, НОД (45; 60) = 15. Значит, числа 28 и 60, 45 и 60 не являются взаимно про­стыми.

3)333 = 3-3-37;     7000= 2-5-2-5-2'5-74

НОД (333; 7000) = 1, значит, 333 и 7000 - взаимно простые числа.

4)328=2-2-2-41; 459=3-3-3-17;

НОД (328; 459) = 1, значит, 328 и 459 - взаимно простые числа.

7.   Включение в систему знаний и повторение.

7.1.   № 668. «Блиц-турнир» проводится в форме математического диктанта.
1)я + а:4-5; 2)й-0,23й; 3)d~(c + с : 3) * 2; 4)(v + v : 8 * 7) * 4.

7.2.   № 667 (4).

5 <х<8,                1 < д: < 6

ЛГ, = {5; 6; 7}, ЛГ₂ = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Х₁ и Х₂ = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}       Х_у п Х₂ = (6; 7}

-     Выпишите из объединения множеств.^ чХ₂все пары взаимно простых чисел. (1 и 2; Iи 3;
Jи 4; 1 и 5; 1 и 6; 1 и 7; 2 и 3; 2 и 5; 2 и 7; 3 и 4; 3 и 5; 3 и 7; 4 и 5; 4 и 7; 5 и 6; 5 и 7; 6 и 7.)

8.   Рефлексия деятельности (итог урока).

-          С какими числами мы сегодня познакомились? (- С взаимно простыми числами.)

-          Каким методом мы обнаружили эти числа? (- Методом перебора.)

-          Чью работу группы могут сегодня отметить?

-          Как оцениваете свою работу?

Учащиеся на отрезке от 0 до 1 выставляют фигурку, изображающую уровень понимания ими новой темы, например:

=--------------------------------%--------------=

9.  Домашнее задание.

Опорный конспект - определение и алгоритм нахождения взаимно простых чисел. № 703; № 680 (одну на выбор); № 683. Дополнительное задание: № 686.