Преобразования графиков, содержащих модуль

Автор исследовательской работы: Рахманова Екатерина, ученица 9 класса, руководитель: Шихалеева Р.А., учитель математики высшей категории

Цель работы: исследование возможности рационального построения графиков с модулями и использовании этих знаний при решении задач с параметрами, содержащих модуль.Для достижения цели изучила необходимую литературу по данной теме, разработала алгоритмы построения графиков функций и уравнений вида y= f(|x|),  y= |f(x)|, y=|f(|x|)|, |y| =f(x);

и исследовала применение алгоритма при решении математических задач.

Я занимаюсь на элективных курсах по математике «Графики и уравнения с модулями», на занятиях я узнала об интересных задачах  по решению уравнений и неравенств, содержащих модули, но больше всего меня увлекли задачи на использование определения модуля для преобразования графиков функций и уравнений с модулями.

     Первые представления о модуле мы получили в шестом классе. В 8-ом классе на уроках мы узнали о построении графика функции   y= |x| и умели строить графики

y= |x-a|; y= |x-a| + b. Я выбрала именно эту тему потому, что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования. Я хочу получить более широкие знания о преобразованиях графиков, содержащих модуль, и графических способах решений уравнений с модулем и решения задач с параметрами.

      Когда в «стандартные» функции, которые задают прямые, параболы, гиперболы, включается знак модуля, их графики становятся необычными. Чтобы научиться строить такие графики, надо владеть приемами построения графиков элементарных функций, а также твердо знать определение модуля числа.

     Определение. Модулем действительного числа а называется само число а, если оно неотрицательно, и число противоположное а, если а отрицательное.

          |а| =

Составление алгоритмов преобразования графиков функций.

1.Построение графика функции y= f(|x| ) . По определению модуля данная функция распадается на совокупность двух функций:

                            y= f(|x|) =

Следовательно, график функции y= f(|x|) состоит из двух графиков: y= f(x) – в правой полуплоскости, y= f(-x) – в левой полуплоскости.

  Исходя из этого, можно сформулировать правило (алгоритм).

График функции y= f(|x|) получается из графика функции y= f(x) следующим образом: при х≥ 0 график сохраняется, а при х < 0 полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ.

2.Построение графика функции y= |f( x)|.

а). Строим график функции y= f(x).

б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ.

3.Чтобы построить график функции y= |f(|x|)|, надо сначала построить график функции

 y= f(x) при х> 0, затем при х< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(|x|) <0 ,построить изображение, симметричное графику y= f(|x|) относительно оси ОХ.

4.Для построения графиков вида |y| = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) ≥ 0 , и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс.

Проект «Человечек»

Цель:Найти совокупность функций, заданных аналитически для построения фигуры «человека».

1. |y| = 36 – x
2. |y| = 1 при    -1 ≤x ≤1
3. |x |= 1 при     -1 ≤y ≤1
4. |y| = 14 – x  при   7 ≤x ≤9
5. |y| = x  при   4≤x ≤7
6. |y| = 14+x  при   -9≤x ≤-7
7. |y| = -x  при   -7≤x ≤-4
8. y= 3     при   -3 ≤ x≤ -1 и при   1 ≤ x≤ 3
9. y =  |x| - 4 при   |x| ≤2
10. y = - |x| + 10  при  |x| ≤2
11. y = 6    при   |x| ≤3
12. y = |x + 2| + 2 при -3 ≤х ≤-1
13. y = |x - 2| + 2 при 1 ≤х ≤ 3

Рассмотрим задание В₈( ЕГЭ).

Задача.Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ||x|-3+a|=2 имеет ровно 3 корня.

         Решение: В соответствии с определением модуля числа только модули числа 2 и -2 равны числу 2,  поэтому получаем: |x|-3+a=2 или |x|-3+a=-2, т.е. |x|=5-а(*) или |x|=1-а(**).

Уравнение |x|=mимеет два корня (если m>0), 1 корень если m=0, не имеет корней (если m<0).

Исходное уравнение имеет ровно 3 корня тогда и только тогда, когда уравнение (*) имеет 1 корень, а уравнение (**) имеет 2 корня, или уравнение (*) имеет 2 корня, а уравнение (**) имеет 1 корень. Таким образом, рассмотрим совокупность систем

 Ответ: a=1.

Рассмотрим графическое решение этого уравнения. Построим в одной системе координат графики функций y=||x|-3+a| и y=2.

Выводы:

< >Перевод алгебраической задачи на язык графиков позволяет избежать громоздких решений;Овладение рациональными методами построения графиков функций и уравнений  способствует успешно выполнять задания ЕГЭ, конкурсные математические задания, содержащие модуль и параметр.Заключение

Данная работа представляет собой «портфель моих достижений». Работая по теме, я научилась анализировать и систематизировать материал по теме, составлять алгоритмы и применять их при решении задач.

Я овладела рациональными методами построения графиков функций и уравнений, и они помогут успешно выполнить задания ЕГЭ, конкурсные математические задания и считаю, что каждый учащийся должен быть компетентным по этой теме и могу поделиться своими наработками и исследованием.

Литература

1.Дорофееф Г.В. и др. Курс по выбору для 9 класса.«Избранные вопросы математики» // Журнал «Математика в школе», №10, 2003.- с.12 – 33.

2. Крамор.В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. – М.: Просвещение, 1990.- с.33.

3. Математика. 8 – 9 классы: сборник элективных курсов / авт. – сост. В.Н. Студенецкая, Л.С. Сагателова. Волгоград: Учитель, 2006.- с.122-204.

4. Математика. 8 – 9 классы: сборник элективных курсов / авт. – сост. М.Е.Козина. – Волгоград: Учитель, 2006.- с.53.

5.Мордкович А.Г. и др. Алгебра. 8 кл.: В двух частях. Ч.1: Учебник для общеобразовательных учреждений . – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2003.- с.177.