ГЛАВА 1. НЕМНОГО ОБ ОРИГАМИ

1.1 История оригами

Оригами в Японии ведет начало от периода Хэйан ( 794 - 1185 гг. ). В эту эпоху бумага, сделанная ручным способом, была изысканным и ценным материалом, который использовался в особых случаях, главным образом в религиозных церемониях. Несмотря на то, что бумага была изобретена в Китае, именно Япония стала родиной искусства складывания. Быть может, в этом сыграло немаловажную роль сходство звучания японских слов "бумага" и "Бог" - "Ками". Тем самым у японцев возникла некая мистическая связь между религиозными ритуалами и изделиями из сложенной бумаги ("ориками"). Один из таких ритуалов, например, состоял в изготовлении небольших бумажных коробочек Санбо, в которые клали небольшие кусочки рыбы и овощей, поднося их в качестве жертвоприношений в синтоиских храмах. В периоды Камакура ( 1185 - 1333 гг. ) и Муромати ( 1333 - 1573 гг. ) оригами выходит за пределы храмов и достигает императорского двора. Аристократия, придворные, монахи, представлявшиеся ко двору, должны были обладать определенными навыками и в искусстве складывания.

   Однако настоящее революционное развитие оригами началось только после Второй мировой войны, главным образом благодаря усилиям всемирно признанного теперь мастера Акиры Йошизавы. Он изобрел сотни новых, ранее неизвестных фигур. Он не только доказал, что искусство складывания может быть широко применимо на практике, но и способствовал его распространению. С помощью изобретенных им несложных условных знаков процесс складывания любого изделия оказалось возможным представить в виде серии рисунков - чертежей.

1.2 Применение оригами в науке и жизни

Чаще всего люди воспринимают оригами просто как способ изготовления бумажных игрушек и украшений интерьера, и мало кто задумывается о том, что это древнее искусство имеет тесную связь с математикой. Разверните фигурку оригами и посмотрите на складки – вы увидите обилие многоугольников, соединенных друг с другом. В сложенном виде оригами представляет собой многогранник, фигуру с множеством плоских поверхностей. Складыванье самой простой фигуры оригами включает в себя решение простейших геометрических задач на построение, таких, как построение перпендикуляра к данной прямой, построение биссектрисы угла и т.д.

Оригами находит применение и в других науках, а также широко используется в современных технологиях Например, в 1970 году японским астрофизиком Корио Миурана основе техники жесткого оригами была разработана схема складывания«миура-ори», которая используется сегодня для развёртывания установок солнечных батарей на космических спутниках. Первоначально эта технология употреблялась для складывания бумажных документов,  карт местности, упаковки . Например, при складывании карт, складки миура-ори расположены не под прямыми углами, а слегка наклонены по отношению друг к другу. В результате, такая карта компактна, в сложенном виде представляет плоскую фигуру, но ее можно развернуть и свернуть одним движением, а отсутствие многослойных складок уменьшает нагрузку на бумагу. Это хороший пример практической важности жёсткого оригами, рассматривающее складки как петли, соединяющие две плоские, абсолютно твёрдые поверхности.

ГЛАВА 2. ОРИГАМИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ. ПРАВИЛА ХУДЗИТЫ

Различные построения  и фигуры оригами складываются, как правило, из квадратного листа бумаги. Таким образом,  когда мы производим простейшее действие с листом бумаги – например, складываем его по вертикали или диагонали, мы уже решаем задачи на построение – строим перпендикуляр к прямой или биссектрису угла. Построения на плоскости удобно вести  по определенным аксиомам, которые сформулировал японский математик Худзита.

Правила Худзиты

Правила Худзиты — набор из семи правил формально описывающие геометрические построения с помощью плоского оригами, подобным построениям с помощью циркуля и линейки.

Фактически они описывают все возможные способы получения одной новой складки на листе бумаги, путём совмещения уже существующих различных элементов листа — точек и линий. Под линиями подразумеваются края листа или складки бумаги, под точками — пересечения линий. Существенным моментом является то, что сгиб формируется единственной складкой, причём в результате складывания фигура остается плоской. Складки в этих правилах существуют не всегда, правило утверждает только, что если такая складка есть, то её «можно» найти.

Правило 1

Рис.1

Пусть заданы две точки p₁ и p₂, тогда лист можно сложить так, что данные две точки будут лежать на складке.

Правило 2

Рис.2

Пусть заданы две точки p₁ и p₂, тогда лист можно сложить так, что одна точка перейдёт в другую.

Правило 3

Рис.3

Пусть заданы две прямые l₁ и l₂, тогда лист можно сложить так, что одна прямая перейдёт в другую.

Правило 4

Рис.4

Пусть заданы прямая l₁ и точка p₁, тогда лист можно сложить так, что точка попадёт на складку, а прямая перейдёт сама в себя (то есть линия складки будет ей перпендикулярна).

Правило 5

Рис.5

Пусть заданы прямая l₁ и две точки p₁ и p₂, тогда лист можно сложить так, что точка p₂ попадёт на складку, а p₁ — на прямую l₁.

Правило 6

Рис.6

Пусть заданы две прямые l₁ и l₂ и две точки p₁ и p₂, тогда лист можно сложить так, что точка p₁ попадёт на прямую l₁, а точка p₂ попадёт на прямую l₂.

Правило 7

Рис.7

Пусть заданы две прямые l₁ и l₂ и точка p, тогда лист можно сложить так, что точка p попадёт на прямую l₁, а прямая l₂ перейдёт сама в себя (то есть линия складки будет ей перпендикулярна).

ГЛАВА 3. ВЕЛИКИЕ ЗАДАЧИ ДРЕВНОСТИ.

3.1 Трисекция угла

Условие задачи: разделить данный угол на три равные части.

3.1.1 Решение

Несложно разделить любой угол с помощью циркуля и линейки на две, а некоторые углы — и на три равные части. Последняя операция называется трисекцией угла. Например, мы можем построить треть прямого угла, поделив пополам угол правильного треугольника, а проведя биссектрису в образовавшемся угле в 30°, получим угол величиной 15° — треть угла в 45°. Есть и другие углы, для которых трисекция выполнима. Наверное, подобные построения и вселили надежду открыть способ трисекции любого угла посредством циркуля и линейки. Но на сегодняшний день доказано, что способа построения трисекции любого угла с помощью циркуля и линейки не существует. Однако эта задача с легкостью решается с помощью оригами.

Я доказала полученное решение.

3.1.2 Доказательство

Рис.16

Итак, чтобы доказать, что эта схема построений верна, я выполнила трисекцию угла указанным способом, выделила сгибы и сделала некоторые дополнительные построения (Рис.8).

Треугольник АСА1 – равнобедренный по построению, следовательно  угол1=угол2 (аналогично угол3=угол4)

По построению А1С параллельна АD, следовательно угол2=угол3.

Угол2=угол5, т.к. треугольник АВА1 – равнобедренный (т.к. q– серединный перпендикуляр), а угол5=угол6 (по построению).

Итак, угол1=угол2, угол2=угол5, угол5=угол6, угол2=угол3, следовательно угол1=угол6=угол3, что и требовалось доказать. Задача решена.

3.2 Удвоение куба

Условие задачи: Построить куб с объемом в 2 раза больше данного

3.2.1 Решение

В этой задаче требуется построить куб вдвое большего объёма, чем заданный. Ребро искомого куба равно а,где а - ребро исходного куба. задача сводится к решению уравнения x³ = 2a³. Решение имеет вид . Всё сводится к проблеме построения отрезка длиной . Решить эту задачу можно следующим образом:

Рис.21

Точка С делит сторону АВ на отрезки АС и СВ. ВС/АС=1/. Следовательно, если построить куб с ребром АС и куб с ребром ВС, то объем первого куба будет в два раза больше, чем второго.

3.2.2 Доказательство

Рис.22

Сначала докажем, что точка пересечения прямых АС и ВЕ делит высоту квадрата на два отрезка, которые относятся друг к другу как 2 к одному, исходя из чего очень легко разделить ее на три равные части. Вводим квадрат, на котором производим построения, в систему координат (см. рис.22). Прямая АС имеет уравнение

где  является длиной стороны квадрата. Прямая ВЕ имеет уравнение

Итак, прямые пересекаются в точке с координатами, удовлетворяющими уравнению 

Следовательно, координаты точки пересечения прямых АС и ВЕ - (2/3s;1/3s). Значит, расстояние от точки пересечения до стороны АD- 2/3s, а до стороны ВС - 1/3s. Следовательно, что точка пересечения прямых АС и ВЕ действительно делит высоту квадрата на два отрезка, которые относятся друг к другу как 2 к одному. Согнем квадрат, как указано на рисунке 23.

Рис.23

Теперь нам нужно доказать, что  Если мы возьмем СВ за единицу, а АС – за X, то нам нужно доказать, что X=. Таким образом, АВ=. (см. рис.23).

BF=2/3АВ=

СF=

Обозначаем отрезок ВК как d. Так как отрезок СК является частью стороны ВС, равной АВ, его длина равна .

Применяя к треугольнику СВК теорему Пифагора, получаем равенство

и, следовательно,

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника CFEи CBK. Применяя теорему о сумме углов треугольника, получаем равенства  и

Таким образом, треугольники CFEи CBKподобны по двум углам. Следовательно, отношения их соответстветственных сторон равны. Отметим, что отрезок СЕ представляет собой треть стороны СD и, следовательно, имеет длину , получаем 

Подставляя значение d, полученное выше, получаем уравнение

X=, что и требовалось доказать. Следовательно, задача решена.

3.3 Квадратура круга

Условие задачи: Построить квадрат, площадь которого равна площади данного круга.

К сожалению, не смотря на то, что две предыдущие задачи решаются с помощью оригами, построение квадратуры круга этим способом невозможно. Это объясняется тем, что если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить х длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: x² = π, откуда: . Отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа действий можно построить отрезок длины π. Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа π, которая была доказана в 1882 году Линдеманом.