Системы счисления (с. с.)

 

1. Понятие о системах счисления.

 С.с.-это способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называют цифрами.

 

Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.

 

Позиционная с. с. - это система, в которой значение цифры зависит от ее позиции в последовательности цифр изображающих число.  (5567 ₁₀)

 

Непозиционная с. с. – это система, в которой значение цифры не зависит от ее позиции. (xxx)

 

Количество цифр в алфавите системы равно основанию системы счисления

 

По происхождению делятся на:

         - анатомического (10-ая, 5-ая, 12-ая,20-ая)

          - алфавитные (славянская,     древнеармянская)

          -прочие (римская, вавилонская)

          -машинные(2-ая,8-ая,16-ая)

 

2. Правила перевода из одной  с. с. в другую. (рассмотрим 5 правил)

 

1.из 2-ой, 8-ой, 16-ой в 10-ую.:

N=a _np ⁿ+…+a ₂p ²+a ₁p ¹+a ₀p⁰,+а _-1р ^-1+а _-2р ^-2+…

2.Из 10-ой в 2-ую, 8-ую, 16-ую (целые числа): деление на 2, деление на 8, деление на16.

3. Из 10-ой в 2-ую, 8-ую, 16-ую (дробные числа): умножение на (2, 8,16)

4.Из  8-ой, 16-ой в 2-ую: замена (8-ых цифр триадами; 16-ых цифр тетрадами)

5.Из 2-ой в 8-ую, 16-ую: замена (триад цифрами  8-ой с. с., тетрад  цифрами 16-ой с. с.)

 

1. И з 2-ой, 8-ой, 16-ой в 10-ую. :

N=a _np ⁿ+…+a ₂p ²+a ₁p ¹+a ₀p⁰,+а _-1р ^-1+а _-2р ^-2+…

 

Запись числа  757,7 ₁₀ означает сокращенную запись выражения

 700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•10 ² + 5•10 ¹ + 7•10 ⁰ + 7•10 ^-1 =

 =757,7 ₁₀

 

1.     1110,01₂=1 ³1 ²1 ¹1 ⁰,0 ^-1 1^-2  ₂=1*2 ³+1*2 ²+1*2 ¹+

0*2 ⁰+0*2 ^-1+1*2^-2=8+4+2+0+0,25=14,25 ₁₀

 

 2.  751,25 ₈=7 ²5 ¹1 ⁰,2 ^-15 ^-2 ₈=7*8 ²+5*8 ¹+1*8 ⁰+2*8 ^-1

+5*8 ^-2=448+40+1+0,33=489,33 ₁₀

 

3. 8Е5,А8 ₁₆=8 ²Е ¹5 ⁰,А ^-18 ^-2=8*16 ²+14*16 ¹+5*16 ⁰+10*16 ^-1

+8*16 ^-2 ₁₆=2048+224+5+0,66=2277,66 ₁₀

 

2. Из 10-ой в 2-ую, 8-ую, 16-ую (целые числа) : деление на2, деление на 8, деление на16.

Правила перевода целой части числа.

Для того чтобы перевести целую часть числа из десятич­ной системы счисления в двоичную, восьмеричную, шестнад­цатеричную, необходимо:

Последовательно делить данное число и получаемые при делении целые частные на основание новой сис­темы счисления (2, 8 или 16), выражая промежуточ­ный результат цифрами исходной системы, до тех пор, пока частное не станет равным нулю.

Полученные остатки, фактически являющиеся цифро-

вым выражением числа в новой системе, привести в соответствие с алфавитом этой системы счисления (имеются в виду системы счисления с основанием боль­ше 10).

3. Записать число в новой системе счисления, начиная с

последнего остатка.

 

 

153 ₁₀=10011001 ₂=231 ₈=99 ₁₆      186 ₁₀=BA ₁₆

 

  153 |2                                   153 |8                           

  152  76 |2                             152  19 |8

      1  76  38 |2                           1  16  2 

            0  38  19 |2                           3

                   0  18  9 |2

                        1  8  4 |2            153 |16 

                            1  4  2 |2        144    9

                                0  2   1           9                                  

                                    0 

        

   186 |16

   176  11

   10

 

 

 

 

 

3. Из 10-ой в 2-ую, 8-ую, 16-ую(дробные числа) : умножение на ( 2, 8,16)

Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную.

Алгоритм.

1.      Последовательно умножать (в исходной системе счисления) данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы  (на 2, на 8, на 16) до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления данного числа.

2.      Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами в числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системе счисления.

3.      Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

 

0,65625 ₁₀=0,10101 ₂= 0,52 ₈=0,А8 ₁₆

 

0,|65625          0,|65625          0,|65625

   |        2            |        8            |      16

1,|31250          5,|25000          3 |93750

   |        2            |        8          6|5625 

0,|62500          2,|00000        10,|50000

   |        2                                   |      16

1,|25000                                  3|00000     

   |        2                                 5|0000

0,|50000                                 8,|00000

   |       

1,|00000      

  

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Из  8-ой, 16-ой в 2-ую: замена (8-ых цифр триадами; 16-ых цифр тетрадами)

 

Алгоритм: восьмеричные цифры заменяются на тройки двоичных цифр (при необходимости слева дописываются недостающие нули):

325₈ → 3    2    5 → 11 010 101 → 11010101₂.

 011 010 101

Для перевода чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную используется алгоритм «по тетрадам».  Строка двоичных цифр разбивается на четверки и вместо них записываются шестнадцатеричные цифры:

10101101₂ → 1010 1101 → AD₁₆.

 А      D

Алгоритм: вместо шестнадцатеричных цифр подставляются четверки двоичных цифр.

Из восьмеричной системы в шестнадцатеричную и обратно проще переводить через двоичную систему:

D5₁₆→ D 5 →1101 0101 → 11010101₂ → 11 010 101 → 325₈.

D      5                                3      2     5

При выполнении заданий на сложение чисел разных систем счисления их нужно перевести в одну систему счисления. Лучше всего пользоваться той системой, в которой должен быть представлен результат.

 

100010011,110 ₂=100 010 011, 110 ₂=423,6 ₈

 

11100011,1010 ₂= 1110 0011, 1010 ₂=Е3,А ₁₆

 

5 .Из 2-ой в 8-ую, 16-ую: замена (триад цифрами 8-ой с. с. , тетрад  цифрами 16-ой с. с.)

Перевод из 2-ой в 8-ую, 16-ую.

Алгоритм перевода двоичных чисел в восьмеричные «по триадам». Для применения этого алгоритма надо разбить двоичное число на тройки цифр (считая справа) и записать вместо каждой из троек восьмеричную цифру:

10101101₂ → 10 101 101 → 255₈.

2    5    5

Крайняя левая тройка может быть неполной (как в примере), для получения полных троек можно приписать слева недостающие нули.

Убедимся в правильности алгоритма:

10101101₂  → 1*2⁷+1*2⁵+1*2³+2*2¹+1*2⁰=173₁₀;

255₈ →2*2⁶+5*2³+5*2⁰=173₁₀.

 

  Задания по теме

Задание1 . (Задание А6  демоверсии 2004 г.)

Вычислите значение суммы в десятичной системе счисления:

10₂+10₈+10₁₆ = ?₁₀

Решение.

Переведем все числа в десятичную запись:

10₂+10₈+10₁₆ = (1*2¹+0*2⁰) + (1*8¹+0*8⁰) + (1*16¹+0*16⁰) = 2+8+16=26₁₀.

Ответ: 26.

Задание 2.

Найдите сумму x+y, если x=1110101₂ , y=1011011₂. Ответ представьте в восьмеричной системе.

Решение.

Найдем сумму: 1110101₂ + 1011011₂ :

Дописывание единицы		1	1	1	1	1	1
Первое слагаемое		1	1	1	0	1	0	1
Второе слагаемое		1	0	1	1	0	1	1
Сумма	1	1	0	1	0	0	0	0

1110101₂ + 1011011₂ = 11010000₂

Переведем получившееся число из двоичной системы счисления в восьмеричную:

 11 010 000  → 320₈.

 

 3     2     0

Ответ: 320.

 

 

Задание 3. (B1  демоверсии 2004 г.)

В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде 110. Найдите это основание.

Решение.

Обозначим искомое основание через n. Исходя из правил записи чисел в позиционных счислениях 110_n=n²+n¹+0. Составим уравнение: n²+n=12, найдем корни: n₁=-4, n₂=3. Корень n₁=-4 не подходит, так как основание системы счисления, по определению, натуральное число большее единицы. Проверим, подходит ли корень n=3:

110₃=1*3²+1*3¹+0=9+3=12₁₀

Ответ: 3.

Задание 4 .

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 17 оканчивается на 2.

Решение.

Последняя цифра в записи числа представляет собой остаток от деления числа на основание системы счисления. Поскольку 17-2=15, то искомые основания систем счисления будут являться делителями 15, это: 3, 5, 15.

Проверим наш ответ, представив число 17 в соответствующих системах счисления:

 

ЕГЭ  (демонстрационный вариант 2007)

 

Задание 5.

 А4 . Сколько единиц в двоичной записи числа 195?

 

1)

5

2)

2

3)

3

4)

4

 

Решение: преобразуем  число 195 в двоичную  систему используя деление  «уголком» с выделением остатков: 11000011₂   

Ответ : 4

 

Задание 6.

А5. Значение выражения 10₁₆ + 10₈ · 10₂ в двоичной системе счисления равно

 

1)

1010

2)

11010

3)

100000

4)

110000

 

Решение:  переведем числа в 2-ую систему и выполним  действия: 10 000₂ + 1000₂ *10₂ =100 000₂

Ответ : 3

Задание 7. А4 Двоичное изображение десятичного числа 1025 содержит значащих нулей:

1.     1024;

2.     100;

3.     11;

4.     9.

Решение. Так как 1024=2¹⁰ и поэтому содержит 1 единицу в старшем разряде и последующие 10 значащих нулей, а для числа 1025=1024+1 добавляется лишь одна единица в младшем разряде, то количество единиц станет равно 2, а значащих нулей будет равно 9.

Ответ: 4.

 

Задание 8.

В системе счисления с некоторым основанием число 17 записывается как 101. Укажите это основание.

Решение.

17₁₀ = 101_х = 1*х² + 0*х¹+ 1 х⁰

17=х²+1,→ х²=16,→ x_1,2=± =±4

x₁= - 4 – не удовлетворяет смыслу задачи,

x₂= 4 – основание искомой системы счисления.

Ответ: 4.