Iэтап урока – организационный (1 минута)

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет, что во время урока постепенно будет использовать тот раздаточный материал, который находится на партах.

IIэтап урока (5 минут)

Повторение теоретического материала по теме «Производная, ее геометрический и физический смысл. Вычисление производных»

Учитель: «Дайте определение производной»

Звучит определение.

Определение.1. Производной функции ¦(х) в точке х₀ называется число, к которому стремится разностное отношение , при Dх, стремящемся к нулю.

                        2. Производной функции ¦(х) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции D¦= ¦(х + Dх) –  ¦(х₀) к приращению аргумента Dх, при Dх®0, если этот предел существует                        

Учитель:В чем состоит геометрический смысл производной?

Ответ:Производная в точке х₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у = ¦(х) в этой точке ¦¢(х) = k= tga

Учитель:В чем состоит физический (механический) смысл производной?

Ответ:Скорость – производная пути по времени

                                   V=V(t) = S¢(t)

              Ускорение – производная скорости по времени (вторая производная пути по времени)

Учитель:Этапы нахождения интервалов монотонности и экстремумов

IIIэтап урока (5 минут)

Устная работа по решению простейших заданий на тему «Вычисление производной. Геометрический и механический смысл производной»

Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению задач.

Учащимся розданы листы с заданиями для устной работы, следующего содержания:

1. Найдите эскиз графика производной функции у = g¢(х), если известно, что функция у = g(х) имеет единственный максимум

2. Тело движется прямолинейно по закону S(t) = 2t³+ 1/2t²– t. Вычислите скорость при t= 1.

1) 5             2) 7                      3) 6                  4) 9

3. Зависимость пути Sот времени движения выражается формулой S= gt²/2. Назовите формулу ускорения.

1) gt/2        2) gt          3) 2gt               4) g

4. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции наклонена к оси Ох под углом a, если ¦(х) = х²/8 + 2, tga= ½.

1) 2         2) 1           3) -1            4) Ö2/2

5. Найдите угловой коэффициент касательной к кривой у = -2х² + х в точке х₀ = -2.

1) 5        2) 6           3) -6              4) 9

6. К графику функции у = ¦(х) в точке с абсциссой х₀ = -3 проведена касательная. Определите угловой коэффициент касательной, если на рисунке 1 изображен график производной данной функции.

                                                   ^{Рис. 1}

Учитель предлагает учащимся по очереди отвечать на сформулированные вопросы, комментируя свой ответ ссылкой на соответствующий теоретический материал.

IVэтап урока (10 минут)

Повторение теоретического материала по теме «Вычисление производных»

Перед решением задач, учащимся необходимо напомнить основные теоретические факты (правила вычисления производных)

Учитель приглашает одного учащегося к доске для решения задания.

1. Найдите производную функции ¦(х) = (7 – х)lnх, при х >0.

2. Найдите производную функции ¦(х) = (х – 4)е^х

1) (х – 5)е^х      2) е^х + х(х – 4)е^{х – 1}       3) е^х         4) (х – 3)е^х

3. Найдите производную функции у(х) = sin3x+ х³

1) у¢(х) = 3 cos3х + 3х²;     2) у¢(х) = -3 cos3х + 3х²;

3)  у¢(х) = 3 cos3х + 3х²;     4) у¢(х) = - cos3х + 3х.   

 Учитель обращает внимание сильной группы учащихся на полезность, знания формул, которые в раздаточном материале напечатаны на отдельных листах.

Vэтап урока (15 минут)

Разноуровневая самостоятельная работа.

Учитель выдает задания для самостоятельной работы, сообщая учащимся, что на ее выполнение отводится 15 минут.

Для учащихся 3-й группы учителем составлены желтые карточки в трех вариантах. Учащимся 3-й группы – это, как правило, учащиеся со слабой математической подготовкой, педагогически запущенные школьники. Работа для них содержит простейшие задания аналогичные тем, которые разбирались на уроке (4 задания) и два задания на темы, по которым они уже демонстрировали успешное выполнение заданий. Все задания в вариантах базового уровня сложности. Вместе с заданиями учащиеся получают бланки для выполнения заданий.

карточка № 1 (1 группа)

1.      Найдите значение выражения:  7^1,2а ×7^-3,2а, при а = 1/2                                                                                    1) 7      2) 1/7       3) 49       4)1/49

2.     Найдите производную функции у(х) = 3х³ – 2х² + х – 1 в точке с абсциссой х₀ = 1                       

          1) 9      2) 5          3) 4          4) 6

3.     Укажите множество значений функции у = 3 cos(1/2х)                                                                           1) [-1/2; 1/2]      2) (-¥; +¥)      3) [-3: 3]        4) (-1/2; ½)

4.     Найдите производную функции ¦(х) = (5 + х)lnx, при х >0                                                                          

5.     Через точку графика функции у(х) = -1/2х² + 4х + 7 с абсциссой х₀ = 2 проведена касательная. Найдите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.                                                                                                                         1) -1     2) 2       3) 6        4) 17

6.     Тело движется по прямой так, что расстояние S(в м) от него до точки М по этой прямой изменяется по закону S(t) = t⁴+ 1/3t³– t²+ 8. Чему будет равна мгновенная скорость (м/с) через 3 с после начала движения?                                                                                   1) 123          2) 111         3) 108        4) 121   

  карточка № 2 (1 группа)     

1.      Найдите значение выражения:  9^5а ×9^-2а, при а = -1/6                                                                                    1) 81      2) 2       3) 3       4) 9

2.     Найдите производную функции у(х) = 3х³ + 2х² + х + 1 в точке с абсциссой х₀ = -1                                                                                                                           1) 6      2) 5          3) 4          4) 3

3.     Укажите множество значений функции у = 2^{х– 3}                                                                            1) (3;  +¥)     2) (-¥; +¥)      3) (0; +¥)        4) (-¥; -3)

4.     Найдите производную функции у(х) = е^-3х +  x²                                                                                     1) у¢(х) = е^-3х + х²;         2) у¢(х) = -3е^-3х + 2х;                                                                     3) у¢(х) = 3е^-3х + 2х;      4)  у¢(х) = -3е^-х + 2х.                 

5.     Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = 4х – х² в его точке с абсциссой х₀ = 1.                                                                                                      1) 2     2) 3       3) 4        4) 1

6.     Материальная точка  движется по закону х(t) = 0,25t³–  3t²+ 21t– 18 (х – перемещение в м, t– время в с). Через сколько секунд после начала движения ускорение точки будет равно 3 м/с²?                                                                                                                           1) 6          2) 5         3) 3        4) 4                                           

 карточка № 3 (1 группа)

1.      Найдите значение выражения:  16^7а ×16^-5а, при а = 1/8                                                                                    1) 256      2) 2       3) 3       4) 4

2.     Найдите производную функции у(х) = х⁶ –  х⁴ + 2х³ – х² – 34  в точке с абсциссой х₀ = -1                                                                                                                    1) 6      2)-6          3) 18          4) 12

3.     Укажите множество значений функции у = sin2х + 3                                                                       1) [1; 3]       2) [2; 4]    3) [0; 3]       4) [-2; 2]      

4.     Найдите производную функции у(х) = (4х + 9)^-3                                                                                1) у¢(х) = -12(4х + 9)^-2;   2) у¢(х) = -12(4х + 9)^-4;                                                           3) у¢(х) = -3(4х + 9)^-2;    4)  у¢(х) = -3(4х + 9)^-4.     

5.     Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = 3х³ – 2х² + 5 в его точке с абсциссой х₀ = -3.                                                                                                      1) 98     2) 69       3) 33        4) 93

6.     Материальная точка  движется по закону х(t) = 2t²–  2t+ 6 (х – перемещение в метрах, t– время в с) Через сколько секунд после начала движения скорость точки будет равна    6 м/с?                                                                                                                                                 1) 4          2) 2         3) 3        4) 8    

Для учащихся 2-й группы учитель выдал книги «Тестовые задания по алгебре и началам анализа» с вложенными бланками для ответов, в которых указан номер выполняемого варианта(10 вариантов, тема№6).

Трем наиболее подготовленным учащимся из этой группы учитель предлагает решать задачи на доске по голубым карточкам.

 карточка №1 (2 группа)

(задания выполняются на доске)

1. Функция у = ¦(х)  определена на промежутке (-4; 7). На рисунке 2 изображен график ее производной. Найдите точку х₀, в которой функция у = ¦(х)   принимает наименьшее значение на отрезке [-2; 5].

                                                ^{Рис. 2}

2. Найдите число, которое в сумме со своим квадратом давало бы наименьшую величину.

карточка №2 (2 группа)

(задания выполняются на доске)

1. Функция у = ¦(х) определена на интервале (-5; 5). На рисунке 3 изображен график ее производной. Найдите общую протяженность промежутков неубывания функции ¦(х).

                                                 ^{Рис. 3}

2. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке [0; 2].

 карточка №3 (2 группа)

(задания выполняются на доске)

1. Про функцию у = ¦(х), определенную и дифференцируемую на всей числовой оси, известно что она нечетна. На рисунке 4 изображен график ее производной у = ¦¢(х) на отрезке [0; 5]. Определите количество промежутков строгой монотонности функции у = ¦(х) на отрезке [-5; 5].

                                                 ^Рис.4

2. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке  [-2; 0].

Учащимся 1-й группы учитель выдал розовые карточки с задачами повышенного уровня сложности. В своих работах учащиеся должны были представить краткий ответ на первую задачу и развернутое решение второй задачи.

карточка №1 (3 группа)

1. Функция у = ¦(х) определена на промежутке (-4; 6). На рисунке 5 изображен график ее производной. Найдите число точек графика функции у = ¦(х), в которых касательные к графику функции наклонены под углом 45⁰ к положительному направлению оси абсцисс.

                                                      ^{Рис. 5}

2. Найдите наименьшее значение функции

 карточка №2 (3 группа)

1. Функция у = ¦(х) определена на промежутке (-4; 6). На рисунке 6 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = ¦(х), которые параллельны оси абсцисс.

                                                         ^{Рис. 6}

2. Найдите значение функции  в точке минимума.

 карточка №3 (3 группа)

1.     Функция у = ¦(х) определена на промежутке (-5; 8). На рисунке 7 изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = ¦(х), которые наклонены под углом 135⁰ к положительному направлению оси абсцисс.

                                                          ^{Рис. 7}

Найдите значение функции  в точке минимума.

Во время выполнения работы учитель при необходимости помогает учащимся 3-й группы выполнять задания наводящими вопросами и контролирует решение задач на доске.

По истечении времени учащиеся сдают работы.

VIэтап урока (7 минут)

Обсуждение решений задач представленных на доске

На доске учащиеся решали две задачи (голубая карточка), первая – это задача базового уровня сложности с кратким ответом, а вторая повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Учащиеся, выполнявшие задачи у доски, комментируют свои решения, а остальные вносят при необходимости коррективы.

VIIэтап урока (2 минуты)

Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию.