План урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний учащихся.

3. Объяснение новой темы.

4. Закрепление изученного материала.

5. Подведение итогов.

6. Домашнее задание.

 

1.   Организационный момент (приветствие).

      Как мы познаем окружающий нас мир? Чаще всего нам приходится полагаться на свидетельства наших органов чувств — слуха, зрения, осязания, вкуса, обоняния. Но ведь многие явления окружающего мира скрыты от наших органов чувств. Они ничего не говорят нам о том, что Земля вращается вокруг своей оси и обращается вокруг Солнца. Они умалчивают о природе силы, удерживающей планеты на их орбитах. А ведь познание окружающего мира характерно для всех живых существ, в том числе и для человека, который научился эффективно приобретать новые знания, использовать их в своей жизни и накапливать для передачи последующим поколениям. 

       Как же это происходит? В 1900 г., обращаясь к участникам II Международного конгресса математиков, один из величайших представителей современной математической науки Давид Гильберт заявил: «Математика — основа всего точного естествознания». С полным основанием можно добавить, что только математика позволила получить то знание о разнообразных жизненно важных явлениях, которыми мы ныне располагаем.

       По мере изучения какого-либо явления, перед человеком все больше открываются его свойства и связи с другими явлениями. В большинстве случаев законы, которые управляют ими, весьма сложны. Но среди громадного многообразия явлений ученые выделили такие, в которых взаимосвязь между величинами настолько тесна, что зная значение одной из них, можно узнать значение другой. Такие зависимости в математике называют функциональными. Они служат для описания разнообразных процессов, в том числе – периодических, которые представляют особый интерес, т. к. очень многие процессы в окружающем мире имеют повторяющийся характер. Например, раз в год повторяется взаимное расположение Земли и Солнца. С течением времени повторяются день и ночь, приливы и отливы. Функции, которые описывают эти повторяющиеся процессы, так и называют периодическими.Для их изучения нам потребуется новая система координат, которая требует новое изображение.

       Какой геометрический образ на ваш взгляд наиболее тесно связан с периодическими процессами?

 

2.   Актуализация знаний учащихся.

                                  СЛАЙД 2. ОКРУЖНОСТЬ

     Назовите математические понятия, которые вы вспоминаете, когда слышите слово «окружность».

Ответы:

Центр окружности, радиус окружности, диаметр окружности, длина окружности, дуга окружности

Пояснения по ходу ответов учащихся:

- R радиус (отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на данной окружности)

- D диаметр (отрезок, проходящий через центр окружности, соединяющий две точки, лежащие на данной окружности) D = 2R

- С длина окружности. Напомню, что в курсе математики было доказано существование интересного факта – отношение длины окружности к диаметру окружности есть величина постоянная и равна приблизительно 3,14. Эту постоянную величину обозначили буквой π.

Таким образом, мы вспомнили, что длину дуги окружности можно найти с помощью формулы С = 2 πR.

Известная вам система координат связана с координатной прямой.  Координатная прямая – это прямая, на которой задано (что?)

1)    начало отсчета

2)    направление

3)    единичный отрезок

      Если координата точки К равна числу а, то чему равна длина отрезка ОК?

      Таким образом, точка  К – это конец отрезка, длина которого выражена числом а.

     

                           Тема сегодняшнего урока «Координатная окружность»

3.   Объяснение новой темы.

СЛАЙД 3

(работа в тетради, рисунок 1)

            А теперь, по аналогии с координатной прямой, зададим новую систему координат, связанную с окружностью. Для этого укажем на ней:

1) начало отсчета

2) направление

3) единичный отрезок

     Проведем вертикальный и горизонтальный диаметры. Началом отсчета выберем точку О.

Назовите возможные направления движения по окружности. (По и против часовой стрелке)

Положительным направлением принято считать движение против часовой стрелки. Тогда, отрицательным направлением ….

На окружности есть естественная единица измерения длин – радиус этой окружности, который и будем использовать в качестве единичного отрезка. Наиболее удобное значение радиуса – 1.

 

СЛАЙД 4

     Итак, координатная окружность – это единичная окружность, на которой выбраны начало отсчета и направление. Число, показывающее положение точки на окружности, называют координатой точки. Если координата точки К равна некоторому числу, то точка К – это конец дуги, длина которой выражена этим числом.

Сегодня на уроке вы научитесь:

1)     отмечать на координатной окружности точки, соответствующие заданным числам;

2)     записывать координаты точек координатной окружности.

 

СЛАЙД 5

Для того, чтобы поставить в соответствие некоторому числу Х точку на координатной  окружности необходимо пользоваться следующим правилом:

1)     если Х > 0, то, двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки) необходимо от начала отсчета отложить дугу, длина которой равна Х.

2)     если Х < 0, , то, двигаясь в отрицательном направлении (по часовой стрелке) необходимо от начала отсчета отложить дугу, длина которой равна Х.

 

СЛАЙД 6

     Отметить на координатной окружности точки В, С и D. Для того, чтобы выполнить это задание, исходя из основной формулы длины окружности С = 2 πR, вычислим длину окружности, радиус которой равен 1.

      Итак, длина окружности 2 π, тогда

                             половина окружности – дуга длиной π

                             четверть окружности – дуга длиной

      Значения π и  удобно использовать для нахождения других точек окружности по их координатам.

 

СЛАЙД 7

(работа на доске и в тетради, задание 1)

     

 

CЛАЙД 8

      Всегда ли разные числа задают на координатной окружности разные точки? (Нет)

Действительно, на координатной окружности разным числам может соответствовать одна и та же точка.

      Итак, если точка М координатной окружности соответствует числу х, то она соответствует и числу вида х + 2 πk, где k – целое число.

 

СЛАЙД 9

      Это очень важное свойство и его также можно использовать для нахождения точек координатной окружности по их координатам.

 

СЛАЙД 10

(работа на доске и в тетради, задание 2)

     Найти на координатной окружности точку А.

 

 

 

СЛАЙД 11

      Во всех разобранных примерах длины дуг выражались с использованием числа π. Но, разумеется, на координатной окружности можно найти точку, соответствующую любому рациональному числу.

      Найдем на координатной окружности точку, соответствующую числу (- 3).  Т. к. длина окружности равна приблизительно 6, 28, то нужно, двигаясь в отрицательном направлении, отложить от начала отсчета дугу длиной 3.

      Мы видим, что положение точки, координата которой задана рациональным числом, на координатной окружности определяется приблизительно.

 

СЛАЙД 12

      А теперь научимся определять координаты точек.

      Дуга АВ разделена точкой М на две равные части, а точками К и Р на три равные части (точка Р между точками М и В). Чему равны координаты точек К, М, Р?

 

4. Закрепление изученного материала.

СЛАЙДЫ 13, 14

       Используя макеты, найдите точки с указанными координатами (задание с последующей самопроверкой).

 

      5.Подведение итогов.

 На   сегодняшнем   уроке   вы   узнали   о   новой системе координат, связанной с

окружностью и научились, используя ее, определять положение точек на координатной окружности по заданным числам и решать обратную задачу.   

      Продемонстрировать свои знания и умения вы сможете, выполнив самостоятельную работу.

 

 

ОПРОС ПО ТЕОРИИ:

 

1.     Запишите полное определение.

Координатная окружность – это _____________________________окружность, на которо выбрано______________________ и указано_______________________               

 

 

2.     Выполните необходимые построения и отметьте на полученных

координатной прямой и координатной окружности точки, соответствующие числам: а и а + 2π?

 

      3.     В чем состоит принципиальное различие между изображением чисел

точками координатной прямой и их изображением точками координатной окружности?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

  

4.     Как записать множество чисел, соответствующих на координатной

окружности  одной и той же точке  с координатой х? (Выберите правильный ответ).

а) х

б) х + 2π;

в) х + 2πk; kZ.

г) х + πk; kZ.

 

         6.Домашнее задание.

1. Выберите верное соответствие между точками на координатной окружности и числами.

2. Выберите число, соответствующее точке А                                                   

3. Выберите два числовых значения, соответствущих точке А.                                  

4. Выберите и выполните задание посильного уровня:

а) Координатную окружность разделить на 12 равных частей, каждой точке поставьте в соответствие число, выраженное в долях π.

б) Отметить на координатной окружности точку А, соответствующую числу 25.

в) Отметить на координатной окружности точку В, соответствующую числу 24.

Указать еще два числа, соответствующих точке В. Записать закономерность в получении таких чисел.

Спасибо за работу!