<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», и самая последняя – «импликация»
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->логическое произведениеA∙B∙C∙… равно 1 (выражение истинно) только тогда, когда все сомножители равны 1 (а в остальных случаях равно 0)
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->логическая суммаA+B+C+… равна 0 (выражение ложно) только тогда, когда все слагаемые равны 0 (а в остальных случаях равна 1)
<!--[if !supportLists]-->4) <!--[endif]-->согласно таблице, заданное выражение истинно везде, кроме областей, где <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->A=1 и B=0
<!--[if !supportLists]-->5) <!--[endif]-->поэтому наибольшее целое число, удовлетворяющее условию – это первое целое число, меньшее 7.1<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->, то есть, 7
<!--[if !supportLists]-->6) <!--[endif]-->таким образом, верный ответ – 7 .
Решение (вариант 2, преобразование выражения):
<!--[if !supportLists]-->1) <!--[endif]-->сначала можно преобразовать импликацию, выразив ее через «ИЛИ» и «НЕ»:<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--> A→B = не A + B
<!--[if !supportLists]-->2) <!--[endif]-->это значит, что выражение истинно там, где A=0<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->или B=1<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[if !supportLists]-->3) <!--[endif]-->дальнейшие действия точно такие же, как и в варианте 1.
Еще пример задания:
Сколько различных решений имеет уравнение
((KÚL) → (LÙMÙN)) = 0
где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.
Решение (вариант 1):
<!--[if !supportLists]-->1) <!--[endif]-->перепишем уравнение, используя более простые обозначения операций:
((K + L) → (L · M · N)) = 0
<!--[if !supportLists]-->2) <!--[endif]-->из таблицы истинности операции «импликация» (см. первую задачу) следует, что это равенство верно тогда и только тогда, когда одновременно
K + L = 1 и L · M · N = 0
<!--[if !supportLists]-->3) <!--[endif]-->из первого уравнения следует, что хотя бы одна из переменных,KилиLравна 1 (или обе вместе); поэтому рассмотрим три случая
<!--[if !supportLists]-->4) <!--[endif]-->если K = 1 и L = 0, то второе равенство выполняется при любых М и N; поскольку существует 4 комбинации двух логических переменных (00, 01, 10 и 11), имеем 4 разных решения
<!--[if !supportLists]-->5) <!--[endif]-->если K = 1 и L = 1, то второе равенство выполняется при М · N = 0; существует 3 таких комбинации (00, 01 и 10), имеем еще 3 решения
<!--[if !supportLists]-->6) <!--[endif]-->если K = 0, то обязательно L = 1 (из первого уравнения); при этом второе равенство выполняется при М · N = 0; существует 3 таких комбинации (00, 01 и 10), имеем еще 3 решения
<!--[if !supportLists]-->7) <!--[endif]-->таким образом, всего получаем 4 + 3 + 3 = 10 решений.
Еще пример задания:
Укажите значения переменных К, L, M, N, при которых логическое выражение
(¬(МÚL)ÙК) → (¬КÙ¬М)ÚN)
ложно. Ответ запишите в виде строки из 4 символов: значений переменных К, L, М и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что К=1, L=1, M=0, N=1.
Решение (анализ исходного выражения):
<!--[if !supportLists]-->1) <!--[endif]-->запишем уравнение, используя более простые обозначения операций (условие «выражение ложно» означает, что оно равно логическому нулю):
<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]-->(не(M + L) . K)→(не K . не M + N) = 0<!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->
<!--[if !supportLists]-->2) <!--[endif]-->из формулировки условия следует, что выражение должно быть ложно только для одного набора переменных
<!--[if !supportLists]-->3) <!--[endif]-->из таблицы истинности операции «импликация» (см. первую задачу) следует, что это выражение ложно тогда и только тогда, когда одновременно
<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->(не(M + L) . K) = 1и(не K . не M + N) = 0
<!--[if !supportLists]-->4) <!--[endif]-->первое равенство (логическое произведение равно 1) выполняется тогда и только тогда, когда <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->K=1и не(M +L)=1 <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->; отсюда следует M + L=0 <!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->(логическая сумма равна нулю), что может быть только при M = L = 0<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->; таким образом, три переменных мы уже определили
<!--[if !supportLists]-->6) <!--[endif]-->таким образом, правильный ответ – 1000.
Еще пример задания:
Составьте таблицу истинности для логической функции
X= (А ↔ B)Ú¬(A→ (BÚC))
в которой столбец значений аргумента А представляет собой двоичную запись числа 27, столбец значений аргумента В – числа 77, столбец значений аргумента С – числа 120. Число в столбце записывается сверху вниз от старшего разряда к младшему. Переведите полученную двоичную запись значений функцииXв десятичную систему счисления.
Решение (вариант 1):
<!--[if !supportLists]-->1) <!--[endif]-->запишем уравнение, используя более простые обозначения операций:
<!--[if !supportLists]-->2) <!--[endif]-->это выражение с тремя переменными, поэтому в таблице истинности будет 23=8 строчек; следовательно, двоичная запись чисел, по которым строятся столбцы таблицы А, В и С, должна состоять из 8 цифр
А
В
С
X
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
<!--[if !supportLists]-->3) <!--[endif]-->переведем числа 27, 77 и 120 в двоичную систему, сразу дополняя запись до 8 знаков нулями в начале чисел
27 =000110112 77 = 010011012 120 = 011110002
<!--[if !supportLists]-->4) <!--[endif]-->теперь можно составить таблицу истинности (см. рисунок справа), в которой строки переставлены в сравнении с традиционным порядком; зеленым фоном выделена двоичная записи числа 27 (биты записываются сверху вниз), синим – запись числа 77 и розовым – запись числа 120:
<!--[if !supportLists]-->5) <!--[endif]-->вряд ли вы сможете сразу написать значения функции Х для каждой комбинации, поэтому удобно добавить в таблицу дополнительные столбцы для расчета промежуточных результатов (см. таблицу ниже)
значениеA↔ B<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->равно 1 только в тех строчках, где А = В
значение B+C<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->равно 1 только в тех строчках, где В = 1 или С = 1
значение A→(B + C)<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->равно 0 только в тех строчках, где А = 1 и В + С = 0
значение не(A→(B + C))<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->–это инверсия предыдущего столбца (0 заменяется на 1, а 1 – на 0)
результат Х (последний столбец) – это логическая сумма двух столбцов, выделенных фиолетовым фоном
<!--[if !supportLists]-->7) <!--[endif]-->чтобы получить ответ, выписываем биты из столбца Х сверху вниз: Х = 101010112
<!--[if !supportLists]-->8) <!--[endif]-->переводим это число в десятичную систему: 101010112 = 27 + 25 + 23 + 21 + 20 = 171
<!--[if !supportLists]-->9) <!--[endif]-->таким образом, правильный ответ – 171.
(Проверьте, что обычно (когда комбинации располагаются по возрастанию соответствующих двоичных чисел), столбец значений аргумента А представляет собой двоичную запись числа 15 = 11112, столбец значений аргумента В – числа 51 = 1100112, столбец значений аргумента С – числа 85 = 101010102.)
Решение (вариант 2, преобразование логической функции):
<!--[if !supportLists]-->1) <!--[endif]-->выполним пп. 1-5 так же, как и в предыдущем способе
<!--[if !supportLists]-->2) <!--[endif]-->запишем уравнение, используя более простые обозначения операций:<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]-->X= (А ↔ B)Ú¬(A→ (BÚC))
<!--[if !supportLists]-->3) <!--[endif]-->раскроем импликацию через операции И, ИЛИ и НЕ (<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->А ↔ B = неA + B):A→ (BÚC) = неA + B + C
<!--[if !supportLists]-->4) <!--[endif]-->раскроем инверсию для выражения<!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte mso 9]> <![endif]-->A→ (BÚC) = неA + B + Cпо формуле де Моргана:
не(A→ (BÚC)) = не(неA + B + C) = A . неB . неC
<!--[if !supportLists]-->5) <!--[endif]-->таким образом, выражение приобретает вид X =(А ↔ B) + A . неB . неC
<!--[if !supportLists]-->6) <!--[endif]-->отсюда сразу видно, что Х = 1 только тогда, когда А = В или (А = 1 и В = С = 0):
А
В
С
X
Примечание
0
0
0
1
А = В
0
1
1
0
0
0
1
1
А = В
1
0
1
0
1
1
1
1
А = В
0
1
0
0
1
0
0
1
А = 1, В = С = 0
1
1
0
1
А = В
<!--[if !supportLists]-->7) <!--[endif]-->чтобы получить ответ, выписываем биты из столбца Х сверху вниз: Х = 101010112
<!--[if !supportLists]-->8) <!--[endif]-->переводим это число в десятичную систему: 101010112 = 27 + 25 + 23 + 21 + 20 = 171
<!--[if !supportLists]-->9) <!--[endif]-->таким образом, правильный ответ – 171.
Задачи для тренировки:
<!--[if !supportLists]-->1) <!--[endif]-->Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание
(90 < X·X)→ (X < (X-1))
<!--[if !supportLists]-->2) <!--[endif]-->Сколько различных решений имеет уравнение
(KÙLÙM)Ú(¬LÙ¬MÙN) = 1
где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество таких наборов.
<!--[if !supportLists]-->3) <!--[endif]-->Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выражение
(¬KÚM)→ (¬LÚMÚN)
ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.
<!--[if !supportLists]-->4) <!--[endif]-->Каково наименьшее целое положительное числоX, при котором высказывание:
(4 > -(4 +X)·X))→ (30 >X·X)
будет ложным.
<!--[if !supportLists]-->5) <!--[endif]-->Каково наибольшее целое положительное числоX, при котором истинно высказывание:
((X- 1) <X)→ (40 >X·X)
<!--[if !supportLists]-->6) <!--[endif]-->Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выражение
(¬(MÚL)ÙK)→ ((¬KÙ¬M)ÚN)
ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.
<!--[if !supportLists]-->7) <!--[endif]-->Каково наименьшее натуральное числоX, при котором высказывание
¬(X·X< 9)→ (X>(X+ 2))
будет ложным?
<!--[if !supportLists]-->8) <!--[endif]-->Укажите значения логических переменных Р, Q, S, Т, при которых логическое выражение
(РÚ¬Q)Ú(Q→ (SÚТ))
ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных Р, Q, S, T (в указанном порядке).
<!--[if !supportLists]-->9) <!--[endif]-->Каково наибольшее целое положительное числоX, при котором высказывание:
((X+ 6)·X+ 9 > 0)→ (X·X> 20)
будет ложным?
<!--[if !supportLists]-->10) <!--[endif]-->Составьте таблицу истинности для логической функции
X= (А→ B)Ù(C↔ ¬(BÚA))
в которой столбец значений аргумента А представляет собой двоичную запись числа 226, столбец значений аргумента В – числа 154, столбец значений аргумента С – числа 75. Число в столбце записывается сверху вниз от старшего разряда к младшему. Переведите полученную двоичную запись значений функцииXв десятичную систему счисления.
<!--[if !supportLists]-->11) <!--[endif]-->Составьте таблицу истинности для логической функции
X= ¬(А→ B)Ù(B↔ ¬(C→ A))
в которой столбец значений аргумента А представляет собой двоичную запись числа 216, столбец значений аргумента В – числа 30, столбец значений аргумента С – числа 170. Число в столбце записывается сверху вниз от старшего разряда к младшему. Переведите полученную двоичную запись значений функцииXв десятичную систему счисления.
.jpg){kind=small}