Сетевой журнал "Интернет и образование"

Этот многогранный мир

Аннотация

Человечество проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего  ребёнка, играющего кубиками, до зрелого математика , изучающего многогранники. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие в виде вирусов. Однако современных учеников не слишком увлекает геометрия, они не считают этот предмет особо притягательным. Лёгкие, сами по себе, задачи в большинстве случаев мало привлекательны для учащихся. Поэтому необходим новый подход в преподавании геометрии с привлечением исторических сведений.                                                                                                         

У ребят появляется возможность   увидеть, что предмет стереометрии наполнен миром красоты и гармонии.  Радость познания помогает становлению личности, если перерастает в  радость творчества.                                                                                                                                                                                 

В результате кропотливой поисковой работы на протяжении ряда лет учащиеся под руководством учителя смогут собрать богатый материал  об истории многогранников. Ребята знакомятся с жизнью выдающихся учёных, которые внесли свой неоценимый вклад  в науку о многогранниках.                                                                                                                                                                

Геометрия становится для учащихся поистине увлекательным, интересным и творческм  предметом.                      

Этот многогранный мир

(элементы историзма на уроках стереометрии)
В годы мира
И в дни войны
На дорогах любой науки
С математикой мы сильны
Верьте ей !
И не верьте слухам.
Математика вокруг нас,
Математика в человеке…
Без неё
Нет космических трасс,
И глубинных,                  
И кругосветных!
Вот и стало на всей земле:
Покоритель глубин
И кручи
Математикою везде
Отделяет «закон» и «случай».

Одной из важнейших задач учителя математики является побуждение учащихся к творческой деятельности, к поиску. В реализации этой задачи большую роль может сыграть использование исторических сведений и биографических данных о жизни и деятельности выдающихся учёных  математиков, философов. Радость познания помогает становлению личности, если перерастает в радость творчества. Жажда познания приведёт к ощутимым плодам просвещения.

Д. Пойа писал: «Процесс изучения того или иного предмета преследует своей целью как сообщение учащимся той или иной информации, касающейся этого предмета, той или иной суммы знаний, так и создание определённых умений.

Если у вас накопился подлинный и искренний опыт математической работы (на любом уровне, элементарном или более высоком), то вы усомнитесь в том, что в математике владение предметом гораздо важнее, чем одно  чистое знание, которое всегда можно пополнить с помощью подходящих справочников.  Поэтому как в средней школе, так и в учебных заведениях других рангов, мы обязаны не только сообщить учащимся известные знания, но и – и это гораздо важнее – научить в какой-то степени владеть предметом».
Современному учителю недостаточно лишь хорошо знать  свой предмет , необходимо интересно, понятно и доступно излагать объясняемый материал с привлечением исторических сведений.

Очень важно, чтобы стереометрия возникла перед школьником не только в качестве системы логических правил и дедуктивных доказательств, но и в качестве метода познания, в качестве средства решения вопросов практического характера. Достигнуть этого можно только, если связать воедино геометрию прошлого с геометрией наших дней.

Лучшие педагоги прошлого настаивали на том, чтобы геометрия получала зримые черты метода познания окружающего мира. В этом отношении значительный интерес представляет, на мой взгляд, значительная работа М.В. Остроградского и А. Блума «Размышления о преподавании». Многие из нас согласятся со словами: «Кто из нас не видел, что из пятидесяти соучеников по меньшей мере сорок испытывали отвращение и падали духом из-за абстрактности идей, преподносимых до того, как они становились понятными на примерах, взятых из житейской практики». А ведь не только в прошлом веке, но и сейчас при изложении материала так часто забывают об огромном значении примеров практического содержания для пробуждения интереса учащихся к предмету и формирования правильного представления о назначении научных знаний.
Учащихся, к примеру, интересуют первые сведения о появлении многогранников, причины вызвавшие новый интерес к древним телам.

Изучая многогранники, мы учимся распознавать ту «холодную» красоту многогранных форм, которую с известным основанием можно рассматривать как «прообраз» красоты вообще.

Приступая к изучению стереометрии, на первых уроках целесообразно познакомить учащихся в целом с понятием «геометрия». Несомненно интерес вызовут у учащихся сведения о том, что первоначальные сведения «Геометрии» возникли в результате отвлечения от всяких свойств и отношений тел, кроме взаимного расположения и величины. Первые выражаются в прикосновении или прилегании тел друг к  другу, в том, что  одно тело есть часть другого, в расположении «между», «внутри». Вторые выражаются в понятиях «больше», «меньше», в понятии о равенстве тел.

Геометрическое тело есть абстракция, в которой сохраняются лишь форма и размеры при полном отвлечении от всех других свойств . При этом геометрия совершенно отвлекается от неопределённости и подвижности реальных форм и размеров и считает все именуемые его отношения и формы абсолютно точными и определёнными. Отвлечение от протяжения тел приводит к понятиям поверхности, линии и точки. Это явно выражено в определениях, данных Евклидом : «линия есть длина без ширины», «поверхность есть то, что имеет  длину и ширину». Точка без всякого протяжения есть абстракция, отражающая возможность неограниченного уменьшения всех размеров тела, воображаемый предел его бесконечного деления.

Геометрия в первоначальном значении есть наука о фигурах , взаимном расположении и размерах их частей, а также о преобразованиях фигур. В современном смысле геометрия объемлет разнообразные математические теории, принадлежность которых к геометрии определяется не только сходством их предмета с обычными пространственными формами и отношениями, но также тем, что они исторически сложились и складываются на основе геометрии в первоначальном её значении и в своих построениях исходят из анализа , обобщения и выражения её понятий. Геометрия в этом смысле жёстко переплетается с другими разделами математики, и её границы не являются точными.

С огромным интересом ребята слушают о Пифагоре Самосском.  О Пифагоре Самосском неизвестно почти ничего достоверно. Уже в древности он стал полулегендарной личностью. Известно, что в 5 в. до н.э. многие крупные математики называли себя «пифагорейцами». Это даёт основание считать, что Пифагор был главой первой математической школы. Именно ему греки приписывают создание геометрии как науки. А кстати, знают ли ребята, что первым ввёл в обращение слово «философия» именно Пифагор ?

У многих учащихся вызывает определённые трудности усвоение основных понятий стереометрии. Чтобы пробудить интерес учащихся к предмету, можно рассказать о том, что некоторыми сведениями о многогранниках обладали ещё древние египтяне. Древнегреческий математик Прокл (5 в. до н. э.) приписывает построение пяти правильных многогранников Пифагору, однако, как было установлено позже, Пифагор мог знать, самое большее, гексаэдр (куб), тетраэдр и додекаэдр, в то время как октаэдр и икосаэдр были, вероятно, открыты лишь Теэтетом Афинским в 4 в. до н.э. Последнего считают также автором  10 и 13 книг «начал» Евклида.

Пифагорейцы, которые утверждали, что «всё есть число», в космологических теориях особенно важное место уделяли правильным многогранникам, неоценимое превосходство которых надо всеми другими телами они усмотрели в том, что их только пять, причём каждый из них имеет своё специфически индивидуальное число граней, вершин и рёбер. В античной философии первоосновой бытия считались четыре элемента (стихии) природы: земля, вода, воздух и огонь.  Древнегреческий философ-идеалист Платон, ничего не добавивший к математической теории многогранников, придавал атомам этих «стихий» форму тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра. Форму додекаэдра Платон придавал всему миру в целом. Этим объясняются такие названия, которые получили правильные  многогранники: «космические фигуры», «платоновы  тела».

О Платоне можно рассказать и подробнее. Древнегреческий  философ Платон родился в 128 или 427 году до н.э. в Афинах.  Он основал собственную школу-академию, ввёл математику в число предметов преподавания, т.к. считал что знания математики необходимо каждому образованному человеку.  Он является одним из основателей логического метода рассуждения от противного. Выпуклые правильные многогранники –тетраэдр , октаэдр, гексаэдр (куб), додекаэдр и икосаэдр- принято называть «платоновыми телами», хотя он только упомянул о них в одной из своих работ (они были известны задолго до него).  

Немалый интерес у ребят  вызывает имя древнегреческого математика, физика и механика Архимеда.  Можно рассказать , что он родился примерно около 287 года до н.э. в Сиракузах, а умер в 212 году до н.э. там же. Основная тема математических работ Архимеда – задача на нахождение площадей поверхностей и объёмов посредством оригинального  метода (разработанные Архимедом методы через 2000 лет развились в интегральное исчисление). В сочинении «О плавающих телах» приводится знаменитый закон Архимеда. Архимеду принадлежит открытие 13 полуправильных многогранников, каждый из которых ограничен не одноимёнными правильными многогранниками в которых многогранные углы равны и одноимённые многоугольники, причём в каждой вершине не сходится одно и то же число одинаковых граней в одинаковом порядке. Число граней этих тел  содержится между 8 и 92. Каждое из этих тел может быть вписано в сферу.    
На внеклассных мероприятиях наиболее сильные ученики могут подготовить и представить рефераты, сообщения о «Золотом сечении», «Архимедовых телах», «Космографической тайне» и др.

Часть материала из-за недостаточного количества часов может быть помещена на классных стендах , в кабинете математики (данный материал готовят сами учащиеся, рисуют развёртки, изготавливают модели под рубрикой «это интересно»).  Повышенный интерес ребята проявили к тому, что в начале 19 века французский математик и механик Л. Пуансо (1777 – 1859г.г), геометрические работы которого относятся к звёздчатым многогранникам, открыл существование ещё двух видов правильных невыпуклых многогранников.

В 1812 году О. Коши доказал , что других правильных звёздчатых многогранников не существует.
Наиболее интересный материал прорабатывается на внеклассных занятиях, по некоторым – проводятся конференции (например, посвящённые сочинению Луки Пачоли «О божественной пропорции» , этюду Кеплера «О снежинке» и др.).

В результате кропотливой поисковой работы на протяжении ряда лет учащиеся под руководством учителя смогут собрать богатый материал  об истории многогранников. Ребята познакомились с жизнью выдающихся учёных, которые внесли свой неоценимый вклад  в науку о многогранниках.

Подлинным открытием для ребят стал материал о вкладе русского учёного Евграфа Степановича Фёдорова в изучение кристаллов .  Е.С. Фёдоров родился 22 декабря 1853 года в Оренбурге, а умер 21 мая 1919 года в Петрограде. Это русский кристаллограф, один из основоположников структурной кристаллографии и минералогии, геометр, петрограф и геолог. Большое значение для развития теории многогранников как самостоятельного раздела геометрии имели его исследования кристаллографических  структур. Е.С. Фёдоров разрабатывал геометрию , в которой основными элементами являются круги, сферы, векторы плоскости и другие геометрические формы. Он впервые исчерпывающе рассматривает законы выполнения пространства в четвёртом разделе «Начал ученья о фигурах». Фёдоров выводит многогранники , которые всецело заполняют пространство, будучи равными, параллельно расположенными и смежными по целым граням. Фёдоров устанавливает, что таких многогранников только четыре типа : кубы и продукты  их однородных деформаций, гексагональные призмы с пинакоидом (простая форма, состоящая из двух  параллельных граней) и продукты их деформаций. Удлинённый – растянутый – ромбододекаэдр рассматривается как пятый тип. Сформулированные  им в «Началах ученья о фигурах» понятия послужили основой вывода 230 пространственных  групп симметрии кристаллов – правильных систем фигур.

В связи с этим  можно применить и такой метод: учащимся дать задание изготовить модели многогранников и во время урока представить свою модель и рассказать о ней. В целом это задание несёт в себе побудительные мотивы к творчеству в области геометрии.

Это задание не представляет особой сложности и ребята с удовольствием выполняют его.

И лучшей наградой учителю за творческую целеустремлённость могут стать слова ваших учащихся

Называют из века в век
Математику
Всемогущей !
Кто несёт математики свет,
Тот
Живёт ради
Дней грядущих.
Математиком можно стать
Открывая познания муки.
Для одних –
«Дважды два – не пять» !
Для других –
Просторы науки !

Использованная литература

• И.И.Баврин, В.А.Садчиков «Новые задачи по стереометрии. Фигуры вращения правильных многогранников». Гуманитарный издательский центр «Владос», Москва 2000 год.
• М. Веннинджер «Модели многогранников». Издательство «Мир», Москва 1974 год