Тема урока. Логарифмы. Логарифмические уравнения и неравенства.
На столе у каждого лежит лист самооценки. После каждого этапа урока я рекомендую вам его заполнить.
Сколько красивых формул в этой теме встречаем:
loga1/b=-logаb log1/ab=-logab
logab=1/logba
10lgb =b, logaa=1, loga1=0
logabn=nlogab
logÖaÖb=logab
Какая в них гармония, красота! Но, в то же время, они не только знаки, в них сконцентрирован огромный смысл! Вы знаете еще немало формул. Напомните мне, чему равняется логарифм произведения, частного. Давайте обсудим некоторые из этих формул: logaa=1 , loga1=0. Почему они верны? Да, по определению. Вспомним определение логарифма
в) Устная работа по теме.
Поднимите руку, кто хотя бы раз играл в морской бой. Вы легко справитесь со следующим заданием. Слайд с таблицей. Я называю букву строки и номер столбца, а вы называете ответ и ищите соответствующую букву в таблице (на доске – таблица, в которой ответ соответствует букве.) В результате: Джон Непер.
1
2
3
4
5
6
7
A
log416
Log327
log5125
log232
log39
log28
log381
B
log25125
log4 8
log279
log816
log8127
log324
log168
C
log82
log49 7
log162
log273
log1255
log644
log322
D
log66
log55
lg10
log77
log99
log42
log24
E
lg0,01
lg0,1
lg0,001
lg1000
lg
7log73
2log25
-3
5
3
1/2
1/5
1
3/4
О
Ж
Д
Н
Р
П
Е
г) Историческая справка. Слайд. Джон Непер.
Джону Неперу принадлежит сам термин «логарифм», который он перевел как «искусственное число». Джон Непер – шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в течение пяти лет в различных университетах Европы изучал математику и другие науки. Затем он серьезно занимался астрономией и математикой. К идее логарифмических вычислений Непер пришел еще в 80-х годах XVI века, однако опубликовал свои таблицы только в 1614 году, после 25-летних вычислений. Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц».
д) Логарифмическая функция. Определение.
Схематически построить графики логарифмических функций.у=log а х, y=Ilog a хI, у= loga х+3, у=I loga (х-2).I Дополнительные вопросы по свойствам функции. Четверо учащихся работают у доски, а остальные выполняют диктант. Слайд. Утверждения на экране. Проставить знак + или -.
1. Логарифмическая функция у = logax определена при любом х
2. Функция у = logax определена при а > 0, а =/= 1, х > 0.
3. Областью определения логарифмической функции является множество действительных чисел.
4. Областью значений логарифмической функции является множество действительных чисел.
5. Логарифмическая функция – четная.
6. Логарифмическая функция – нечетная.
7. Функция у = logax – возрастающая при а >1.
8. Функция у = logax при положительном, но меньшем единицы основании, – возрастающая.
9. Логарифмическая функция имеет экстремум в точке (1; 0).
10. График функции у = log аx пересекается с осью ОХ.
11. График логарифмической функции находится в верхней полуплоскости.
12. График логарифмической функции симметричен относительно ОХ.
13. График логарифмической функции пересекает ОХ в точке (1; 0).
14. График логарифмической функции находится в 1 и 4 четвертях.
15. Существует логарифм отрицательного числа.
16. Существует логарифм дробного положительного числа.
17. График логарифмической функции проходит через точку (0; 0).
Сколько плюсов? Именно столько методов решения логарифмических уравнений мы вспомним.
е) Логарифмические уравнения. Методы решения логарифмических уравнений.
ж) Решение логарифмических уравнений.
У доски сильные учащиеся разбирают решение заданий по карточкам, а остальные по вариантам выполняют работу в тетрадях.
Карточка№1 log4(16-2х)=2log43
Карточка№2 2 3√2log162х-3√log2х-6=0
Карточка№3 log√х2-1(2х2-4х+2)=2
з) Самостоятельная работа№1 . Два уровня.
1 вариант
Решить уравнение:
1. (1б)
2. (1б)
3.log5х+log5(х-4)=1 (1б)
2 вариант
Решить уравнения:
1. log 3(x2 -8x)=2 (2б)
2. (log2х)2+3log1/2х+2=0 (3б)
ответы
1. Х=10
2. Х= -77
3. Х=5
1. Х= -1; 9
2. Х=2; 4
и) Проверка работ. Выступление тех, кто был у доски. Выставление баллов.
к) Логарифмические неравенства
Повторение теории.
Итак, у нас осталась одна тема «логарифмические неравенства». Вспомним определение, разберем случаи, которые могут встречаться в школьном курсе. Для этого вызовем к доске одного ученика.
Логарифмический софизм 2>3
Пока он готовится, мы с вами рассмотрим логарифмический софизм.
Логарифмический софизм 2>3
Начнем с неравенства , бесспорно верного. Затем следует преобразование , тоже не вызывающее сомнений. Большему значению соответствует больший логарифм, значит, , т.е. .
После сокращения на , имеем 2>3. В чем ошибка этого доказательства?
Решение:
Ошибка в том, что при сокращении на lg1/2 не был изменен знак неравенства (> на <); между тем необходимо было это сделать, так как lg1/2 есть число отрицательное.
СОФИЗМ
рассуждение, кажущееся правильным, но содержащее скрытую логическую ошибку и служащее для придания видимости истинности ложному утверждению. Обычно С. обосновывает какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям
Послушаем ответ вашего товарища. Нужно показать решения следующих неравенств:
л) Самостоятельная работа№2. Два уровня сложности.
Решить неравенства:
4. log 9(3х-4)>1/2 (1б)
5. log 3 2x+ 2log 3x-3<0 (2б)
Решить неравенства:
4. log 3 2x- 2log 3x-3<0 (2б)
5. logх(2х-3/4)<2 (3б)
Сильные учащиеся у доски разбирают задания С3 по карточкам.
Карточка№4 log0,5(х-4)<1
Карточка№5 log0,1(х2+х-2)>log0,1(х+3)
Карточка№6 1/log2(-х)<2/1+log2(-х)
м) Рассмотрим задания егэ С3. Метод рационализации - успех в сдачи ЕГЭ по математике.
н) Домашнее задание. Оценки. Оценочные листы.
Если останется время, то выступить Евдокимовой А с презентацией о логарифмической спирали.
о) Итог.
Мы систематизировали, обобщили свойства логарифмической функции, применяли различные методы при решении логарифмических уравнений и неравенств. Показали свои знания, умения по теме. В заключении урока я хочу вам прочитать стихотворение:
“Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия - пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
а математика способна достичь всех этих целей”.
Так сказал американский математик Морис Клайн.
Спасибо за работу!
Оценочный лист учащегося
Фамилия ____________________________________________________
Имя _________________________________________________________
№ П/п
Этапы работы
Достижения
Количество баллов
1
Устный опрос.1 балл за правильный ответ
Воспроизведение опорных знаний
2
Диктант.1 балл за верное выполнение диктанта
Знание свойств логарифмической функции
3
Самостоятельная работа №1.Баллы – в таблице.
Умения учащихся применять разные методы при решении логарифмических уравнений.
4
Работа у доски.3 б -за верное решение
Работа поискового характера. Умение решать нестандартные уравнения, неравенства
5
Самостоятельная работа №2
Умения учащихся применять разные методы при решении логарифмических неравеств.
6
“Дополнительные задания – 2 балла
Умение представить решение, а другим учащимся усвоить нестандартные логарифмические уравнения и неравенства
Итоговое количество баллов ____________
Оценка ____________
Самооценка за урок зависит от суммы набранных баллов на всех этапах.
