Цели урока:
• образовательная – расширение и обобщение знания о числе;
• развивающая – привитие навыка применять теоретические знания при решении заданий; развивать умения анализировать, сравнивать, обобщать;
• воспитательная – способствовать формированию навыков самостоятельной работы, чувства ответственности, познавательного интереса к обучению.

Материалы и оборудование урока: компьютер, мультимедиапроектор, экран, слайд-фильм.

Тип урока: обобщающий урок.

Урок сопровождается слайд-фильмом (Приложение)

Эпиграф к уроку (на доске): « Мнимые числа - это прекрасное и
чудесное убежище божественного духа,
почти что амфибия бытия с небытием»
(Г.Лейбниц)
План урока:
1. Организационный момент
2. Устный опрос
3. Решение теста
4. Самостоятельная работа
5. Итог урока

Ход урока
I. Организационный момент
Учитель: На прошлых уроках мы познакомились с понятием комплексных чисел, действиями над ними, с разными формами записи комплексных чисел. Сегодня на уроке мы обобщим эти знания, углубим их и проверим, как вы применяете теоретические знания по этой теме на практике.
Запишем в тетрадях тему урока «Комплексные числа».
Немного истории: Эпиграфом нашего урока будут слова великого ученого математика Г.Лейбница
Слайд 1
Эпиграф: « Мнимые числа - это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибии бытия с небытием».
(Г.Лейбниц)
 

Учитель: Как же появилось понятие комплексного числа?
Слайд 2, 3
В XVI веке при решении кубических уравнений математики столкнулись с проблемой извлечения квадратных корней из отрицательных чисел.
В 1545 году в труде «Великое искусство» итальянский математик Д.Кардано ввел числа новой природы и назвал их «чисто отрицательными» или «софистически отрицательными».
В 1572 году итальянский алгебраист Р.Бомбелли ввел правила арифметических операций над такими числами.
В 1637 году французский математик Р.Декард назвал эти числа «мнимыми числами».
В 1777 году великий математик Л.Эйлер ввел символ для обозначения числа (i= ).
Сам же термин «комплексное число» ввел в 1803 году Л.Карно.
Полное геометрическое истолкование «мнимым» величинам дали в своих работах датчанин К.Вессель и француз Ж.Арган в 1831 году.
Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н.Е.Жуковский при разработке теории крыла самолета.

II. Проверка усвоения теоретического материала.

Учитель: Дома вы должны были повторить теорию по теме «комплексные числа».
Дайте ответы на следующие вопросы.
Слайд 4.
1. Определение и классификация комплексных чисел.
2. Сопряженные числа, их свойства.
3. Арифметические операции над комплексными числами в алгебраической форме.
4. Изображение комплексных чисел на плоскости.
5. Модуль и аргумент комплексного сила.
6. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра.
7. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера
( при ответах учащиеся делают записи на доске и в тетрадях).
1 вопрос: Дать определение и классификацию комплексных чисел.
Слайд 5
Число вида z=a+bi называется комплексным.
a, b – действительные числа, i – мнимая единица.
a= Re z - действительная часть числа z.
b= Jm z – мнимая часть числа z.
z=a+bi – алгебраическая форма комплексного числа.

Слайд 6
Классификация комплексных чисел

2 вопрос: Сопряженные числа, их свойства.
Слайд 7
Сопряженные числа
_
z=a+bi, z = a-bi – сопряженные числа
Свойства: сумма и произведение двух сопряженных чисел есть действительные числа
_ _
z + z =2a, z * z = a2 + b2
3 вопрос: Арифметические операции над комплексными числами в алгебраической форме.
Слайд 8
Арифметические операции над комплексными числами
z1=a1+b1i, z2=a2+b2i
1. z1=z2 если a1=a2, b1=b2
2. z1+z2= (a1+a2) +(b1+b2)i
3. z1-z2= (a1-a2) +(b1-b2)i
4. z1*z2=(a1*a2 - b1*b2) + (a2*b1 + b2*a1)i
5. z1/z2= (a1*a2 +b1*b2)/ (a22+ b22) + (a2*b1 + b2*a1)i / (a22+ b22)

4 вопрос: Изображение комплексных чисел на плоскости.
Слайд 9

5 вопрос: Модуль и аргумент комплексного числа.
Слайд 10
r =|z|=√a2+b2 – радиус-вектор OZ – модуль комплексного числа Z
угол ZOX – аргумент комплексного числа
φ = arg z
cos φ= a/r sin φ= b/r
6 вопрос: Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра.
Слайд 11
z=a+bi = r (cos φ + i sin φ)
Формула Муавра:
zn = [r (cos φ + i sin φ)] n =rn (cos n φ + i sin n φ)
7 вопрос: Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера.
Слайд 12
z=re iφ
r- Модуль комплексного числа
e- число, которое играет в математике роль, не меньшую, чем число π
е~2.718
Формула Эйлера:
e i φ = (cos φ + i sin φ)
Учитель: Разберем несколько примеров на доске.
(для решения вызываются несколько учеников к доске, остальные решают в тетрадях)
1 пример: вычисли: (3+2i)+3(-1+3i) ответ: 11i
2 пример: вычисли: (1+i)3 ответ: -2+2i
3 пример: записать в тригонометрической и показательной формах к.ч.
z=-1+i√3 ответ: z=2(cos2/3π+isin2/3π) z=2е2/3πi
III. Работа с тестом.
Учитель: Вам предлагается тест для решения, из четырех вариантов ответов вам нужно выбрать верный ответ. Ответы запишите в тетрадь.
Слайд 13,14
№ п/п Вопросы
1 Сколько форм записи имеет комплексное число (к. ч.)?
а) 1
6)2
в) 3
г) 4
2 Что представляет собой число i?
а) число, квадратный корень из которого равен -1
б) число, квадрат которого равен -1
в) число, квадратный корень из которого равен 1
г) число, квадрат которого равен 1
3 Формулу Муавра можно применять, если к. ч. записано:
а) в показательной форме
б) наглядной форме
в) тригонометрической форме
г) алгебраической форме
4 Формулу Эйлера можно применять, если к. ч. записано:
а) в показательной форме
б) наглядной форме
в) тригонометрической форме
г) алгебраической форме
5 Как на координатной плоскости изображается к. ч.?
а) в виде отрезка
б) точкой или радиус-вектором
в) плоской геометрической фигурой
г) в виде круга
6 Выберите из предложенных чисел чисто мнимое:
a) z = 5 - 3i
б) z = 75i
в) z = 32
r)z = 0
7 Вычислите сумму чисел z1 = 7 + 2i и z2 = 3 + 7i:
a) 10 + 9i
б) 4- 5i
в) 10 — 5i
r)4 + 5i
8 Как выглядит тригонометрическая форма числа z = 3 + 4i?
а) это радиус-вектор
б) z = 5(0,6 + 0,8i)
B)z = 3-4i
г) это точка на координатной плоскости
9 В какое множество входят числа 5; 3 - 6i; 2, 7; 2i?
а) действительные числа
б) рациональные числа
в) комплексные числа
г) иррациональные числа
10 Кто ввёл название «мнимые числа»?
а) Декарт
б) Арган
в) Эйлер
г) Кардано

Учитель: Выполните самопроверку.
Слайд 15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
г б в а б б а б в а

IV. Самостоятельная работа.
Слайд 16
Вариант 1. Вариант 2.
1 задание. Выполнить действия:
а) (5-12i)(3+4i) а) (2+3i)(1+i)
б) (4+3i)2 б) (2-i√3)2
2 задание. Записать в тригонометрической и показательной формах к.ч.:
z=-2+2i z=6+6i
3 задание. Изобразить на плоскости числа:
а) z=-2 а) z=1.5
б) z=-3 б) z=-2i
в) z=2+3i в) z=-2-i
Ответы:
1 задание
а) 63-16i а) -1+5i
б) 7+24i б) 1-i4√3
2 задание
z=2√2(cos¾π+isin¾π) z=6√2(cos¼π+isin¼π)
z=2√2е¾πi z=6√2е¼πi

Учитель: Соберем тетради для проверки самостоятельной работы и выставления оценок.
V. Итог урока.
Подведение итогов всех этапов урока. Выставление оценок.
Домашнее задание: подготовка к контрольной работе.