Формирование познавательных компетенций учащихся посредством совершенствования приемов и методов обучения математике

В литературе по методике преподавания часто под термином «прием решения задачи» подразумевается алгоритм решения математической задачи. Его методическим эквивалетом является менее формализованное алгоритмическое предписание, различные формы предъявления которого (правила, примеры-образцы, формулы и т.п.) всегда использовались в школьном курсе математики. Алгоритм решения конкретной задачи составляет лишь часть (исполнительскую) приема ее решения, так как прием содержит и описание действий, направленных на поиск решения задачи и на его анализ. Но, как известно из педагогической психологии, для овладения способами решения разнообразных учебных задач и этого недостаточно; нужно учить школьников обобщенным приемам учебной деятельности, которые были бы применимы для более широкого круга задач в различных ситуациях.

Примерами таких приемов являются рассматриваемые в работах Ю.К. Бабанского  общеучебные приемы учебной деятельности, в работах Н.Ф. Талызиной  – общие приемы мыслительной деятельности. В каждом учебном предмете можно выделить специфические для него обобщенные приемы решения основных задач; они фиксируют то общее, что содержится во всех частных приемах решения задач данного  класса. Например, обобщенные приемы решения уравнений, неравенств и их систем, приемы упрощения выражений и доказательства тождеств в курсе алгебры, приемы дифференцирования, приемы исследования функций и построения их графиков в курсе начал анализа, приемы решения задач координатным или векторным методом в курсе геометрии.

Психологи и дидакты отмечают, что процесс формирования обобщенных приемов учебной деятельности учащихся в процессе обучения должен содержать ряд этапов, каждый из которых имеет целью получить на том или ином уровне определенные свойства учебной деятельности.
В учебной литературе для учителя и учащихся, в практике работы школы явно или неявно отражены отдельные элементы и этапы методики обучения учащихся приемам учебной работы, «умению учиться математике». В них содержится достаточно полное методическое обеспечение для реализации таких этапов, как диагностика, отработка, контроль и применение приемов. Это – подготовительные упражнения для решения более сложных задач; упражнения, составленные методом варьирования (существенных или несущественных признаков понятий и их свойств); задания для самостоятельных и контрольных работ и т.п. Учителя математики используют для диагностики анализ устных ответов и письменных работ учащихся, беседы и повседневное наблюдение за их учебной деятельностью;  в начале учебного года, триместра, урока или его этапов перед учащимися ставят задачи (цели) их учебной деятельности, часто для этого используют проблемные ситуации.

При этом обязательно содержание необходимых акцентов – ориентации учащихся на овладение приемами учебной деятельности; но такие этапы, как инструктаж, обобщение приемов и обучение переносу, обучение нахождению новых приемов часто отсутствуют. Это приводит к нарушению целостности как процесса формирования приемов учебной деятельности, так и всего процесса обучения. Учитель математики может организовать деятельность учащихся на этих этапах.  В качестве примера можно использовать процесс формирования обобщенного приема решения уравнений алгебраическим способом в школьном курсе алгебры.
На этапе инструктажа учащиеся должны усвоить состав приема (термин сообщать  необязательно). С этой целью прием должен быть сформулирован и представлен в качестве предмета специального усвоения. Это лучше сделать в процессе самостоятельного нахождения его учащимися. Тогда инструктаж распадается на три подэтапа, которые можно реализовать как на одном, так и нескольких уроках.

1. Решение упражнений «по соображению» - на основании изученной теории, по аналогии, интуитивно, переносом известного приема и т.п.
2. Осознание учащимися составляющих действий по решению учебной задачи. Лучше всего это сделать в процессе беседы, где ведущим является вопрос учителя: «Выделите и перечислите по порядку, какие действия вы выполняете для решения данной задачи». Затем следует формулировка и фиксация состава приема в виде перечня выявленных действий (памятки) – в тетради, на карточках, на таблице, на экране, в учебнике.
3. Показ образцов применения приема – решение учебных задач, сопровождаемое устными указаниями и советами по использованию приема.
Например, при применении разложения на множители к решению уравнений, поставлена цель: усвоение учащимися приема решения уравнений, правая часть которых равна нулю, разложением левой части на множители. Этап инструктажа начинается во время устной работы в начале урока при выполнении учащимися следующих заданий:

Задание 1. Проверьте, является ли значение переменной  х=3 корнем уравнений: 0,4х = 1,2;   х - 3 = 2х – 6;   2х + 1 = 3х – 4;  7х = 0; ( х – 1 )( х – 2) = 0;  ( х+2)(х – 5) = 0.
Задание 2. Проверьте, являются ли корнями уравнений ( х – 1)( х – 2) = 0  и  ( х + 2)( х – 2) = 0 значения переменной х=1,  х = 2,  х = -2,  х = 5.

Эти задания учащиеся выполняют, используя определение корня уравнения, подстановкой данного значения переменной в данное уравнение.

Задание 3. Объясните, почему в задании2 данные значения переменной обращают одно из уравнений в верное равенство.

Учащиеся вспоминают свойство  произведения, равного нулю, и его множителей.

Задание 4. Найдите в тексте учебника ответ на вопрос: « Нельзя ли использовать это свойство для решения некоторого вида уравнений?»
Далее следует соответствующее высказывание – свойство произведения, равного нулю, и основанный на нем способ решения уравнений.

Задание 5. На  основании  прочитанного  выполните   указанные  упражнения.
Эти упражнения решаются на доске и в тетрадях, при этом выделяется и формулируется    ( в совместном обсуждении) каждое  используемое  для решения  действие. Обобщая результаты анализа каждого упражнения, учащиеся формулируют состав приема:
1) если правая часть уравнения (выше первой степени) равна нулю, посмотреть, нельзя ли разложить его левую часть на множители;
2) если можно, разложить левую часть уравнения на линейные множители;
3) последовательно приравнивая к нулю множители, содержащие переменную, решить полученные линейные уравнения;
4) записать ответ.

Затем учащиеся самостоятельно решают упражнения из  учебника с использованием сформулированного приема.
Таким образом, введение частного приема учебной деятельности есть обобщение способа решения нескольких конкретных учебных задач в результате анализа составляющих действий.  Анализ частных приемов позволяет выделить общее содержание деятельности по решению частных задач и сформулировать боле общий прием. Такое обобщение происходит постепенно в процессе изучения материала и накопления частных приемов решения задач.

Так, на протяжении первых шести  лет обучения математике учащиеся решают простейшие уравнения первой степени с одной переменной на основе правил нахождения неизвестных компонентов действий и простейших тождественных преобразований выражений. При этом формулируются алгоритмы ( формулы, правила) решения, частные приемы решения этих видов уравнений. К концу шестого класса в качестве итога можно сформулировать ( с помощью учащихся)  обобщенный прием решения уравнения в следующим виде:
1) рассмотреть данное уравнение, отметить его особенности;
2) установить, какие из  следующих  упрощений  уравнения можно сделать: раскрыть скобки, перенести слагаемые из одной части уравнения в другую, привести подобные слагаемые в каждой части уравнения, разделить обе части уравнения на коэффициент при переменной;
3) упростить уравнение;
4) найти значение переменной;
5) записать ответ.

В начале систематического изучения курса алгебры состав этого приема следует уточнить с учетом того, что в курсе алгебры даются определения основным понятиям (корень уравнения, равносильные уравнения, линейное  уравнение), формулируются свойства уравнений и учащиеся получают первые представления о сути алгебраического способа решения уравнений. Она состоит в том, что решение каждого уравнения складывается из двух основных частей: 1) преобразование данного уравнения к простейшему , 2) решение простейшего уравнения по известным формулам или алгоритмам. Таким образом, частный прием решения уравнения первой степени с одной переменной приобретает следующий вид:
1) определить, является ли данное уравнение линейным уравнением с одной переменной, т. е. уравнением вида  aх = b;  если  «да», то выполнить  п.4  обобщенного приема, «нет» - п.2;
2) установить, какие из следующих тождественных и равносильных преобразований нужно выполнить, чтобы привести уравнение к линейному:  раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов уравнения из   одной части в другую,  приведение подобных;
3) привести с помощью выбранных преобразований данное уравнение к виду  aх = b;
4) найти х = b/a  при а не равном нулю;
5) если необходимо, сделать проверку, исследование;
6) записать ответ.

На основе этого приема у учащихся вырабатывается умение решать уравнения первой степени с одной переменной.

Рассматривая различные виды уравнений в курсе  алгебры могут быть сформулированы частные приемы решения квадратных уравнений, уравнений с переменной в знаменателе, простейших иррациональных уравнений.  Школьная программа предусматривает знакомство с некоторыми общими для всех видов уравнений приемами равносильных преобразований к простейшим – разложение левой части на множители, если правая равна нулю, введение вспомогательной переменной. Анализ этих приемов позволяет выделить общее содержание деятельности по решению уравнений различных видов и к концу обучения алгебре в основной школе сформулировать обобщенный прием решения уравнений алгебраическим способом:

1) определить, является ли данное уравнение простейшим уравнением  какого – либо вида; если «да», выполнять п. 4, если «нет» - п.2;
2) установить:  какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение к простейшим данного вида: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенесение членов из одной части в другую, приведение подобных, разложение левой части на множители,  введение вспомогательной переменной,  возведение обеих частей в степень, замена уравнения равносильной ему  системой  уравнений и неравенств;
3) с помощью выбранных преобразований привести уравнение к простейшему;
4) решить известным способом простейшее уравнение;
5) если необходимо, сделать проверку, исследование;
6) записать ответ.

Работа учащихся с обобщенным приемом происходит так же, как и с частным. Учащимся высокого интеллектуального уровня достаточно обобщенного приема для организации своей учебной деятельности;  учащиеся среднего и низкого потенциала нуждаются в частных приемах.
На основе обобщения приемов учебной деятельности можно обучать их переносу. Для этой цели используются как типовые задачи по изучаемому материалу, так и задачи из смежных теми предметов, нестандартные задачи, включаемые в небольшом количестве  в разноуровневые  самостоятельные, контрольные  и индивидуальные работы.

Например, при заключительном повторении тем, посвященных изучению уравнений первой степени с одной переменной, можно рассмотреть уравнения, полученные при решении задач а) по геометрии, б) по физике отличающиеся по виду от тех, которые учащиеся решают на уроках алгебры. При этом не следует для решения таких уравнений разучивать  специальные способы решения; необходимо обучать школьников сознательно использовать перенос приемов, сформированных на уроках математики.
Работа учащихся создает достаточно ситуаций для самостоятельного применения приемов учебной деятельности и способов их применения, а также условия для нахождения новых приемов. В зависимости от требований задачи состав действий в приеме варьируется, и чем больше учащиеся самостоятельно применяют усвоенные приемы, тем больше закрепляются в их сознании не только существенные действия, но и вариации этих действий.  Следовательно, с накоплением опыта они учатся изменять и находить самостоятельно существенные действия, т. е.  находить новые приемы на основе усвоенных.

Элементы самостоятельного нахождения учащимися новых приемов учебной деятельности содержатся на всех этапах их формирования, учителю необходимо направлять  учащихся  при выполнении  теоретических обобщений и создавать ситуации для практической деятельности. На этапах введения, обобщения и обучения новый прием находится путем обобщения частных  случаев;  это первый путь нахождения новых приемов в решении.  Второй путь – конкретизация общего приема. Третий – аналогия. По аналогии с приемом   решения уравнений первой степени,  можно построить прием решения квадратного уравнения,  с приемом решения уравнений – приемы решения неравенств и т. д. Новый прием можно найти  как обратный известному;  этому способствует понимание структуры обратных задач в математике,  анализ и синтез, обобщение и конкретизация, дедукция и индукция и  другие взаимно обратные связи.  Учащиеся могут найти новый прием,  опираясь на содержание теоретического материала, на развивающуюся математическую интуицию и познавательный интерес, на развитие которого направляет свою деятельность учитель.

Литература
1. Бабанский Ю.К.  Рациональная организация учебной деятельности. М.: Знание, 1989.
2.  Денищева Л.О.  Приемы учебной работы как средство формирования частных умений при обучении началам математического анализа.    Математика в школе. 1993. №1
3. Крамор В.С. Сборник статей. О совершенствовании методов обучения математике. М.:  Просвещение,  1988.
4. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности учащихся. М.: Просвещение, 1989.
5. Фридман Л.М. Учитесь учиться математике: Книга для учащихся. М.: Просвещение, 1995.