Обобщающий урок по теме «Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений»

Цель: обобщить знания учащихся по данной теме, их умения и навыки применять формулы.

Задачи:

·         образовательные:

-          закрепить умение применять формулы квадрата суммы и разности двух выражений;

-          ликвидировать возможные пробелы.

·         воспитательные:

-          вовлечь в активную деятельность всех учащихся класса;

-          воспитывать у учащихся любознательность;

-          воспитывать коммуникативную культуру общения.

·         развивающие:

-          развивать познавательный интерес,  логическое мышление и мыслительные операции: анализ, сравнение, обобщение, выдвижение гипотезы;

-          развивать навыки коллективной работы учащихся в сочетании с самостоятельным умением анализировать, выделять главное, обобщать и делать выводы;

-          развивать умение выступать и защищать свою точку зрения.

Тип урока: повторительно-обобщающий.

Оборудование: смарт доска, презентация «Квадрат суммы и квадрат разности», набор разноцветных геометрических фигур (квадратов и прямоугольников), доклад "Треугольник Паскаля".

Ход урока:

I.  Организационный момент

Сегодня на уроке мы обобщим наши знания по теме “Квадрат суммы и разности двух выражений”. Вы покажете свои знания формул и умение ими пользоваться. А в конце урока каждый из вас оценит свой труд, насколько хорошо он знает эти формулы и действительно ли умеет ими пользоваться.

В XIX веке в Англии жил известный философ Герберт Спенсер. Он говорил: “Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир; дороги те, которые превращаются в умственные мышцы”. Вот мы сейчас и будем наращивать умственные мышцы.

II.   Актуализация знаний.

1.      Вводное повторение основных определений темы в виде игры «Домино». Учащимся предлагается собрать имя известного древнегреческого философа математика, сопоставив формулы с их названием. Проговорить формулировки формул.

2.      Вводное повторение формул.

1) А знаете ли вы, что древнегреческий философ  Евклид еще за три века до нашей эры умел возводить в квадрат сумму двух выражений. Вот что писал Евклид в своей замечательной книге «Начала» по поводу одного из математических утверждений: «Если отрезок как-либо разбит на два отрезка, то площадь квадрата, построенного на всем отрезке, равна сумме площадей квадратов, построенных на каждом из двух отрезков, и удвоенной площади прямоугольника, сторонами которого служат эти два отрезка» Неправда ли, что суть этой фразы в формуле:  (а + b)² = a²+ 2ab+ b².

(Работа по группам)

1 группа (слабые ученики). Выбрать две группы учащихся по два человека в каждой. Им предлагается параллельно с работой класса самостоятельно из разноцветных геометрических фигур (прямоугольников и квадратов) сложить геометрические иллюстрации доказательств формул квадрата суммы и квадрата разности. Двое учащихся работают у смарт доски.

2 группа. Доказывают истинность формул. (№ 807).

I вариант.  № 807 (а): (a – b)² = (b – a)².

II вариант.  № 807 (б): (– a – b)² = (a + b)².

По одному человеку от каждого варианта на доску, доказывать формулу.

Таким образом, мы получили три способа формулировки математических утверждений:

1)     словесный – понятный, но длинный, неудобный;

2)     геометрический – наглядный, но не всегда удобный для вычислений;

3)     символьный – краткий, легко запоминающийся.

2) Проверка знаний формул.

Проверьте решение. Если решение выполнено верно, поставьте рядом знак плюс, если  нет – поставьте знак минус.

Взаимопроверка. Поменяться тетрадями с соседом по парте.

III.  Закрепление изученного материала.

Математик А.Н. Крылов говорил, что «рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле».

В формулах квадрата суммы и квадрата разности, в квадрат возводят сумму или разность двух выражений. Еще Евклид знал прием возведения в квадрат суммы двух слагаемых. Но почему только двух? И почему только в квадрат? Может быть, можно найти прием возведения в 3, 4 и более высокие степени суммы трех, четырех и более чисел? Оказывается, нетрудно получить формулы для возведения двучлена в третью, четвертую и т. д. степень.

Доклад «Треугольник Паскаля»

А если надо возвести в квадрат сумму трех слагаемых? Каким будет результат? Предположим, что он выглядит так:

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc.

Предложите свой способ решения.

(a + b + c)² = ((a + b) + c)² = (a + b)² + 2(a + b)c + c² = a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c²  =      = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Вывод: Значит, чтобы возвести в квадрат сумму трех слагаемых, опять использовали формулу квадрата суммы двух выражений.

IV.  Физкультминутка.

1.      Потереть ладонью о ладонь. Закрыть глаза и положить на них ладони. Отдых 10 – 15 с.

2.      Быстро поморгать глазами. Закрыть глаза. Отдых 10 – 15 с.

3.      Открыть глаза.

V. Закрепление изученного материала.

А теперь мы продолжим работу.

1) Представьте в виде квадрата двучлена:

I варианта) (2а + 3b)² – 8b(2а + b)

II вариантб) (3х – 2у)² + 5х(4у – х)

2) Как вычислить квадрат числа, оканчивающегося на 5? Гипотезы.

Любое число, оканчивающееся на 5, можно представить в виде:

(10n+5), где n – число десятков

Возведём в квадрат: 100n²+100n+25

Вынесем общий множитель за скобку: 100n(n+1)+25

Пример:  25² = 625,  75² = 5625,  115² = 13225

3)  Пришла пора проверить, как обстоят дела с наращиванием умственных мышц.

(Ученики сдают тетради на проверку. На доске появляются ответы и ученики проверяют.)

VI.  Итог урока.

Сегодня на уроке мы обобщили наши знания по теме “Квадрат суммы и разности двух выражений”. Каждый из вас получил оценку за  свой труд, насколько хорошо он знает эти формулы и действительно ли умеет ими пользоваться.

С помощью формул можно доказывать интересные математические утверждения, которые в математике получили название «Софизмы». Вот один из них.

“Неравные числа равны”

Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b. Пусть их разность равна с, т. е. а – b = с. Умножив обе части этого равенства на а – b, получим

(а– b)² = = c(a – b),

a раскрыв скобки, придем к равенству

a²  – 2ab + b² = = ca – cb,

из которого следует равенство

а²  – аb – ас = аb – b² – bc.

Вынося общий множитель а слева, и общий множитель b справа за скобки, получим

а(а – b – с ) = b(а – b – с). (1)

Разделив последнее равенство на (а – b – с), получаем, что а = b,

другими словами, два неравных между собой произвольных числа а и b равны.

Разбор софизма: Здесь ошибка совершена при переходе от равенства (1) к равенству а = b. Действительно, согласно условию разность двух произвольных чисел а и b равна с, т. е. а-b = с, откуда а – b – с = 0. Можно записать равенство (1) в виде а – 0 = b – 0. Переход от равенства (1) к равенству а = b осуществляется путем деления обеих частей (1) на равное нулю число а – b – с = 0. Следовательно, здесь мы имеем деление нуля на нуль, которое не имеет смысла, поскольку равенство а*0 = b*0 выполняется при любых а и b. Поэтому вывод, сделанный в софизме, что числа а и b равны, неверен.

Вывод: Мы готовы на следующем уроке приступить к изучению новой темы.

VII.  Домашнее задание.

На оценку «3» № 878, 879(а,б), 903

На оценку «4,5» №878, 879, 903

VIII.    Рефлексия

Продолжите фразу: «Я на уроке научился (или узнал) …».