При решении уравнений много приходится преобразовывать, при этом могут произойти изменения корней. Не допустить потери и суметь отбросить лишние корни- это и есть задача правильного решения уравнений.

На сегодняшнем уроке рассмотрим некоторые источники потери корней. На парте у вас лежат уравнения с решениями, при решении которых допущены потери корней. Вы должны найти причину, по которой могли быть потеря корни и записать в тетрадь правильное решение.

3.

   1) Решить уравнение:

Неправильное решение. Пользуясь формулой логарифмирования степеней, приведем уравнение к виду :

 -1=+ или

=+.  Потенцируя, получим:

4x+8=(4-x)(x+6), где = -8, 2.

Т.к. x= -8ÏОДЗ, то х=2 корень.

Вопрос учителя. Где в данном решении могла произойти потеря корня?

Ожидаемый ответ. При первом шаге преобразования произошло сужение ОДЗ, т.к. ОДЗ первоначального уравнения:ó

ó  ó xÎ(-6;-2)È(-2;4)

После первого шага преобразования ОДЗ стала:

   ó xÎ(-2;4).

Правильное решение т.к. =2;

То 4(х+2)=(4-х)(х+6). После решения данного уравнения получим еще один корень х=1-√33 т.к. 1-√33Î(-6;-2), то правильный ответ:

Х=2; х=1-√33.

 2)Решить уравнение:

   -14+4=0

Решение. Воспользуемся правилом перехода, взяв x  в качестве нового основания логарифма.

   -  +  =0

   -  +  =0

   -  +  =0

Обозначив    , получим :  -  +  = 0  ó -2.

Относительно х получим корни х=4 или х =

Вопрос учителя. В данном решении произошла потеря корня. На каком этапе это произошло, и какой корень потерян?

Ожидаемый ответ. ОДЗ первоначального уравнения:

ОДЗ уравнения после первого шага преобразования стала:

                                                                                                                   т.е. произошло сужение ОДЗ.

Можно избежать потери корня, если при переходе к основанию х проверить, не является ли число данное корнем. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что х=1 корень исходного уравнения. Правильный ответ:

3) Решить уравнение:

Решение: а) Пусть х≥3, тогда:

  =   которое верно при хÎ[3; +¥)

б) Пусть х<3, тогда уравнение примет вид:

*()=()

=

Х=3Ï(-8;3), значит ,

Ответ : х Î[3;+¥).

Вопрос учителя: В этом решении также произошла потеря корня; Как это могло произойти?
Ответ учащихся: Допущена ошибка при сокращении на  которое не должно быть. Правильно решение такое: б) х<3,

*()-()=0, ()()=0,

  ;       Ï( )      , значит,

Ответ: х =, хÎ [ ) .

4) Решить уравнение:     =

Решение:=,

                 =, х=4.

Вопрос учителя: Где возможная потеря корня?

Ответ: Это показательное уравнение с переменным основание, чтобы приравнять степени, надо отдельно рассмотреть случаи:

1) основание=0 2) основание=1 3) основание не равно   0 и 1;

Правильное решение:=

а) Если х=0, то  неопределенность

б)Если х=1, то 1=1(верно)

в)1, то =, откуда х=4.

5)Решить уравнение:.

Решение: Переходя к тангенсу половинного угла, получим:

 - 2=2.

Откуда, tg =2, x=2 arctg2+2p, nÎZ

Здесь возможная ошибка произошла при сужении ОДЗ, т.к. первоначальное уравнение имеет ОДЗ: хÎn, а после преобразования х≠p+2pn.

 Чтобы избежать потери корня, нужно непосредственной подстановкой убедиться, что х=p+2pn корень или нет. Получив, утвердительный ответ, получим, что корни: 2 arctg2+2pn

                                                                                    p+2pn, nÎZ.

4. Вывод урока:

 I. Потери корней из-за сужения ОДЗ могут произойти при        использовании формул: 1) (xy)= x+ y

  2)=nx

  3)=

  4)

  5)ctg x=

  6)  и т.д.

II. При переходе к новому основанию логарифмов;

III. При сокращении обеих частей уравнения на общий множитель, который может равняться нулю.

IV.При решении показательных уравнений с переменным основанием.