Вы не зарегистрированы

Авторизация



Случаи потери корней при решении уравнений

Submitted by клара козина on Tue, 10/11/2015 - 02:14
Данные об авторе
Автор(ы): 
Козина Клара Николаевна учитель математики, МБОУ "СОШ №11 с углубленным изучением отдельных предметов" г. Новочебоксарска
Регион: 
Республика Чувашия
Характеристики урока (занятия)
Уровень образования: 
основное общее образование
Целевая аудитория: 
Учащийся (студент)
Целевая аудитория: 
Учитель (преподаватель)
Класс(ы): 
10 класс
Класс(ы): 
11 класс
Предмет(ы): 
Алгебра
Цель урока: 

: Научить учащихся контролировать свои  

                        преобразования при решении уравнений.

Тип урока: 
Урок обобщения и систематизации знаний
Краткое описание: 
<p>&nbsp;</p> <p>&nbsp;I. Потери корней из-за сужения ОДЗ могут произойти при&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; использовании формул: 1)<img src="file:///C:/Users/User/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif" style="height:29px; width:41px" />&nbsp;(xy)= <img src="file:///C:/Users/User/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif" style="height:29px; width:41px" />x+ <img src="file:///C:/Users/User/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif" style="height:29px; width:41px" />y</p> <p>&nbsp; 2)<img src="file:///C:/Users/User/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif" style="height:29px; width:70px" />=n<img src="file:///C:/Users/User/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif" style="height:29px; width:41px" />x</p> <p>&nbsp; 3)<img src="file:///C:/Users/User/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.gif" style="height:31px; width:36px" />=<img src="file:///C:/Users/User/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image008.gif" style="height:31px; width:50px" /></p> <p>&nbsp; 4)<img src="file:///C:/Users/User/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image010.gif" style="height:31px; width:90px" /></p> <p>&nbsp; 5)ctg x= <img src="file:///C:/Users/User/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image012.gif" style="height:43px; width:26px" /></p> <p>&nbsp; 6)<img src="file:///C:/Users/User/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image014.gif" style="height:43px; width:137px" />&nbsp; и т.д.</p> <p>II. При переходе к новому основанию логарифмов;</p> <p>III. При сокращении обеих частей уравнения на общий множитель, который может равняться нулю.</p> <p>IV.При решении показательных уравнений с переменным основанием.</p> <p>&nbsp;</p> <p>&nbsp;</p> <p>&nbsp;</p>

При решении уравнений много приходится преобразовывать, при этом могут произойти изменения корней. Не допустить потери и суметь отбросить лишние корни- это и есть задача правильного решения уравнений.

На сегодняшнем уроке рассмотрим некоторые источники потери корней. На парте у вас лежат уравнения с решениями, при решении которых допущены потери корней. Вы должны найти причину, по которой могли быть потеря корни и записать в тетрадь правильное решение.

3.

   1) Решить уравнение:

Неправильное решение. Пользуясь формулой логарифмирования степеней, приведем уравнение к виду :

 -1=+ или

=+.  Потенцируя, получим:

4x+8=(4-x)(x+6), где = -8, 2.

Т.к. x= -8ÏОДЗ, то х=2 корень.

Вопрос учителя. Где в данном решении могла произойти потеря корня?

Ожидаемый ответ. При первом шаге преобразования произошло сужение ОДЗ, т.к. ОДЗ первоначального уравнения:ó

ó  ó xÎ(-6;-2)È(-2;4)

После первого шага преобразования ОДЗ стала:

   ó xÎ(-2;4).

Правильное решение т.к. =2;

То 4(х+2)=(4-х)(х+6). После решения данного уравнения получим еще один корень х=1-√33 т.к. 1-√33Î(-6;-2), то правильный ответ:

Х=2; х=1-√33.

 2)Решить уравнение:

   -14+4=0

Решение. Воспользуемся правилом перехода, взяв x  в качестве нового основания логарифма.

   -  +  =0

 

   -  +  =0

   -  +  =0

Обозначив    , получим :  -  +  = 0  ó -2.

Относительно х получим корни х=4 или х =

Вопрос учителя. В данном решении произошла потеря корня. На каком этапе это произошло, и какой корень потерян?

Ожидаемый ответ. ОДЗ первоначального уравнения:

                                                                                                       

ОДЗ уравнения после первого шага преобразования стала:

                                                                                                                   т.е. произошло сужение ОДЗ.

Можно избежать потери корня, если при переходе к основанию х проверить, не является ли число данное корнем. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что х=1 корень исходного уравнения. Правильный ответ:

3) Решить уравнение:

 

Решение: а) Пусть х≥3, тогда:

   которое верно при хÎ[3; +¥)

б) Пусть х<3, тогда уравнение примет вид:

*()=()

=

Х=3Ï(-8;3), значит ,

Ответ : х Î[3;+¥).

Вопрос учителя: В этом решении также произошла потеря корня; Как это могло произойти?
Ответ учащихся: Допущена ошибка при сокращении на  которое не должно быть. Правильно решение такое: б) х<3,

*()-()=0, ()()=0,

        

  ;       Ï( )      , значит,

Ответ: х =, хÎ [ ) .

4) Решить уравнение:     =

Решение:=,

                 =, х=4.

Вопрос учителя: Где возможная потеря корня?

Ответ: Это показательное уравнение с переменным основание, чтобы приравнять степени, надо отдельно рассмотреть случаи:

1) основание=0 2) основание=1 3) основание не равно   0 и 1;

Правильное решение:=

а) Если х=0, то  неопределенность

б)Если х=1, то 1=1(верно)

в)1, то =, откуда х=4.

5)Решить уравнение:.

Решение: Переходя к тангенсу половинного угла, получим:

 - 2=2.

Откуда, tg =2, x=2 arctg2+2p, nÎZ

Здесь возможная ошибка произошла при сужении ОДЗ, т.к. первоначальное уравнение имеет ОДЗ: хÎn, а после преобразования х≠p+2pn.

 Чтобы избежать потери корня, нужно непосредственной подстановкой убедиться, что х=p+2pn корень или нет. Получив, утвердительный ответ, получим, что корни: 2 arctg2+2pn

                                                                                    p+2pn, nÎZ.

4. Вывод урока:

 I. Потери корней из-за сужения ОДЗ могут произойти при        использовании формул: 1) (xy)= x+ y

  2)=nx

  3)=

  4)

  5)ctg x=

  6)  и т.д.

II. При переходе к новому основанию логарифмов;

III. При сокращении обеих частей уравнения на общий множитель, который может равняться нулю.

IV.При решении показательных уравнений с переменным основанием.