Видео смотреть бесплатно

Смотреть девушки видео

Официальный сайт physbook 24/7/365

Смотреть видео бесплатно

Вы не зарегистрированы

Авторизация



Исследование квадратного уравнения

Фото пользователя Ирина Николаевна Миннибаева
Submitted by Ирина Николаевна Миннибаева on Wed, 16/12/2009 - 08:42
Данные об авторе
Автор(ы): 
Миннибаева Ирина Николаевна
Место работы, должность: 
МОУ "Обсерваторская средняя школа Зеленодольского муниципального района РТ" пос. Октябрьский
Регион: 
Республика Татарстан
Характеристики урока (занятия)
Целевая аудитория: 
Учитель (преподаватель)
Класс(ы): 
8 класс
Предмет(ы): 
Математика
Цель урока: 
1. Образовательная - повторить и закрепить сведения, полученные в результате изучения темы «Квадратные уравнения»: Формулу дискриминанта, корней квадратного уравнения, зависимость числа корней квадратного уравнения от его дискриминанта, теорему Виета. Научить, пользуясь знаниями по данной теме, выбирать правильные варианты ответов из предложенного списка. 2. Развивающая – развивать умение не тушевать перед трудностями, концентрировать внимание на поставленной задаче и уметь пользоваться полученными знаниями. 3. Воспитательная – создавать благоприятные условия для актуализации ранее приобретенных знаний и умений; воспитывать уверенность в своих силах и умениях.
Тип урока: 
Урок изучения и первичного закрепления новых знаний
Используемые учебники и учебные пособия: 

Учебник "Алгебра 8 класс" Макарычев, Миндюк под редакцией Теляковского

Используемое оборудование: 

индивидуальные раздаточные карточки, мел,магнитная доска.

Краткое описание: 
Сведения о зависимости числа корней квадратного уравнения от его дискриминанта и теорема Виета позволяют, не вычисляя корней квадратного уравнения, получить о нем достаточно широкую информацию: выяснить, имеет ли квадратное уравнение корни и сколько; для уравнения, имеющего корни, определить их знаки, сравнить корни по модулю, если знаки коней различны; устанавливать в некоторых конкретных случаях, может ли уравнение иметь целые корни, иметь рациональные корни и т. п. Учащимся приходится применять сформировавшийся математический аппарат в усложненных ситуациях. Урок проводится как закрепление темы «Квадратные уравнения», что бы проверить, как хорошо учащиеся овладели опорными знаниями и умениями, а так же как подготовка к Государственному тестированию по математике, где большую часть заданий нужно выполнять, анализируя предложенные варианты ответов и выбирая правильные. Упражнения, предложенные на уроке можно разделить на две группы. Первая из них непосредственно связана с использованием зависимости числа корней квадратного уравнения от его дискриминанта и применением теоремы Виета. К ней относятся задания на определение числа корней квадратного уравнения с числовыми коэффициентами и знаков корней, выявление условий, при которых уравнение с буквенными коэффициентами имеет два корня, один корень, не имеет корней. Решение этих задач связано с оценкой выражений, решением уравнений и систем. Вторую группу составляют более сложные упражнения, в которых исследование квадратного уравнения сочетается с использованием свойств чисел, в частности свойств делимости.

Ход урока:  

1. Актуализация опорных знаний учащихся. Фронтальный опрос.

   - Какое уравнение называется квадратным уравнением?

   - Какие квадратные уравнения вы знаете?

   - От чего зависит количество корней в квадратном уравнении?

   - Запишите формулу дискриминанта.

   - Запишите формулу корней квадратного уравнения.

   - Сформулируйте теорему Виета.

   - Сформулируйте обратную теорему Виета?

   - Для чего они нужны?

  2. Постановка целей урока.         

   - Сегодня мы познакомимся с элементами исследования квадратного уравнения и выясним для чего это нам нужно.

  3. Знакомство с новой темой. 

  - Сведения о зависимости числа корней квадратного уравнения от его дискриминанта и теорема Виета позволяют, не вычисляя корней квадратного уравнения, получить о нем достаточно широкую информацию: выяснить, имеет ли квадратное уравнение корни и сколько; для уравнения имеющего корни, определить их знаки, сравнить корни по модулю, если знаки корней различные; устанавливать в некоторых конкретных случаях, может ли уравнение иметь целые корни, иметь рациональные корни. 

Рассмотрим примеры исследования квадратного уравнения.

 Пример1.

    Не решая уравнения: а) 6х2- 11х – 3175 = 0;   б) х2 + 5√2∙х + 3 - 2√2 = 0, выясним, имеет ли уравнение корни и если имеет, то каковы их знаки.

а) Определим сначала знак дискриминанта D=b2 – 4ас. Не выполняя вычислений, можно установить, что D>0, так как а>0 и с >0. Значит , уравнение имеет два различных корня х1 и х2. Так как х1∙х2 = - 3175 <0,                                                                                                     6            то знаки корней различные. Из условия х1 + х2 = 11 >0

                                  6         следует, что положительный корень уравнения имеет больший модуль, чем отрицательный.

б) Определим сначала знак дискриминанта. В этом уравнении

с = 3 - 2√2 = √9 - √8 >0, поэтому сразу сказать, будет дискриминант положительным или отрицательным числом, нельзя. Выполним вычисления:

D=(-5√2)2 -4(3-2√2)=50-12+8√2=38+8√2>0.

Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня х1 и х2. Так как  х1∙х2 = 3 - 2√2 >0, то знаки корней одинаковые. Учитывая, что х1 + х2 = - 5√2 <0, можно сделать вывод, что оба корня отрицательные.

 Пример 2.

    Определим, при каких значениях а и в уравнение (х – а)(х – в) = а2 имеет корни.

     Преобразовав данное уравнение, получим:

                                     х2 – ах – вх + ав = а2 ,

                                   х2 – (а +в)х + ав – а2 = 0.

    Найдем дискриминант квадратного уравнения:

     D=(а + в)2 – 4(ав – а2) = а2 + 2ав + в2 – 4ав + 4а2 = (а2 – 2ав +в2) + 4а2 =

                    =(а – в)2+4а2.

    Замечаем, что при любых значениях а и б дискриминант D≥0. Значит,  данное уравнение имеет корни при любых а и в.

Пример 3.

     Докажем, что если p и q – нечетные целые числа, то уравнение х2 +px + q = 0 не имеет рациональных корней.

     Покажем сначала, что такое уравнение не имеет целых корней. Допустим, что целые числа m и k являются корнями уравнения. Если хотя бы одно из этих чисел четное, то их произведение mk, равное q, является четным, что противоречит условию. Если  m и k оба нечетные, то их сумма m+k есть чило четное, а значит, противоположное ей число p является четным, что также противоречит условию.

    Следовательно, целые числа не могут быть корнями уравнения.

     Покажем теперь, что дробное число не может быть конем уравнения. Допустим, что несократимая дробь а ∕в , где ає Z, вєN,b≠1 , - корень уравнения. Тогда верно равенство

                 (а∕в)2 + p·a∕b + q = 0,

 а значит, и равенство

                  а2 + pab + qb2 = 0.

 В левой части этого равенства записана сумма, в которой все слагаемые, кроме первого, делятся на b. Из свойств делимости вытекает, что эта сумма не делится на b. Однако 0 делится на любое не равное нулю число. Значит, предположение неверно и несократимая рациональная дробь не может быть корнем уравнения.

  Итак, мы показали, что никакое целое и никакое дробное число не может быть корнем данного уравнения, т.е. это уравнение не может иметь рациональных корней.

4 Первичное закрепление темы.

  - Сейчас мы попробуем решить несколько примеров.

 1) О каких из данных уравнений можно, не вычисляя дискриминанта, утверждать, что они имеют корни:

                   а) 3х2 + 6х – 111 = 0;              г) 12х2 = 11х – 101;

                   б) 5х2 – 11х = 78;                    д) 3х2 + х - √3 +1 = 0;

                   в) х2 – 715 = 0;                        е) х2 + 2х + 3√2 - √19 = 0?

2) Выясните, имеет ли уравнение корни и сколько:

       289х2 – 34х + 1 = 0.

3) №585(а, б, в) у доски (г, д, е) самостоятельно в тетрадях.

Письменно на доске и в тетрадях.

4) Определите, имеет ли уравнение корни и если имеет, то каковы их знаки:

    2 + 76х + 118 = 0;

4) Докажите, что при любых а, в и с уравнение х2 – 2ах + а2 – в2 – с2 = 0 имеет корни. При каком условии уравнение имеет единственный корень?

 

5. Проверка усвоения темы. Тест.

Выберите правильный вариант ответа и запишите его в таблицу.

 

Указание при выполнении теста:

    Ребята, когда вы будете выполнять тест, то сначала попробуйте отбросить те ответы которые не подходят по смыслу или свойствам тех тем на которые даны примеры.

Номер задания

1

2

3

Вариант ответа

 

 

 

 

1. Выясните, имеет ли уравнение корни и сколько:

2 – 75х + 180 = 0;

а) имеет, один корень;                           в) не имеет;

б) имеет, два корня;                               г) не знаю.

2. Определите, имеет ли уравнение корни и если имеет, то каковы их знаки:

2 – 59х + 133 = 0;

а) имеет, оба корня положительные;     в) имеет, знаки корней разные;

б) имеет, оба корня отрицательные;     г) не имеет.

3. Найдите все натуральные значения т, при которых уравнение имеет два корня:

х2 -8х + т + 10 = 0;

а) 0,1,2,3,4,5;                                 в) -1,-2,-3,-4,-5;

б)1,2,3,4,5;                                     г) 1,2,3,4,5,6.

Ключ к тесту:

Номера заданий

1

2

3

Вариант ответа

б

Б

б

Проверка тестов, сравнение результатов с написанными ответами на доске.

6. Домашнее задание №586 , 661

 


»  Размещено в сообществах:   

Фото пользователя Гузель Ядкаровна Зубарева

На: Исследование квадратного уравнения


Хорошо спланированный классический урок,  думаю пригодиться учителям математики.



Смотреть онлайн бесплатно

Онлайн видео бесплатно