Ход урока:  

1. Актуализация опорных знаний учащихся. Фронтальный опрос.

   - Какое уравнение называется квадратным уравнением?

   - Какие квадратные уравнения вы знаете?

   - От чего зависит количество корней в квадратном уравнении?

   - Запишите формулу дискриминанта.

   - Запишите формулу корней квадратного уравнения.

   - Сформулируйте теорему Виета.

   - Сформулируйте обратную теорему Виета?

   - Для чего они нужны?

  2. Постановка целей урока.         

   - Сегодня мы познакомимся с элементами исследования квадратного уравнения и выясним для чего это нам нужно.

  3. Знакомство с новой темой. 

  - Сведения о зависимости числа корней квадратного уравнения от его дискриминанта и теорема Виета позволяют, не вычисляя корней квадратного уравнения, получить о нем достаточно широкую информацию: выяснить, имеет ли квадратное уравнение корни и сколько; для уравнения имеющего корни, определить их знаки, сравнить корни по модулю, если знаки корней различные; устанавливать в некоторых конкретных случаях, может ли уравнение иметь целые корни, иметь рациональные корни. 

Рассмотрим примеры исследования квадратного уравнения.

 Пример1.

    Не решая уравнения: а) 6х²- 11х – 3175 = 0;   б) х² + 5√2∙х + 3 - 2√2 = 0, выясним, имеет ли уравнение корни и если имеет, то каковы их знаки.

а) Определим сначала знак дискриминанта D=b² – 4ас. Не выполняя вычислений, можно установить, что D>0, так как а>0 и с >0. Значит , уравнение имеет два различных корня х₁ и х₂. Так как х₁∙х₂ = - 3175 <0,                                                                                                     6            то знаки корней различные. Из условия х₁ + х₂ = 11 >0

                                  6         следует, что положительный корень уравнения имеет больший модуль, чем отрицательный.

б) Определим сначала знак дискриминанта. В этом уравнении

с = 3 - 2√2 = √9 - √8 >0, поэтому сразу сказать, будет дискриминант положительным или отрицательным числом, нельзя. Выполним вычисления:

D=(-5√2)² -4(3-2√2)=50-12+8√2=38+8√2>0.

Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня х₁ и х₂. Так как  х₁∙х₂ = 3 - 2√2 >0, то знаки корней одинаковые. Учитывая, что х₁ + х₂ = - 5√2 <0, можно сделать вывод, что оба корня отрицательные.

 Пример 2.

    Определим, при каких значениях а и в уравнение (х – а)(х – в) = а² имеет корни.

     Преобразовав данное уравнение, получим:

                                     х² – ах – вх + ав = а² ,

                                   х² – (а +в)х + ав – а² = 0.

    Найдем дискриминант квадратного уравнения:

     D=(а + в)² – 4(ав – а²) = а² + 2ав + в² – 4ав + 4а² = (а² – 2ав +в²) + 4а² =

                    =(а – в)²+4а².

    Замечаем, что при любых значениях а и б дискриминант D≥0. Значит,  данное уравнение имеет корни при любых а и в.

Пример 3.

     Докажем, что если p и q – нечетные целые числа, то уравнение х² +px + q = 0 не имеет рациональных корней.

     Покажем сначала, что такое уравнение не имеет целых корней. Допустим, что целые числа m и k являются корнями уравнения. Если хотя бы одно из этих чисел четное, то их произведение mk, равное q, является четным, что противоречит условию. Если  m и k оба нечетные, то их сумма m+k есть чило четное, а значит, противоположное ей число p является четным, что также противоречит условию.

    Следовательно, целые числа не могут быть корнями уравнения.

     Покажем теперь, что дробное число не может быть конем уравнения. Допустим, что несократимая дробь а ∕в , где ає Z, вєN,b≠1 , - корень уравнения. Тогда верно равенство

                 (а∕в)² + p·a∕b + q = 0,

 а значит, и равенство

                  а² + pab + qb² = 0.

 В левой части этого равенства записана сумма, в которой все слагаемые, кроме первого, делятся на b. Из свойств делимости вытекает, что эта сумма не делится на b. Однако 0 делится на любое не равное нулю число. Значит, предположение неверно и несократимая рациональная дробь не может быть корнем уравнения.

  Итак, мы показали, что никакое целое и никакое дробное число не может быть корнем данного уравнения, т.е. это уравнение не может иметь рациональных корней.

4 Первичное закрепление темы.

  - Сейчас мы попробуем решить несколько примеров.

 1) О каких из данных уравнений можно, не вычисляя дискриминанта, утверждать, что они имеют корни:

                   а) 3х² + 6х – 111 = 0;              г) 12х² = 11х – 101;

                   б) 5х² – 11х = 78;                    д) 3х² + х - √3 +1 = 0;

                   в) х² – 715 = 0;                        е) х² + 2х + 3√2 - √19 = 0?

2) Выясните, имеет ли уравнение корни и сколько:

       289х² – 34х + 1 = 0.

3) №585(а, б, в) у доски (г, д, е) самостоятельно в тетрадях.

Письменно на доске и в тетрадях.

4) Определите, имеет ли уравнение корни и если имеет, то каковы их знаки:

    5х² + 76х + 118 = 0;

4) Докажите, что при любых а, в и с уравнение х² – 2ах + а² – в² – с² = 0 имеет корни. При каком условии уравнение имеет единственный корень?

5. Проверка усвоения темы. Тест.

Выберите правильный вариант ответа и запишите его в таблицу.

Указание при выполнении теста:

    Ребята, когда вы будете выполнять тест, то сначала попробуйте отбросить те ответы которые не подходят по смыслу или свойствам тех тем на которые даны примеры.

1. Выясните, имеет ли уравнение корни и сколько:

4х² – 75х + 180 = 0;

а) имеет, один корень;                           в) не имеет;

б) имеет, два корня;                               г) не знаю.

2. Определите, имеет ли уравнение корни и если имеет, то каковы их знаки:

6х² – 59х + 133 = 0;

а) имеет, оба корня положительные;     в) имеет, знаки корней разные;

б) имеет, оба корня отрицательные;     г) не имеет.

3. Найдите все натуральные значения т, при которых уравнение имеет два корня:

х² -8х + т + 10 = 0;

а) 0,1,2,3,4,5;                                 в) -1,-2,-3,-4,-5;

б)1,2,3,4,5;                                     г) 1,2,3,4,5,6.

Ключ к тесту:

Проверка тестов, сравнение результатов с написанными ответами на доске.

6. Домашнее задание №586 , 661