Используемые учебники и учебные пособия:
ХОД УРОКА
I Актуализация опорных знаний.
Слово учителя: в старинных русских сказаниях повествуется, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. Ребята, с какой проблемой сталкивается добрый молодец на перепутье?
Ответ учащихся: с проблемой выбора дальнейшего пути движения.
Слово учителя: Верно! А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Это сделать очень трудно не потому, что его нет или оно одно и поэтому его трудно найти, а приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов, комбинаций. И нам всегда хочется, чтобы этот выбор был оптимальный.
Оказывается существует целый раздел математики, именуемый комбинаторикой, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую.
Задача 1.
Учащимся раздаются цветные полоски (белый, синий, красный) и предлагается из них составить флаг РФ. Затем задаются вопросы исторического характера.
Что означает каждый цвет?
Значение цветов флага России: белый цвет означает мир, чистоту, непорочность, совершенство; синий – цвет веры и верности, постоянства; красный цвет символизирует энергию, силу, кровь, пролитую за Отечество.
Оказывается, есть государства, где флаги имеют такие же цвета.
Видим, что от перестановок цветных полосок, можно получить другой флаг. Как подсчитать, сколько таких флагов мы можем составить из трех цветных полосок?
Решение этой задачи можно записать тремя способами:
1. Таблица вариантов
КБС КСБ
БСК БКС
СБК СКБ
2. Дерево вариантов
Всего получили 3*2=6 комбинаций Вывод: здесь мы получили ответ умножением. Математики сказали бы, что мы использовали известное в комбинаторике правило умножения.
Если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть m вариантов выбора второго элемента, то всего существует nm различных пар с выбранным первым и вторым элементами.
Такой способ подсчета возможен, если дерево вариантов правильное: из каждого узла одного уровня выходит одно и то же число ветвей. Конечно, совсем не каждую комбинаторную задачу можно решить способом умножения.
Задача 2. (для самостоятельного решения)
На уроке физкультуры Андрей, Максим, Костя, Саша, Петя и Сережа готовятся к прыжкам в высоту. Сколькими способами можно установить для них очередность прыжков?
Ответ: 6*5*4*3*2*1=720 способов
Физкультминутка (тихая музыка)
-Встали. Закрыли глаза. Вспомнили теплое летнее солнышко.
-Протяните руки к нему. Обнимите его.
- Наклонитесь вперед, назад. Потянитесь, Присели, встали.
- Откройте глаза, и продолжим нашу работу.
Задача 3 (Все ли задач в комбинаторике решаются умножением)
При встрече 8 приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий?
Дадим каждому из приятелей номер – от 1 до 8. тогда каждое рукопожатие можно закодировать двузначным числом. Например, двузначное число 47 – это рукопожатие между приятелями с номерами 4 и 7. ясно, что среди кодов рукопожатий у нас не появится, например, 33 – это означало бы, что один из друзей пожал бы руку сам себе. Кроме того, такие коды, как, например, числа 68 и 86, означают одно и тоже рукопожатие, а значит, учитывать надо только одно из них. Договоримся, что из чисел, кодирующих одно и тоже рукопожатие, мы всегда будем учитывать меньшее. Поэтому из чисел 68 и 86 надо брать 68. коды рукопожатий выписывать надо в порядке возрастания. Для подсчета их удобно расположить треугольником:
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,
23, 24, 25, 26, 27, 28
34, 35, 36, 37, 38
45, 46, 47, 48
56, 57, 58
67, 68
78
Число кодов равно: 7 +6+5+4+3+2+1=28
Таким образом, всего было 28 рукопожатий.
Для решения этой задачи использовали логику перебора.
Задача 4. На школьной олимпиаде по математике оказалось 6 победителей. Однако на районную олимпиаду можно отправить только двоих. Сколько существует вариантов выбора двух кандидатов?
Ответ: 15 вариантов.
Задача 5. Сколько четных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 4, 5?
Решение:
- Какая цифра может стоять на первом месте в записи числа? (2,3,4,5)
- какие цифры будут стоять на втором и третьем местах в записи числа (Любая из пяти)
- А на последнем? (только четные: 2, 4, 0)
По правилу умножения 4*5*5*3=300
Задача 6.
В четверг в шестом классе пять уроков по разным предметам: русскому языку, истории, математике, географии и физкультуре. Сколько вариантов расписания на четверг можно составить для этого класса?
- Первым уроком какой урок может быть? (Любой из пяти. Значит 5 вариантов)
- Вторым уроком какой может быть? (Любой из оставшихся 4. значит 4 варианта выбора)
- Третьим уроком какой урок может быть? (Любой их оставшихся трех. № варианта выбора)
- Четвертым уроком какой может быть? (Любой из оставшихся 2. 2 варианта выбора)
- Пятым уроком какой может быть? (Только какой-то один из оставшихся уроков)
Решение: 5*4*3*2*1=120 (вариантов)
Итог урока.
Слово учителя: задачи, которые мы сегодня решали и будем решать в дальнейшем помогут вам творить, думать необычно, оригинально, смело, видеть то, мимо чего вы часто проходили не замечая, любить неизвестное, новое; преодолевать трудности и идти через невозможное вперед.
Математика повсюду –
Глазом только поведешь
И примеров сразу уйму
Ты вокруг себя найдешь…
