|
Круги Эйлера — наглядная геометрическая иллюстрация объемов понятий и отношений между ними. Применительно к логическим операциям конъюнкции, дизъюнкции и инверсии круги Эйлера представлены в таблице (в файле).
Задача 1. В классе 30 учеников. Все они являются читателями школьной и районной библиотек. Из них 20 ребят берут книги в школьной библиотеке, 15 — в районной. Сколько учеников не являются читателями школьной библиотеки?
Решение. Пусть круг Ш изображает читателей только школьной библиотеки, круг Р — только районной. Тогда ШР — изображение читателей и районной, и школьной библиотек одновременно.
Из рисунка следует, что число учеников, не являющихся читателями школьной библиотеки, равно:
(не Ш) = Р - ШР.
Всего 30 учеников, Ш = 20 человек, Р = 15 человек. Тогда значение ШР может быть найдено так (см. рисунок): ШР = (Ш + Р) - 30 = (20 + 15) - 30 = = 5, т.е. 5 учеников являются читателями школьной и районной библиотек одновременно. Тогда (не Ш) = = Р- ШР= 15- 5= 10.
Ответ: 10 учеников не являются читателями школьной библиотеки.
Задача 2. В классе 35 учеников. 24 из них играют в футбол, 18 — в волейбол, 12 — в баскетбол. 10 учеников одновременно играют в футбол и волейбол, 8 — в футбол и баскетбол, а 5 — в волейбол и баскетбол. Сколько учеников играют и в футбол, и в волейбол, и в баскетбол одновременно?
Решение: Пусть крут А (I, IV, V, VII) изображает учеников, играющих в футбол, крут В (II, V, VI, VII) - учеников, играющих в волейбол, круг С (III, IV, VI, VII) учеников, играющих в баскетбол:
Согласно условию, А = 24 человека, В = 18 человек, (V + VII) = 10 человек, значит, III = 35 — (24+ 18) — 10— 3 (3 человека играют только в баскетбол).
Рассматривая круги В и С и рассуждая аналогично, находим, что I = 10 учеников (играют только в футбол).
Аналогично для кругов А и С: II=7 учеников (играют только в волейбол).
Из рисунка следует, что количество ребят, увлекающихся не менее чем двумя видами спорта, равно: 355 - (3 + 10 + 7) = 15 человек, т.е.: IV + V + + VI + VII = 15.
35 — общее число учеников в классе.
По условию:
(V + VII) + (IV + VII) + (VI + + VII) = 10 + 8 + 5 = 23, следовательно, VII + VII = 23 - 15 = 8, т.е. VII = 4 человека, увлекающихся тремя видами спорта.
Ответ: 4 ученика играют и в футбол, и в волейбол, и в баскетбол одновременно.
Задачи для решения учащимися
1. В классе 35 учеников. Все они являются читателями школьной и районной библиотек. Из них 25 берут книги в школьной библиотеке, 20 — в районной.
Сколько из них:
а) не являются читателями школьной библиотеки;
б) не являются читателями районной библиотеки;
в) являются читателями только школьной библиотеки;
г) являются читателями только районной библиотеки;
д) являются читателями обеих библиотек?
2.Каждый ученик в классе изучает английский или немецкий язык, или оба этих языка. Английский язык изучают 25 человек, немецкий — 27 человек, а тот и другой — 18 человек. Сколько всего учеников в классе?
3.На листе бумаги начертили круг площадью 78 см2 и квадрат площадью 55 см2. Площадь пересечения круга и квадрата равна 30 см2. Не занятая кругом и квадратом часть листа имеет площадь 150 см2. Найдите площадь листа.
4. В группе туристов 25 человек. Среди них 20 человек моложе 30 лет и 15 человек старше 20 лет. Может ли так быть? Если может, то в каком случае?
5. В детском саду 52 ребенка. Каждый из них любит пирожное или мороженое, или то и другое. Половина детей любит пирожное, а 20 человек - пирожное и мороженое. Сколько детей любит мороженое?
6. В классе 36 человек. Ученики этого класса посещают математический, физический и химический кружки, причем математический кружок посещают 18 человек, физический — 14, химический — 10. Кроме того, известно, что 2 человека посещают все три кружка, 8 человек —.и математический, и физический, 5 — и математический, и химический, 3 — и физический, и химический кружки. Сколько учеников класса не посещают никакие кружки?
7. После каникул классный руководитель спросил, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк. Оказалось, что из 36 учеников двое не были ни в кино, ни в театре, ни в цирке. В кино побывали 25 человек; в театре — 11; в цирке — 17; и в кино, и в театре — 6; и в кино, и в цирке — 10; и в театре, и в цирке — 4. Сколько человек побывали в театре, кино и цирке одновременно?
О.Ю. Заславская, Н.Д.Тамошина
(«Информатика», №29, 2004)
|
