Познакомить с понятием целого выражения,  учить преобразовывать целое выражение в многочлен.

 

Программа элективного курса «Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения».

 

 

Пояснительная записка.

 

 

   Данный элективный курс предназначен  для учащихся 10-х классов физико-математического профиля и рассчитан на 21 часов.

   Курс дает широкие возможности для углубленного изучения темы «Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения». Данный курс вычленен из курса «Алгебра плюс: Элементарная алгебра с точки зрения высшей математики». Автор: А.Н.Земляков.

   Курс включает изучение основных положений теории многочленов, рассмотрение обобщенной теоремы Виета для уравнений любой степени, изучение схемы Горнера и теоремы о рациональных  корнях многочлена, решение уравнений высших степеней.

   Будут рассматриваться решение нестандартных задач, для которых в курсе математики не имеется общих правил, определяющих алгоритм их решения, многие из которых понадобятся как при учебе в высшей школе, так и при подготовке к различного рода экзаменам, в частности ЕГЭ.

Целью данного курса является углубленное изучение данной темы, формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, подготовку к поступлению в вуз и продолжению образования.

Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся.

Формы организации занятий – лекция, семинар, практикум, выступления с докладами.

Фронтальная, индивидуальная и групповая форма деятельности учащихся. Методы обучения – объяснительно-иллюстративное, поисково-исследовательское.

   Основными результатами освоения содержания элективного курса учащимися может быть определенный набор умений. Поэтому предполагается выполнение индивидуальных заданий,  написание и защита рефератов, итоговая контрольная работа.

 

 

Требования к математической подготовке учащихся.

 

   В результате изучения данного курса учащиеся должны уметь выполнять действия с многочленами; применять теорию многочленов к нахождению корней рационального уравнения с целыми коэффициентами; усвоить основные методы решения алгебраических уравнений.

 

 

Основное содержание курса.

   

1. Целые рациональные алгебраические выражения (многочлен).

Представление о целых рациональных алгебраических выражениях. Многочлены над полями R, Q и над кольцом Z. Степень многочлена. Кольца многочленов.

2.   Деление многочленов

Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком (метод неопределенных коэффициентов, деление «уголком», схема Горнера).

3.   Корни многочленов

Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.

4.   Разложение многочлена на множители

       Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая теорема Виета.

1. Квадратный трехчлен.

Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета.

1. Квадратичные неравенства

Квадратичные неравенства, метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена.

1. Кубические многочлены

Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. Угадывание корней и разложение.

1. Кубическое уравнение

Куб суммы (разности). Графический анализ кубического уравнения х³ + Ах = В. Неприводимый случай (три корня) и необходимость комплексных чисел.

9.   Уравнения высших степеней.

Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Возвратные уравнения. Представление о методе замены. Линейная замена, основанная на симметрии. Угадывание корней. Разложение. Метод неопределенных коэффициентов.

 

Тематическое планирование (21 ч)

 

 

№ занятий	тема	Количество часов
1	Многочлен	1
2	Деление многочленов	1
3	Метод неопределенных многочленов	1
4	Схема Горнера	1
5	Теорема Безу	1
6-7	Корни многочленов	2
8	Обобщенная теорема Виета.	1
9	Квадратный трехчлен	1
10	Квадратичные неравенства	1
11	Кубические многочлены	1
12	Кубическое уравнение	1
13	Уравнения степени 4.	1
14	Уравнения вида (х-а)(х-b)(x-c)(x-d)=m	1
15	Симметрические уравнения	1
16	Возвратные уравнения	1
17-18	Нестандартные методы решения уравнений	2
19	Контрольная работа	1
20-21	Защита рефератов	2

 

 

Тематика рефератов:

1. Многочлены.
2. Решение уравнений методом замены
3. Решение уравнений, сводящихся к квадратным.
4. Симметрические и возвратные уравнения
5. Метод неопределенных уравнений
6. Однородные уравнения
7. Нестандартные методы решения уравнений.

 

 

 

 

 

Литература:

 

 

·         Учебник «Алгебра и начала анализа, 10» С.М.Никольский и др., Москва «Просвещение» 2003.

·         Сборник задач для поступающих в ВУЗы. Под редакцией М.И.Сканави. М.: «Высшая школа». 1998г.

·         500 способов и методов решения задач по математике. А.Р.Рязановский. Для школьников и поступающих в вузы. Дрофа. М.: 2001г.

·         Алгебраический тренажер. А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир. Пособие для школьников и абитуриентов. Москва.: «Илекса» 2001г.

·         Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. Учебно – методическое пособие. 10 – 11 классы. С.Н.Олейник, М.К. Потапов, П.И.Пасиченко. Москва. «Дрофа». 2001г.

·         Материалы вступительных экзаменов в вузы.

·         Повторим математику. Шувалова Э.З. Издательство «Высшая школа», М.1968

·         Г.Дорофеев, М.Потапов, Н.Розов. Математика для поступающих в вузы. Дрофа.2002.

·         Электронный учебник «Алгебра». Составители: Станченко С.В., Высоцкий И.Р., Шестаков С.А.. КОРДИС МЕДИА, 2000-2001. КУДИЦ.

·         Контрольно – измерительные материалы ЕГЭ, 2001-2005г.г.

 

 

 

1.Закрепить понятие «многочлен», умение приводить многочлен к стандартному виду; 2. Развивать индивидуальные способности каждого ребенка, логическое мышление, творческое воображение; 3. Воспитывать интерес к математике, уверенность в своих силах.

Отрабатывать навыки работы с многочленами, развивать познавательные процессы, память, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность

Обобщение и систематизация знаний по изученной теме. Задачи: проверка знания формул и умения применять их; развитие логического мышления и коммуникативных навыков.

повторить и закрепить изученный материал, способствовать выработке навыков и умений приводить многочлен к стандартному виду и находить его степень, проверить знания учащихся в ходе тестирования.